相似三角形总复习
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D
E C
）2 450
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
A A'
B
B' C
C'
AB AC BC ' ' ' ' ' ' ABC∽A BC ∵ AB AC B C
7. △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E， 连结DE， 求△ ADE与△ ABC的相似比。 解 :∵D、E分别为AB、AC的中点 AD AE 1 ∴ AB AC 2 且∠A= ∠A ∴ △ADE∽△ABC
2
EF 2
3
A
（1 2） ）点 E为 EBC 为BC 上任意一点，若 上任意一点 若B= ∠B= ∠= C= ∠ AEF= α° , , ∠ ∠C ∠ AEF= 60 △ABE∽ △ECF 则△ABE与△ 与△ECF ECF 的相似关 的相似 F 系还成立吗？说明理由 关系还成立吗？
B C
E
A
A A 60 α° 60 ° α F F F
B A D
E C
∴ △ADE与△ABC的相似比为1:2
8.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 求△ AED
和△ ABC 的面积比.
解: ∵DE∥BC ∴∠ADE= ∠ABC ∴∠A= ∠A ∴△ADE∽△ABC ∴
AD DB 2 3
A D E
B
C
S ADE 4 2 2 K S ABC 25 5
相似中常用基本图形：
正A型 反A型
X型
双垂直型
M型
看谁的反应快
方法一：同角的余角相等 方法二：三角形的一个外角等 于和它不相邻的两内角的和
根据图形条件 求证： △EFC∽△CDA
E
B
F
C
D
A
如图，F、C、D共线，BD⊥FD, EF⊥FD ， BC⊥EC , 若DC=2 ，BD=3，FC=9,则EF的长为（ A ） （A）6 （B）16 △CEF∽ △BCD 27 . （C） 26 （D） 9
双垂直型
C
O
D
B
CD AD
BD CD
3、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.
求证:AB2=AE·AD
证明：连接BD ∵AB=AC
A O· B D
∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB
C
E
AD AB AB AE ∴AB2=AE·AD
综合运用
练习一
• 1、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k D (k≠1)，则k的值是（ ） • A．∠A：∠A′ B．A′B′：AB C．∠B： ∠B′ D．BC：B′C′ • 2、△ABC∽△A′B′C′,如果BC=3, B′C′=2,那 么△A′B′C′与 △ABC的相似比为 ____
2:3
练习二
1、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E， 使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x
的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
A
1
y
E
B
x
α 60 ° α 60 °
E E E
B BB
α 60 60 ° α° C C C
1.如图，已知⊙O的两条弦AB、 CD交于E，AE=BE=6,ED=4，则 9 X型 CE=____.
∴△AED∽ △CEB
CE AE
A
C
E D
.O
B
BE ED
2.如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆 上一点，且CD⊥AB于D,AD=12,BD=3， 6 则CD=____. ∴△ACD∽ △CBD A
D
C
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一
个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE A
1 450 450
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° B ∴∠ADE=∠B=45°
• 相关定义： 对应角相等、对应边成比例 的三 • 相似三角形： 角形叫做相似三角形。 • 相似比：相似三角形的 对应边 的比，叫 做相似三角形的相似比。
性质： 相等 a )相似三角形的对应角 ； b )相似三角形的对应边 成比例 ； c )相似三角形的对应角平分线、中线、高 线的比等于 相似比 ； d )相似三角形的周长的比等于 相似比 。 e )相似三角形的面积的比等 于 相似比的平方 。
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
判定定理1
①两角对应相等的两个三角形相似．
A A'
B
B' C
C'
∵∠A=∠Aˊ, ∠B=∠Bˊ∴△ABC∽△A′B′C′
判定定理2
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
A
A′
B′ C
B
C′
∵∠A=∠A/
且
AB AC A/ B / A/ C /
∴△ABC∽ △A/B/C/
判定定理3
③三边对应成比例的两个三角形相似．
1、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则 ∠B′等于（ ） A A．30° B．50° C．40° D．70° 2、等腰△ABC∽△DEF，其相似比为3 ：4，则它们底 边上对应高线的比为（ A） A、3 ：4 B、4 ：3 C、1 ：2 D、2 ：1 3、两个相似三角形对应边的比为1：2，则周长比 1：2 ；对应角平 为 1：2，面积比为 1：4 ，相似比为： 分线比为： 1：2，对应中线比为：1：2 ，对应高线比 为： 1：2 。 4、已知， △ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周 长为18，则△DEF的周长为（c ） A．2 B．3 C．6 D．54
AD 2 K AB 5
2
9. △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， 且∠AED= ∠ B，求证：AD· BC=AC· DE 解: ∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
A D E B C
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∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
AD DE AC BC
∴ AD· BC=AC· DE
E C
）2 450
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
A A'
B
B' C
C'
AB AC BC ' ' ' ' ' ' ABC∽A BC ∵ AB AC B C
7. △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E， 连结DE， 求△ ADE与△ ABC的相似比。 解 :∵D、E分别为AB、AC的中点 AD AE 1 ∴ AB AC 2 且∠A= ∠A ∴ △ADE∽△ABC
2
EF 2
3
A
（1 2） ）点 E为 EBC 为BC 上任意一点，若 上任意一点 若B= ∠B= ∠= C= ∠ AEF= α° , , ∠ ∠C ∠ AEF= 60 △ABE∽ △ECF 则△ABE与△ 与△ECF ECF 的相似关 的相似 F 系还成立吗？说明理由 关系还成立吗？
B C
E
A
A A 60 α° 60 ° α F F F
B A D
E C
∴ △ADE与△ABC的相似比为1:2
8.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 求△ AED
和△ ABC 的面积比.
