导数练习题及答案汇编

章末检测

一、选择题

1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是() A．(－1,3)B．(－1，－3)

C．(－2，－3) D．(－2,3)

答案B

解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.

f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．

2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为()

A．(－∞，－1)及(0,1)

B．(－1,0)及(1，＋∞)

C．(－1,1)

D．(－∞，－1)及(1，＋∞)

答案A

解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于()

A．2 B．3

C．4 D．5

答案D

解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，

即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.

4．函数y＝ln

1

|x＋1|的大致图象为()

答案 D

解析 函数的图象关于x ＝－1对称，排除A 、C ，当x ＞－1时，y ＝－ln(x ＋1)为减函数，故选D.

5．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点所在象限是( ) A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四 答案 C

解析 ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，故二次函数y ＝f (x )的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．

6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．[－3，3]

C ．(3，＋∞)

D ．(－3，3) 答案 B

解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 7．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．ln 2 C.ln 22 D ．e 答案 D

解析 f ′(x )＝x ·(ln x )′＋(x )′·ln x ＝1＋ln x .

∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1， ∴x 0＝e.

8．设函数f (x )＝1

3x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )

A ．在区间(1

e ，1)(1，e)内均有零点

B ．在区间(1

e

，1)，(1，e)内均无零点

C ．在区间(1

e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点

D ．在区间(1

e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点

答案 C

解析 由题意得f ′(x )＝x －3

3x ，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3；f ′(x )＝0得

x ＝3，故知函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f (1)＝13＞0，f (e)＝e 3－1＜0，f (1e )＝1

3e

＋1＞0.

9．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π

12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )

A ．[－2,2]

B ．[2，3]

C ．[3，2]

D ．[2，2] 答案 D

解析 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋x ·3cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2(12sin θ＋3

2cos θ)

＝2sin(θ＋π

3

)．

∵0≤θ≤5π12，∴π3≤θ＋π3≤3π

4，

∴

22≤sin(θ＋π3)≤1.∴2≤2sin(θ＋π

3

)≤2. 10．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数有( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

答案 B

解析 令f (x )＝2x 3－6x 2＋7， ∴f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，

由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜0；由f ′(x )＜0得0＜x ＜2；又f (0)＝7＞0， f (2)＝－1＜0，∴方程在(0,2)内只有一实根． 二、填空题

11．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝______. 答案 －1

解析 求导得y ′＝k ＋1

x ，依题意k ＋1＝0，

所以k ＝－1.

12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥3

解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.

13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________． 答案 (2,15)

解析 y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15) 14．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案 4，－11

解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0， f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，

⎩⎪⎨

⎪⎧ 2a ＋b ＝－3a 2＋a ＋b ＝9，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝4

b ＝－11

，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11. 三、解答题

15．设23

2，求常数a ，

b .