运筹学-匹配与覆盖问题(名校讲义)

~ 如果找到这样通路P，则求环和 M＝M E ( P)
§5 介绍二分图的两种最大匹 配算法 （2）
~ 则新得 M 就是一个比M更大的匹配，它比M能饱和更多 ~ 的V1中的点。然后把 M 视作M，重复上述步骤。
②举例
[例5-20]已给出二分图G（V1，V2）示示图5-52中，其中 V1={ x1，x2，x3，x4，x5}，V2={ y1，y2，y3，y4，y5}。
§4 二分图的匹配与覆盖 （3）
4．覆盖的另一定义图G中的一个覆盖可定义为V(G)中的一 个子集K，使得G中每条边都至少有一个端点落在K中。后面 不加特殊说明，将采用这种覆盖定义。
~ 实质上，对于图G中的最大匹配M*和最小覆盖 K ，亦存在下 ~ M K 面关系：
5．定理10 设M和K分别是图G的一个匹配和覆盖，且满足 |M|=|K|。则M和K必分别是图G的最大匹配和最小覆盖。 6．定理11 数。 二分图G中的最大匹配边数必等于最小覆盖顶点
③正则图若图G中所有顶点的度均相等，则称图G为 正则的或正则图。顶点度为k的正则图称为k度正则图。
每个顶点都是k度的二分图称k正则二分图。
§4 二分图的匹配与覆盖 （2）
④邻集对于图G中任一顶点集合V0 ，则称与V0 相邻 （有边相联）的所有顶点集合为V0的邻集，可记作NG(V0) 或简写为N(V0)。
§5 介绍二分图的两种最大匹 配算法 （5）
3)从图5-53中的最后完整树看出，通路{x1y2x2y1}是未饱和路， ~ M ＝M+{x1y2}+{x2y1}－{x2y2}={ x1y2，x2y1，x3y3，x5y5}， 故令 ~ 具体示于图5-54中的粗线中。并视 M 为M。
x1 x2 x3 x4 x5
2)显然，x1 ，x4 是未被M饱和的点，任取x1 作为起点，寻求 一条关于M的增广通路。该树的生长过程示于图5-53中。
y1
x2 y2 x1 y2 x1
x2
x2
x3
x2
x3
y2 y3 y2 y 3 x1 图 5-53 x1
y2 y3 x1
y1 y2 y3 y4 y5 图 5-54
§5 介绍二分图的两种最大匹 配算法 （6）
4)观察图5-54，知x4为唯一不饱和点。以x4为根的关于M的交错 通路树的生长过程示于图5-55中。从图中看出，已无饱和通路， 故达到最大匹配，但达不到完全匹配。
x1 x1 x2
§5 介绍二分图的两种最大匹 配算法 （1）
如果说在第二章的整数规划中所说的指派问题是合理安 排人员去完成工作以便寻求费用最低的优化分配的话， 现在所说的分派问题就是合理安排工作人员，以便使更 多人就业。 1．匈牙利算法
①算法思路及步骤 在V1 中选择一个不被M饱和的一个顶点ui ，并且力图寻 找一条以ui为起点的M增广通路。
2．覆盖设M是图G的边集E(G)的一个子集，当图的每 一个顶点至少与该集合中一条边相关联时，则称集合M 为一个覆盖。值得指出的是，在后面叙述二分图时，将 引出覆盖的另一种定义。
3．最大基数匹配图G中包含边数最多的匹配（有时简 称最大匹配），例5-18即是该类匹配问题。
§2 定义 （2）
4．最大权匹配图G中含有边权和最大的匹配（有时简 称最优匹配）。
试求解该问题的最大匹配
§5 介绍二分图的两种最大匹 配算法 （3）
[解]
1)首先给出任意初始匹配M={ x2y2 ，x3y3 ，x5y5}，用图5-52 中的粗线表示。
x1 x2 x3 x4 x5
y1 y2 y3 y4 y5
图 5-52
§5 介绍二分图的两种最大匹 配算法 （4）
第三十讲 匹配与覆盖问题
§1 §2 §3 §4 §5 问题的现实来源 定义 最大匹配定理 二分图的匹配与覆盖 介绍二分图的两种最大匹配算法
§1 问题的现实来源 （1）
匹配和覆盖问题是图论的一个重要分支，在介绍它的基 本定义和有关算法之前，先举例说明其应用背景。
[例5-18]第二次世界大战时，英国空军曾招募了许多沦 陷国的飞行员。空军飞机上需配备两名在航空技能与语 言技能上都相协调的飞行员（当然，一般一个飞行员可 与其多个飞行员搭配）。问如何将众多飞行员进行搭配， 才能使发出的飞机数目最多？
5．最小基数覆盖图G中包含边数最少的覆盖。例5-19 即是该类覆盖问题。 6．最小权覆盖图G中包含边权和最少的覆盖。
§3 最大匹配定理（1）
1．有关术语
若M是G中一个匹配，则M中的一条边的两个端点称作M 下配对。
①若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v， 且称v是M饱和的，否则称v是不饱和的。
x3
y2
x4
y2
x4
y 2 y3 y 2 y 3
x4 图 5-55 x4
§5 介绍二分图的两种最大匹 配算法 （7）
2．最大流算法 ①算法思路及步骤 i)设已知二分图G(V1，V2)中的V1={ x1，x2，，xn }，V2={ y1， y2，，，ym }，标明图中边的方向全部为V1集合指向V2集合。 ii)增设一个源点s和指向V1各点的有向边。 iii)增设一个汇点t和指向V2各点指向t点的有向边。
②完全匹配如果G中每个顶点都被M饱和，则称M匹配 为完全匹配。显然，完全匹配必是最大匹配。图5-48(a) 和(b)分别给出一个最大匹配和完全匹配（图中粗线表示 匹配M）。
§3 最大匹配定理（2）
v7 v6

