工程制图_第三章点_直线、平面

反之，若直线同面投影都（三面）互相平行，则两直线在空间必定互 相平行。
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两直线平行动画
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【例七】判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图 ）
（1） ⊥投影面上的投影， 积聚成一点。
（2）另外两个投影面上的 投影，⊥相应的投影 轴，且反映实长。
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投影面垂直线实例动画
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三、一般位置直线
（与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线） 1. 一般位置直线的投影特性为： （1）三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长； （2）与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。
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2.点在三投影面体系中的投影规律：
（1）点的投影连线 ⊥相应的投影轴。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ （2）空间点到投影面的距离=该点在另外两投影面的投影到相应
投影轴的距离。 az a″= a a x=A a′(宽y相等） 作图要求：作图线用细实线，点用黑点标出。
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|yA-yB|
a
X
b
a
AB
|yA-yB|
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|yA-yB|
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3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
b B b
a
b
A
a
a
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|xA-xB|
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规律：用一般位置线的一个投影及对该面的坐标差为二直 角边求作其实长和倾角的方法俗称为直角三角形法。
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[例题五] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求 分点C的投影c、c 。
c
c
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[例题六] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc ca
c
c
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（变化：已知m、 m′判断点M是否在 AB上）
2.点的相对位置的判别：x坐标→判别左右的方向；y坐标→判别前后的方向 z坐标→判别前后的方向
两点的相对位置动画演示
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仝基斌
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【例三】已知点A的三面投影 ，并知B点在A点 的左边5mm,下边10mm，后边 5mm，求B点的三面投影
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侧平线动画演示 上一页 下一页
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正平线、水平线和侧平线投影图及投影特性
名
正平线
称
（AB∥V面）
投 影 图
水平线 （AB∥H面）
侧平线 （AB∥W面）
投 （1）a′b′反映实长， 反 （1） ab反映实长，反
影
映角α、γ。
映角β、γ。
特 性
（2）ab∥OX， a″b″∥OZ 均小于实长。
反映实长
（1） ab积聚为一点 （2） a′b′⊥OX，
a″b″⊥OYW， a′b′、a″b″ 均反映实长。
1） a″b″积聚为一点 2） a′b′⊥OZ，
ab⊥OYH，ab、 a′b′均反映实长
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投影面垂直线的投影特性如下：
3、熟悉平面的投影表示法和各种位置平面的投影特征； （重点） 熟练掌握平面上如何取点和线； （重点） 熟练掌握直线与平面、两平面相对位置：平行、相交
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第一节 点的投影
任何立体都可以看作是点 的集合。点是基本几何要素， 研究点的投影性质和规律是掌 握其他几何要素投影的基础。 如左图所示，过空间点A向投 影面作投射线（即垂线）， A 点在投影面上的投影为a。反 之，若已知投影a， 不能唯一 确定点A的空间位置。确定一 个空间点至少需要两个投影。
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二、点在三投影面体系中的投影
1. 三投影面体系的建立
点三面投影动画演示
点三面投影展开动画演示
A （空间点）到 W面投影，标记 a“ , 称侧面投影得 a ‘a“ ⊥ oz 展开 W、H OY轴一分为二OYh、 OYw
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正垂线
铅垂线
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侧垂线
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正垂线、铅垂线和侧垂线的投影及投影特性
名
正垂线
称
（AB⊥V面）
投 影 图
铅垂线 （AB⊥H面）
侧垂线 （AB⊥W面）
投 影 特
1）a′b′积聚为一点 2） ab⊥OX，
a″b″⊥OZ，
性
ab,a″b″均
点的投影坐标表示：a′（x,o,z)、 a″ （o,y,z) 、a （x,y,o)
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2. 特殊位置点：
投影面上点的投影特性： 1）点的一个投影与空间点本身重合；
2）点的另两个投影在相应的坐标轴上；
投影轴上的点的投影特性：1）点的两个投影与空间点本身重合；
（2） a′b′∥OX a″b″∥OYH 均小于实长。
（1） a″b″反映实长， 反映角α、β
（2） a′b′∥OZ ab∥OYW 均小于实长
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投影面平行线的投影特性如下：
1） ∥投影面上的投影， 反映实长； 夹角分 别反映直线对另两投 影面的真实倾角。
a′
z
a″
x a
o
动画演示
Yw
思考：点A到哪个投影面距离近
Yh
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三、点的投影与直角坐标的关系
1.点A（xA、yA、zA）的投影与坐标关系： xA＝aZ a′＝aYHa＝a″A（点到W面的距离）
yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（点到V面的距离） zA＝aX a′＝aYW a″＝aA（点到H面的距离）
