工程制图_第三章点_直线、平面
工程制图第3章 点、直线和平面的投影
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
土木工程制图第三章点-直线和平面的投影PPT课件
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
土建工程制图点直线平面的投影市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
第8页
点投影
土木工程制图 习题集
6.已知点B在点A正下方H面上，点C在点A正左方15mm，求B、 C投影，并判别重影点可见性。
Z
a'
a″
X
YW
O
a YH
已知
第9页
点投影
c'
a'
土木工程制图 习题集
Z c″(a″)
X
b'
b″
YW
O
c a(b) YH
作图
第10页
点投影
土木工程制图 习题集
a' X
a
b' e'
c'(d′)
c
d
b
e
已知
f' O
f
a' X
a
h'
g' c'(d′)
g c
f' O
f
d
h
b
e
姓名
成绩
6
作图
第36页
直线投影——应用题
土木工程制图 习题集
1.判别交叉直线重影点可见性。
6.判别交叉直线重影点的可见性。 d'
a'
c'
X
a
d
c
8.求直线AB与CD的距离。
b'
c'
b' O
X
Xa
k' b'
a Oc k
b' YW O
b
b
YH
k点
10.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。 b' Z
作图
第27页
机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
《工程制图基础》期终复习提纲
8.1 平面体与回转体的表面相交
8.2 两回转体的表面相交
8.3 多形体表面相交和不完整形体表面相交
8.1
平面体与回转体的表面相交
1. 相贯线分析
2. 作图方法
分析各棱面与回转体表面的交线
求出各段交线的结合点——棱线与回转面的穿点 求各结合点之间的若干中间点 连接各段交线，并判断可见性。
A A--A
120º
A
旋合长度
大径、小径分别对齐 旋合部分按外螺纹画（实心杆件按不剖画）
螺纹紧固件的装配画法 螺栓连接
2 L 3-5
注意 有线！
1 (螺栓,螺母,垫圈等均按未剖绘制)
1.1d
L=1+2+0.15d+0.8d+(3-5)/T 68 - M12 50
看图的方法和步骤
1. 看视图抓特征 2. 分析形体对投影
看图顺序： 先看主要部分，后看次要部分；先看容 易确定的部分，后看难于确定的部分；先看 整体形状，后看细节形状。
3. 综合起来想整体
4. 面形分析攻难点
9.2 组合体视图的绘制
画图步骤及要领
对组合体进行形体分析 —— 分块
要 点 保持相对位 置的正确。
15.3 零件的视图选择 15.4 零件的尺寸标注与技术要求简介 15.6 典型零件的图样画法
第 十六 章 标 准 件 与 常 用 件
16.1 螺纹及螺纹紧固件
16.3 齿轮
16.1 螺纹及螺纹紧固件
螺纹的形成及结构要素 螺纹的种类 螺纹的规定画法
螺纹的标注方法
螺纹紧固件
内、外螺纹连接画法
《工程制图基础》
复习总结
绪论
工程制图 第三章
属于直线的点
它的三个投影分别属于直线的三个投影。 点分线段之比投影后保持不变。
AC a c ac CB c b cb
证明：投影面平行线的投影是否反映实长
ab AB cos
当
90 时,
B A
AB P
当
ab 0
投影积聚一点
B1 a b P
0 时， AB // P ab AB
三、点的三面投影的投影规律
1.点的V、H投影连线垂直于OX轴，即
a a OX
2.点的V、W投影连线垂直于OZ轴，即 a a OZ 3.点的H投影到OX轴的距离等于点的W投影到OZ轴的距离，即 aax a a z
四、空间两点的相对位置可利用它们在投影图中各组同名投影 (同面投影)来判断
作图步骤 判别可见性
作图步骤
迹线表示平面
几何元素表示平面
判别可见性
2、一般位置平面与特殊位置平面相交
作图步骤 判别可见性
作图步骤
判别可见性
3、两投影面垂直面相交
m
n
X
O
RH
m( n)
QH
4、直线为特殊位置
1
m(n) 2