解: ∵DE∥BC ∴∠ADE= ∠ABC ∴∠A= ∠A ∴△ADE∽△ABC ∴
AD DB 2 3
A D E
B
C
S ADE 4 2 2 K S ABC 25 5
相似中常用基本图形：
正A型 反A型
X型
双垂直型
M型
看谁的反应快
方法一：同角的余角相等 方法二：三角形的一个外角等 于和它不相邻的两内角的和
根据图形条件 求证： △EFC∽△CDA
E
B
F
C
D
A
如图，F、C、D共线，BD⊥FD, EF⊥FD ， BC⊥EC , 若DC=2 ，BD=3，FC=9,则EF的长为（ A ） （A）6 （B）16 △CEF∽ △BCD 27 . （C） 26 （D） 9
双垂直型
C
O
D
B
CD AD
BD CD
3、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.
求证:AB2=AE·AD
证明：连接BD ∵AB=AC
A O· B D
∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB
C
E
AD AB AB AE ∴AB2=AE·AD
综合运用
练习一
• 1、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k D (k≠1)，则k的值是（ ） • A．∠A：∠A′ B．A′B′：AB C．∠B： ∠B′ D．BC：B′C′ • 2、△ABC∽△A′B′C′,如果BC=3, B′C′=2,那 么△A′B′C′与 △ABC的相似比为 ____
2:3
练习二
1、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E， 使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x
的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
A
1
y
E
B
x
α 60 ° α 60 °
E E E
B BB
α 60 60 ° α° C C C
1.如图，已知⊙O的两条弦AB、 CD交于E，AE=BE=6,ED=4，则 9 X型 CE=____.
∴△AED∽ △CEB
CE AE
A
C
E D
.O
B
BE ED
2.如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆 上一点，且CD⊥AB于D,AD=12,BD=3， 6 则CD=____. ∴△ACD∽ △CBD A
D
C
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一
个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE A
1 450 450
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° B ∴∠ADE=∠B=45°
• 相关定义： 对应角相等、对应边成比例 的三 • 相似三角形： 角形叫做相似三角形。 • 相似比：相似三角形的 对应边 的比，叫 做相似三角形的相似比。
性质： 相等 a )相似三角形的对应角 ； b )相似三角形的对应边 成比例 ； c )相似三角形的对应角平分线、中线、高 线的比等于 相似比 ； d )相似三角形的周长的比等于 相似比 。 e )相似三角形的面积的比等 于 相似比的平方 。
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
判定定理1
①两角对应相等的两个三角形相似．
A A'
B
B' C
C'
∵∠A=∠Aˊ, ∠B=∠Bˊ∴△ABC∽△A′B′C′
判定定理2
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
A
A′
B′ C
B
C′
∵∠A=∠A/
且
AB AC A/ B / A/ C /
∴△ABC∽ △A/B/C/
判定定理3
③三边对应成比例的两个三角形相似．
1、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则 ∠B′等于（ ） A A．30° B．50° C．40° D．70° 2、等腰△ABC∽△DEF，其相似比为3 ：4，则它们底 边上对应高线的比为（ A） A、3 ：4 B、4 ：3 C、1 ：2 D、2 ：1 3、两个相似三角形对应边的比为1：2，则周长比 1：2 ；对应角平 为 1：2，面积比为 1：4 ，相似比为： 分线比为： 1：2，对应中线比为：1：2 ，对应高线比 为： 1：2 。 4、已知， △ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周 长为18，则△DEF的周长为（c ） A．2 B．3 C．6 D．54
AD 2 K AB 5
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9. △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， 且∠AED= ∠ B，求证：AD· BC=AC· DE 解: ∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
A D E B C
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∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
AD DE AC BC
∴ AD· BC=AC· DE