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二、特殊位置直线
1．投影面平行线：( ∥一个投影面而， ∠另外两个投影面 )
正平线 (∥ V面； ∠H、W面） 水平线 (∥ H面 ； ∠V、W面） 侧平线 (∥ W面 ； ∠V、H面）
正平线动画演示
水平线动画演示
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思考：不求侧面投影，用定比性来判断点M是不是直线AB上的点。
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五、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种情况：平行 、相交 （亦称共面直线）
交叉
（亦称异面直线）
1．两直线平行
若空间两直线平行，则三个面同面投影必定互相平行。
第三章 点、直线、平面的投影
本章教学目的与要求
1、掌握点的投影规律； 熟悉点的投影与该点坐标间关系； （重点） 熟悉两点的相对位置及重影点； （难点）
2、熟练掌握各种空间位置直线的投影特征； （重点） * 掌握一般位置直线求实长（直角三角形法）； （难点） 熟练掌握直线上的点和直线的关系； 熟练掌握两直线的相对位置：平行、相交、交叉； （难点）
2） 另外两个投影面上的 投影∥相应的投影轴， 长度缩短。
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投影面平行线实例动画
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2．投影面垂直线
( ⊥一个投影面而， ∥另外两个投影面 ) 正垂线 (⊥ V面； ∥ H、W面） 铅垂线 (⊥ H面 ；∥ V、W面） 侧垂线 (⊥ W面 ； ∥V、H面）
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【例一】已知点A的正面投影a′和水平投影a， 求A的侧面投影a″。
分析：由于已知点A的正面投影和水平投影，则A点的空间位 置可以确定，因 此可作出其侧面投影。
作图：过a作OYH的垂线与45º辅助线相交，过交点作OYW的垂线与过a′的 水平线相交，交点即为 a″。
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1．点的两面投影
V面投影，标记a′称正面投影 A点
H面投影，标记a ，称正面投影 分析： ox ⊥ Aa、
ox ⊥ a′ax、 ox ⊥ a ax 投影平面展开连线得 a a′ ⊥ ox A a′= a ax a′ax = A a
与ox轴交点ax
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点在两投影面体系中的投影规律
（1）点的投影连线垂直于投影轴，即a a′⊥OX。 （2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相邻投影面的距离，
即aax＝A a′、a′ax＝Aa。
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重影点动画演示
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第二节 直线的投影
一、概述
一般位置直线 （∠投影面，不反映实长）
1.直线的分类
投影面平行线（∥投影面、反映实长）
特殊位置直线
投影面垂直线（⊥投影面、积聚为一点）
2.直线的投影特性 :直线的投影一般仍为直线（特殊为点）；直线的投影可连接线段
两个端点的同面投影来确定；直线的投影有类似性、真实性、积
聚性等三个特性
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3.直线与投影面夹角的约定
与水平投影面的倾角用α表示 正面投影面的倾角用β表示 侧面投影面的倾角用γ表示
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a′ b′ x
z b″
o
a″ yw
b a
yh
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四、重影点
当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，因而在由相 同两坐标确定的投影面上具有重合的投影，则这两投影称为对该投影面的重 影点。重影点要判别可见性： 由两点不同的坐标的大小判别，坐标大的可 见，反之不可见。不可见点加括号。
2. 定比性：点分线段长度比等于其投影分线段投影长度之比。 (定比定则 AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″
利用这一特性在不作出侧面投影的情况下，在线上找点或判断已知点是否在线上。
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直线上点的投影动画
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退回总目录 回章节目录 一般位置直线动画演示
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*2 . 直角三角形法求直线实长 及对投影面的倾角
（1）求AB的实长和对水平投影面的倾角α
（2）求AB的实长和对正投影面的倾角β （3）求AB的实长和对侧投影面的倾角γ
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1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
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|zA-zB|
|zA-zB|
AB
AB
|zA-zB|
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|zA-zB |
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2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
AB
b
|yA-yB|
2）点的另一个投影在原点；
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【例二】已知点A的坐标（20，0，10），点B的坐标 （30，10，0）；点C的坐标（15，0，0）， 求作各点的三面投影图。
分析：由于yA＝0，则点A在V面上，而zB＝0，点B在H面上，又由于yC=0，
【例四】 ：已知线段的实长AB,求它的水平投影ab。 （思考：已知 β=30°，求它的水平投影ab）
30°
a
a
两解
a
两解
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a 仝基斌
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五、直线上的点（线上找点）
1. 从属性：点在线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之, 点 的 各个投影在线的同面投影上, 则该点 一定在直线上。 利用这一特性可在线上找点或判断已知点是否在线上。
zC=0， 点COX轴上。
作图：（见下图）
z
a′
a″
b′
c′
x
ac
o (c″) b″
Yw
b
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YH
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三、两点的相对位置
1.空间方位的约定：x坐标增大的方向为向左的方向 ；y坐标增大的方向为向 前的方向； z坐标增大的方向为向上的方向