3
n
1
2(3)
m
1、直线与一般位置平面相交
求作交线的步骤： 1.含直线DE 作辅助平面
名称
正平面
水平面
正垂面
铅垂面
立 体 图
轨 迹
投 影 图
过直线EF，作铅垂面和正垂面
PV
铅垂面S
正垂面P
一般位置平面
投影特性: (1) 三个投影 均为的类似形 (2) 投影图不反映a、、 的真实角度
工程制图第三章-点、直线、平面投影
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
工程制图第三章知识点
⼯程制图第三章知识点第三章⼀、点的投影两点的相对位置 :X 坐标值⼤的点在左; Y 坐标值⼤的点在前; Z 坐标值⼤的点在上。
⼆、直线的投影1、各种位置直线的投影特性(1 投影⾯平⾏直线:在平⾏的投影⾯上的投影,反映实长;投影与投影轴的夹⾓分别反映直线与另两个投影⾯的真实倾⾓; 在另两个投影⾯上的投影, 平⾏于相应的投影轴,长度缩短。
(2 投影⾯垂直直线:在直线垂直的投影⾯上的投影积聚成⼀点; 在另两个投影⾯上的投影,平⾏于相应的投影轴,反映实长。
(3 ⼀般位置直线:三个投影⾯上的投影都倾斜于投影轴; 投影与投影轴的夹⾓不反映直线与投影⾯的倾⾓;不反映实长(缩短。
2、直线上点的投影特性及定⽐关系(1从属性:若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同⾯投影上。
(2定⽐性:属于线段上的点分割线段之⽐等于其投影之⽐。
3、两直线的相对位置关系及投影特性(1平⾏:三对同⾯投影分别互相平⾏。
(2 相交:三对同⾯投影都分别相交, 且投影的交点符合⼀点的三⾯投影特性。
(3交叉:既不符合平⾏特性也不复合相交特性。
判断两直线相交还是交叉的⽅法:(1 交点投影法:判断三个投影⾯的交点是否满⾜点的投影规则。
(通常需要做出第三投影⾯的两直线投影来判断(2定⽐关系法:由投影⾯的⼀条直线的交点投影,根据定⽐关系作出该交点在另⼀个投影⾯在该直线上的点的位置, 如果两个投影⾯上的交点是同⼀点, 则可判断两直线相交,反之则交叉。
4、直⾓三⾓形法 (求⼀般位置直线的实长和倾⾓直⾓三⾓形法的作图要领 :⽤线段在某投影⾯上的投影长作为⼀条直⾓边,以线段的两端点相对于该投影⾯的坐标差作为另⼀条直⾓边, 所作直⾓三⾓形的斜边即为线段的实长,斜边与投影长间的夹⾓即为线段与该投影⾯的倾⾓。
直⾓边与倾⾓的对应关系如下表:解题原则:求直线与哪个投影⾯的倾⾓, 就⽤哪个投影⾯上的投影长作为⼀条直⾓边。
5、直⾓的投影定理相互垂直的两直线, 其中有⼀条直线平⾏于投影⾯时, 则两直线在该投影⾯上的投影仍反映直⾓。
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
土建工程制图第章点直线平面的投影_图文
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
3.过E点作一直线与已知两交叉直线AB、C直线的相对位置
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
5.作直线GH,使其与CD和EF相交且AB平行。
已知
作图
直线的投影——应用题
3.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
4.求平面内点的另一投影。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
5.求平面ABC内直线EF的H面投影
（a）已知
（b）作图
分析：线段EF在平面ABC上，它一定通过平面上两个点， 作图过程及结果见上图(b)。
平面的投影——各种位置平面的投影
4.已知A、B、C三点的各一投影a、b′、c“，且Bb′=10， Aa=20，C c"=5。完成各点的三面投影，并用直线连接各同
面投影。
已知
点的投影
作图
点的投影
5.作出A、B两点的W面投影，并判断它 们的相对位置
A在B
A在B左前上方
已知
作图
分析：已知点的两投影可以求出点的第三投影，作图过程及 结果见上图（b)
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
4) 过AB作一般面△ABC.
