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bk 与 a1 , · · ·, ak 等价.
综上所述, 求向量空间 V 的一个标准正交基 可归为以下三步:
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · ·, ar; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · ·, ar
正交化, 得正交基 b1 , · · ·, br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · ·, br 单位化即得 V
求 V 的一个标准正交基. 也就是要找一组两两
正交的单位向量x1 , x2 , · · ·,xr , 使 x1 ,x 2 , · · ·, xr 与
a1 , a2 , · · ·, ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 ,
· · · , ar 这个基标准正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , · · ·, ar 规范
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2
令
2 1 2 2 2 n
x [ x , x ] x x x ,
|| x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量.
2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质: (1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0;
[ai , aj]=aiTaj=0 (iǂj; i,j=1,2,….m) 则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量， 称此正交向量组为单位正交向量组。
定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , · · ·, am是一组
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , · · ·, am线性无关.
五、正交基与标准正交基
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y ] x y
1
(当 || x || || y || 0 时),
[ x,y] 令 cos x y
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
1. 定义
设 a1 , a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个基
如果 a1 , a2 , · · ·, an 为单位正交向量组，则称 a1,
a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个标准正交基.
2. 标准正交基的求法
设 a1 , a2 , · · ·, ar 是向量空间 V 的一个基, 要
T y( 1 ,2 ,4 ) ,
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质：
（1） [x, y] = [y, x]; （2） [x, y] = [x, y];
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
（4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数
这种运算也可用矩 阵记号表示.
x 与 y 都是列向量，有
[x, y] = xTy = yTx . 例如：
T x( 1 ,1 ,1 ) ,
正交化:
取 b1 = a1 ;
[ b ,a ] [ b ,a ] [ b ,a ] 1 r 2 r r 1 r b a b b b . r r 1 2 r 1 [ b ,b ] [ b ,b ] [ b ,b ] 1 1 2 2 r 1 r 1
容易验证 b1 , · · ·, br 两两正交, 且 b1 , · · ·, br 与 a1 , · · ·, ar 等价. 然后只要把它们单位化, 即取
[b ,a 1 2] b b 2 a 2 1; [b ,b 1 1]
1 1 1 b , b , , 1 1 2 2 r b r, b b b 1 2 r
4.5 标准正交基与正交矩阵
黄凤英 信息科学与计算学院
主要内容
内积的定义
内积的性质
向量的长度和夹角 正交向量组的性质
正交基与规范正交基
正交矩阵 正交变换
一、内Hale Waihona Puke Baidu的定义
定义1 设有 n 维向量
x1 y1 x2 y2 x ,y , x y n n
[x,y ] arccos x y
称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向
量正交. 讲解书例1
四、正交向量组的性质
1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , · · ·, am两两正交,即
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有
( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角.
当 x = 0 时, || x || = 0.
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式 || x + y || ≤ || x || + || y ||.
x 当 x 0 时， x
例如：单位化x
是一个单位向量，称这
一运算为将向量x标准化或单位化。
T x( 1 ,1 ,1 ) ,
就得 V 的一个标准正交基. 上述从线性无关向量组 a1 , · · ·, ar 导出正交
向量组 b1 , · · ·, br 的过程称为施密特(Schimidt)
· ·, br 与 a1, · · ·, ar 正交化过程. 它不仅满足 b1 , ·
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · · ·,
综上所述, 求向量空间 V 的一个标准正交基 可归为以下三步:
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · ·, ar; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · ·, ar
正交化, 得正交基 b1 , · · ·, br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · ·, br 单位化即得 V
求 V 的一个标准正交基. 也就是要找一组两两
正交的单位向量x1 , x2 , · · ·,xr , 使 x1 ,x 2 , · · ·, xr 与
a1 , a2 , · · ·, ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 ,
· · · , ar 这个基标准正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , · · ·, ar 规范
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2
令
2 1 2 2 2 n
x [ x , x ] x x x ,
|| x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量.
2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质: (1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0;
[ai , aj]=aiTaj=0 (iǂj; i,j=1,2,….m) 则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量， 称此正交向量组为单位正交向量组。
定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , · · ·, am是一组
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , · · ·, am线性无关.
五、正交基与标准正交基
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y ] x y
1
(当 || x || || y || 0 时),
[ x,y] 令 cos x y
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
1. 定义
设 a1 , a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个基
如果 a1 , a2 , · · ·, an 为单位正交向量组，则称 a1,
a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个标准正交基.
2. 标准正交基的求法
设 a1 , a2 , · · ·, ar 是向量空间 V 的一个基, 要
T y( 1 ,2 ,4 ) ,
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质：
（1） [x, y] = [y, x]; （2） [x, y] = [x, y];
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
（4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数
这种运算也可用矩 阵记号表示.
x 与 y 都是列向量，有
[x, y] = xTy = yTx . 例如：
T x( 1 ,1 ,1 ) ,
正交化:
取 b1 = a1 ;
[ b ,a ] [ b ,a ] [ b ,a ] 1 r 2 r r 1 r b a b b b . r r 1 2 r 1 [ b ,b ] [ b ,b ] [ b ,b ] 1 1 2 2 r 1 r 1
容易验证 b1 , · · ·, br 两两正交, 且 b1 , · · ·, br 与 a1 , · · ·, ar 等价. 然后只要把它们单位化, 即取
[b ,a 1 2] b b 2 a 2 1; [b ,b 1 1]
1 1 1 b , b , , 1 1 2 2 r b r, b b b 1 2 r
4.5 标准正交基与正交矩阵
黄凤英 信息科学与计算学院
主要内容
内积的定义
内积的性质
向量的长度和夹角 正交向量组的性质
正交基与规范正交基
正交矩阵 正交变换
一、内Hale Waihona Puke Baidu的定义
定义1 设有 n 维向量
x1 y1 x2 y2 x ,y , x y n n
[x,y ] arccos x y
称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向
量正交. 讲解书例1
四、正交向量组的性质
1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , · · ·, am两两正交,即
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有
( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角.
当 x = 0 时, || x || = 0.
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式 || x + y || ≤ || x || + || y ||.
x 当 x 0 时， x
例如：单位化x
是一个单位向量，称这
一运算为将向量x标准化或单位化。
T x( 1 ,1 ,1 ) ,
就得 V 的一个标准正交基. 上述从线性无关向量组 a1 , · · ·, ar 导出正交
向量组 b1 , · · ·, br 的过程称为施密特(Schimidt)
· ·, br 与 a1, · · ·, ar 正交化过程. 它不仅满足 b1 , ·
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · · ·,