v1 v2



v5 v4

v3

(a)
图 5-48
v9
v2 v1

v3

v4
v7
v5
v6
v8
2．定理8：图G的一个匹配M成为最大 匹配的充要条件是G不包含M增广通路。
图 5-49
§4 二分图的匹配与覆盖 （1）
1．有关定义
①完全图每对顶点都有边相联的简单图称为完全图。 ②二分图若图的顶点集合可分成两个子集V1和V2，通 常记作G＝(V1，V2；E)。 若二分图中V1的每个顶点与V2的每个顶点都相联，则称 为完全二分图。
在二分图中，人们往往关心图中能否找到饱和V1（或V2） 中所有顶点的匹配。 2．定理9 设G是二分划(V1，V2)的二分图，则G含有饱 和V1 每个顶点的匹配的充要条件是，对所有的V0V1 都 存在：N(V0) V0 3．推论：若G是一个K正则二分图（K＞0），则G必有 一个完全匹配。
iv)令每条边的容量c全为1。
按上述方法便把原问题转换成一个单源单汇的运输网络G’。 显然，G’的最大流量值肯定是原二分图G的最大匹配值。
Baidu Nhomakorabea
§1 问题的现实来源 （2）
[例5-19]某国家有50个州和65个民族，该国需成立参谋 委员会，委员会要求每州至少一人和每个民族也至少一 人，同时希望人员尽量少。现已从全国推选出170人准 备参加该委员会，问如何挑选，才能满足上面要求？ 这两个问题就是典型的匹配和覆盖问题。
§2 定义 （1）
1．匹配设M是图G的连E(G)的一个子集，当图的每一 个顶点最多只与该集合中一条边相关联时，则称集合M 为一个匹配。
(b)
§3 最大匹配定理（3）
③G的M交错通路 路上的边是由G中匹 配M的边与其它边（E － M）交错出现 的通路。例如，图5-49所示的v2 v4 v5 v7 v9 v10就是一条M交错通路。 ④M增广通路起点和终点都是未被M 饱和的交错通路。例如，图5-49中的v1 v2 v4 v7 v5 v8，就是一条M增广通路。 v10