1)
2)
3)
4)
已知
平面的投影——各种位置平面的投影
3.过已知点、线作平面。
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
《建筑工程制图》题库
《道路工程制图》题库一、选择题（每题1 分，共51 分）第一章制图基础1、丁字尺是用来与图板配合画水平线的，下面使用方法错误的是：（）（C）（易）A保持尺头与图板左边贴紧B水平线应由上向下逐条画出C 可用丁字尺的下边画水平线D 应防止受潮、曝晒、烘烤或弯曲2、据铅芯硬度不同用H或B标明，其中H表示（）。
（A）（易）A 硬而淡B软而浓C软硬适中D硬而浓3、A1图幅的图纸外形尺寸是（）。
（C）（易）A 841×1189B 840×1189C 594×841D 594×8404、对图中比例下面表述正确的是（）。
（D）（中）A 1：100<1：200B 1：50<1：200C1：100>1：50D1：100>1：2005、图上所有尺寸数字是物体的（）大小数值，与图形选用比例（）。
（D）（易）A 缩小无关B扩大有关C实际有关D实际无关6、在画底稿时，应选用（）或（）铅笔轻轻画出。
（B）（中）A B 或H B H 或2H C B 或2B D 2B 或2H7、丁字尺是用来与图板配合画（）的。
（B）（易）A.铅垂线B.水平线C.竖直线D.平行线8、下面硬度最高的铅芯是（）。
（D）（易）A.HB.HBC.2BD.2H第二章投影的基本知识9、为了能在一张图纸上同时反映出三个投影图，即将三投影面体系展开，展开时规定（）不动。
（D）（易）A 投影面B H面C W面D V面10、将三投影面体系展开后，Y轴分成两部分，其中随W面旋转的用（）表示。
（B）（中）A Y HB Y WC W YD H Y 11、轴测投影图能在单面投影图中同时反映出形体的（）向度。
（B）（中）A 4个B 3个C 2个D 1个12、轴测投影图采用平行投影的方法绘制，它有（）投影面。
（A）（难）A 1个B 2个C 3个D 4个13、三个轴向变化率有两个相等的轴测投影图称为（）。
（C）（易）A 正三测B 斜三测C 正（或斜）二测D 正（或斜）等测14、三个轴向变化率都不相等的轴测投影图称为（）。
工程制图练习题第三章
3-18已知等边三角形ABC为一侧平面,又 知其AC的侧面投影a″c″和c′,求其三面投影。
3-18已知等边三角形ABC为一侧平面,又 知其AC的侧面投影a″c″和c′,求其三面投影。
3-19已知三角形ＣDE为一铅垂面和正面 投影,并知其与Ｗ面的倾角γ=60°,求该平面 的另两个投影。
3-19已知三角形ＣDE为一铅垂面和正面 投影,并知其与Ｗ面的倾角γ=60°,求该平面 的另两个投影。
3-48(1)求直线与平面相交的交点,并判断 可见性。
3-48(1)求直线与平面相交的交点,并判断 可见性。
3-48(2)求直线与平面相交的交点,并判断 可见性。
3-48(2)求直线与平面相交的交点,并判断 可见性。
3-48(3)求直线与平面相交的交点,并判断 可见性。
3-48(3)求直线与平面相交的交点,并判断 可见性。
3-15作出下列各平面的第三投影,并回答 它们相对投影面的位置。
3-15作出下列各平面的第三投影,并回答 它们相对投影面的位置。
3-15作出下列各平面的第三投影,并回答 它们相对投影面的位置。
3-16已知等腰直角三角ABC为一正平面, 又知斜边AC的正面投影a’c’和c的水平投影, 求其三面投影。
3-24(2)直线AD属于已知平面,求直线的 另一投影。
3-25试完成三角形ABC的水平投影,AD为 側垂线。
3-35试完成三角形ABC的水平投影,AD为 側垂线。
3-36过A点作一水平线AB与CD相交。
3-36过A点作一水平线AB与CD相交。
3-37判断二直线的相对位置。
3-37判断二直线的相对位置。
3-40判断两直线是否垂直。
(1) (2)
(3)
答:垂直 (4)
工程制图 第三章3-2
§3-2 点、直线、平面的投影任何物体的表面都是由点、线、面等几何元素组成。
如图3-11所示三棱锥，是由四个平面、六条棱线和四个点组成。
由于工程图样是用线框图形来表达，所以绘制三棱锥的三视图，实际上就是绘制构成三棱锥表面的这些点、棱线和平面的三面投影1。
因此，要正确绘制和阅读物体的三视图，须掌握这些基本几何元素的投影规律。
图3-11三棱锥一、点的投影１．点的三面投影形成如图3-12a所示，过空间点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″2即为点A 在三个投影面上的投影。
按前述三投影面体系的展开方法将三个投影面展开（图3-12b），去掉表示投影面范围的边框，即得点A的三面投影图（图3-12c）。
图中a x、a y、a z分别为点的投影连线与投影轴OX、OY、OZ的交点。
图3-12点的三面投影形成２．点的三面投影规律从图3-12中点A的三面投影形成可得出点的三面投影规律：（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。
（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aa x＝a″a z.此外，从图3-12a还可看出点的投影到投影轴的距离，分别等于空间点到相应投影面的距1本书中，体的多面投影称为视图。
点、线、面等几何元素的投影一般称为投影图。
2空间点用大写字母表示，H面投影用相应的小写字母表示，V面投影用相应的小写字母加“′”表示，W 面投影用相应的小写字母加“″”表示。
离。
如：a′a z＝aa YH反映点A到W面的距离；a′a x＝a″a Yw反映点A到H面的距离； aa x＝a″a z反映点A到V面的距离.根据上述点的三面投影规律，在点的三面投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就可求作出该点的第三面投影。
〔例3-2〕已知点B的V面投影b′与H面投影b，求作W面投影b″（图3-13a）。
土建工程制图 第3章 点、直线、平面的投影
已知
a'
作图
d'
c'
直线的投影——应用题
3.求直线AB与CD的距离.
c m b' c' a' a' X d' a c(d ) O
X
土木工程制图 习题集
b'
d'
c'
a' X d' a
a
距离
O
c(d )
b
姓名
土木工程制图 习题集
a' a' O b
a'
△
b'
c' b' O
b' X
X
X
b
b
△
c
a a a
20
姓名
C0
直线的投影
直线上点
班级
已知
作图
直线的投影——直线上的点
4.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。
b' a' X
b
土木工程制图 习题集
Z
b' c' a'
YW
Z
a″ c″ b″
45°
X
b
YW
c
a'
d'
a' m' 20 n'
d'
c' X c a
b' O d
X X
c'
b' O
c a m
n
d
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
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2020/3/21
画法几何及水利工程制图 仝基斌
上一页 下一页
4
二、点在三投影面体系中的投影
1. 三投影面体系的建立
点三面投影动画演示
点三面投影展开动画演示
A （空间点）到 W面投影，标记 a“ , 称侧面投影得 a ‘a“ ⊥ oz 展开 W、H OY轴一分为二OYh、 OYw
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2） 另外两个投影面上的 投影∥相应的投影轴， 长度缩短。
退回总目录 回章节目录
投影面平行线实例动画
2020/3/21
画法几何及水利工程制图 仝基斌
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18
2．投影面垂直线
( ⊥一个投影面而， ∥另外两个投影面 ) 正垂线 (⊥ V面； ∥ H、W面） 铅垂线 (⊥ H面 ；∥ V、W面） 侧垂线 (⊥ W面 ； ∥V、H面）
a′
z
a″
x a
o
动画演示
Yw
思考：点A到哪个投影面距离近
Yh
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2020/3/21
画法几何及水利工程制图 仝基斌
7
三、点的投影与直角坐标的关系
1.点A（xA、yA、zA）的投影与坐标关系： xA＝aZ a′＝aYHa＝a″A（点到W面的距离）
yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（点到V面的距离） zA＝aX a′＝aYW a″＝aA（点到H面的距离）
思考：不求侧面投影，用定比性来判断点M是不是直线AB上的点。
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五、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种情况：平行 、相交 （亦称共面直线）
交叉
（亦称异面直线）
1．两直线平行
若空间两直线平行，则三个面同面投影必定互相平行。
第三章 点、直线、平面的投影
本章教学目的与要求
1、掌握点的投影规律； 熟悉点的投影与该点坐标间关系； （重点） 熟悉两点的相对位置及重影点； （难点）
2、熟练掌握各种空间位置直线的投影特征； （重点） * 掌握一般位置直线求实长（直角三角形法）； （难点） 熟练掌握直线上的点和直线的关系； 熟练掌握两直线的相对位置：平行、相交、交叉； （难点）
a′ b′ x
z b″
o
a″ yw
b a
yh
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四、重影点
当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，因而在由相 同两坐标确定的投影面上具有重合的投影，则这两投影称为对该投影面的重 影点。重影点要判别可见性： 由两点不同的坐标的大小判别，坐标大的可 见，反之不可见。不可见点加括号。
2. 定比性：点分线段长度比等于其投影分线段投影长度之比。 (定比定则 AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″
利用这一特性在不作出侧面投影的情况下，在线上找点或判断已知点是否在线上。
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直线上点的投影动画
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点的投影坐标表示：a′（x,o,z)、 a″ （o,y,z) 、a （x,y,o)
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2. 特殊位置点：
投影面上点的投影特性： 1）点的一个投影与空间点本身重合；
2）点的另两个投影在相应的坐标轴上；
投影轴上的点的投影特性：1）点的两个投影与空间点本身重合；
反之，若直线同面投影都（三面）互相平行，则两直线在空间必定互 相平行。
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两直线平行动画
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【例七】判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图 ）
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*2 . 直角三角形法求直线实长 及对投影面的倾角
（1）求AB的实长和对水平投影面的倾角α
（2）求AB的实长和对正投影面的倾角β （3）求AB的实长和对侧投影面的倾角γ
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3、熟悉平面的投影表示法和各种位置平面的投影特征； （重点） 熟练掌握平面上如何取点和线； （重点） 熟练掌握直线与平面、两平面相对位置：平行、相交
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第一节 点的投影
任何立体都可以看作是点 的集合。点是基本几何要素， 研究点的投影性质和规律是掌 握其他几何要素投影的基础。 如左图所示，过空间点A向投 影面作投射线（即垂线）， A 点在投影面上的投影为a。反 之，若已知投影a， 不能唯一 确定点A的空间位置。确定一 个空间点至少需要两个投影。
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重影点动画演示
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第二节 直线的投影
一、概述
一般位置直线 （∠投影面，不反映实长）
1.直线的分类
投影面平行线（∥投影面、反映实长）
特殊位置直线
投影面垂直线（⊥投影面、积聚为一点）
2.直线的投影特性 :直线的投影一般仍为直线（特殊为点）；直线的投影可连接线段
反映实长
（1） ab积聚为一点 （2） a′b′⊥OX，
a″b″⊥OYW， a′b′、a″b″ 均反映实长。
1） a″b″积聚为一点 2） a′b′⊥OZ，
ab⊥OYH，ab、 a′b′均反映实长
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投影面垂直线的投影特性如下：
【例四】 ：已知线段的实长AB,求它的水平投影ab。 （思考：已知 β=30°，求它的水平投影ab）
30°
a
a
两解
a
两解
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五、直线上的点（线上找点）
1. 从属性：点在线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之, 点 的 各个投影在线的同面投影上, 则该点 一定在直线上。 利用这一特性可在线上找点或判断已知点是否在线上。
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|yA-yB|
a
X
b
a
AB
|yA-yB|
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|yA-yB|
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3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
b B b
a
b
A
a
a
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|xA-xB|
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规律：用一般位置线的一个投影及对该面的坐标差为二直 角边求作其实长和倾角的方法俗称为直角三角形法。
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[例题五] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求 分点C的投影c、c 。
c
c
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[例题六] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc ca
c
c
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（变化：已知m、 m′判断点M是否在 AB上）
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1．点的两面投影
V面投影，标记a′称正面投影 A点
H面投影，标记a ，称正面投影 分析： ox ⊥ Aa、
ox ⊥ a′ax、 ox ⊥ a ax 投影平面展开连线得 a a′ ⊥ ox A a′= a ax a′ax = A a
与ox轴交点ax
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点在两投影面体系中的投影规律
（1）点的投影连线垂直于投影轴，即a a′⊥OX。 （2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相邻投影面的距离，
即aax＝A a′、a′ax＝Aa。
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2.点在三投影面体系中的投影规律：
（1）点的投影连线 ⊥相应的投影轴。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ （2）空间点到投影面的距离=该点在另外两投影面的投影到相应
投影轴的距离。 az a″= a a x=A a′(宽y相等） 作图要求：作图线用细实线，点用黑点标出。
2.点的相对位置的判别：x坐标→判别左右的方向；y坐标→判别前后的方向 z坐标→判别前后的方向
两点的相对位置动画演示
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【例三】已知点A的三面投影 ，并知B点在A点 的左边5mm,下边10mm，后边 5mm，求B点的三面投影
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侧平线动画演示 上一页 下一页
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正平线、水平线和侧平线投影图及投影特性
名
正平线
称
（AB∥V面）