45标准正交基与正交矩阵.ppt
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标准正交基
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2
1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1
1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
线性代数正交规范化ppt课件
x1x2x30. 它的基础解系为
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
第四章2正交矩阵
1 1 n n
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
4-4 标准正交基
向量组的正交化与单位化.
亦称为施密特(gram-Schmidt)正交化法.
推论 Rn 中任意一组基都可用(gram-Schmidt)正交化法化
为标准正交基. 例4 用施密特正交化方法，将向量组
a 1 (1, 1, 1, 1), a 2 (1, 1, 0 , 4 ), a 3 ( 3 , 5 , 1, 1)
6
1 0 0 0 0 1 0 0 , , , 1 0 2 0 3 1 4 0 0 0 0 1
§5.4 标准正交基
主要内容 一. 正交向量组的概念 二. 向量组的正交化与单位化 三. 正交矩阵与正交变换 四. 小结、思考题
1
一、正交向量组的概念及求法
定义4.12 称 Rn 中一组两两正交的非零向量 1 , 2 , , m
为一个正交向量组．
定理4.3 若 n 维向量 1 , 2 , , r 是一组两两正交的 定理 1
的 正交向量组 b1 , b 2 , ..., b i 1
现证结论当 r = i 时也成立。 为此，须找到适当的向量 bi 使得 b1 , b 2 , ..., b i 1 , b i 成为与
a 1 , a 2 , ..., a i 1 , a i 等价的正交向量组。
设 b i a i l 1 b1 ... l i 1 b i 1 ( l 1 , ..., l i 1 为 待 定 系 数 ）
故 在 1， 2， ， n 下 的 坐 标 为 ... x i ( i , ) ( i 1, 2 , ..., n )
( i 1, 2 , ..., n )
四规范正交基(标准正交基)
四.规范正交基(标准正交基)
1.规范正交基的概念 定义3 设 n 维向量 e1 ,e2 , ,er是向量空间V V R n 的一个基,如果
e1 ,e2 ,,er
是两两正交的单位向量,则称
e1 ,e2 ,,er
显然,若
是向量空间V的一个规范正交基.
e1 ,e2 ,,er
j
是V的一个规范正交基。
T T
x P Px
x x x
T
按‖x‖表示向量长度, ‖x‖=‖y‖说明经正交变换 向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。
作业:
161页
1 (2)
2
3
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α3单位化，得 e3 3
3
1 1 1 , 3 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以 P为正交矩阵。
例5 设e1 , e2 ,, en是Rn的一个 规范正交基.A为正交矩阵.
试证.Ae1 , Ae2 , , Aen也是R 的一个规范正交基.
n
证 由于
i
Ae , Ae Ae
j i
T
T
1.规范正交基的概念 定义3 设 n 维向量 e1 ,e2 , ,er是向量空间V V R n 的一个基,如果
e1 ,e2 ,,er
是两两正交的单位向量,则称
e1 ,e2 ,,er
显然,若
是向量空间V的一个规范正交基.
e1 ,e2 ,,er
j
是V的一个规范正交基。
T T
x P Px
x x x
T
按‖x‖表示向量长度, ‖x‖=‖y‖说明经正交变换 向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。
作业:
161页
1 (2)
2
3
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α3单位化，得 e3 3
3
1 1 1 , 3 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以 P为正交矩阵。
例5 设e1 , e2 ,, en是Rn的一个 规范正交基.A为正交矩阵.
试证.Ae1 , Ae2 , , Aen也是R 的一个规范正交基.
n
证 由于
i
Ae , Ae Ae
j i
T
T
线性代数——正交矩阵PPT课件
是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
第9页/共11页
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
2°特点: 设 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 n ), 则
Байду номын сангаас
T
1T 2T
1 2
nT
n
1T1 2T1
1T2 2T2
第1页/n共T111页 nT2
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 是 Rn 的两组标准
k
则 1, 2 , , s 是与1 ,2 ,
的向量组.
i 2, 3, , s
, s等价且两两正交
第8页/共11页
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
故
QTQ E.
第2页/共11页
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵. 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ;
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
正交矩阵及其性质培训课件
y1
a11x1 L LLL
a1n xn
ym am1x1 L amn xn
n
或 yi aij xj i 1,L , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
7 2020/3/17
也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
4 2020/3/17
定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/3/17
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此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
3 2020/3/17
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
A是正交矩阵 AT A-1
AT 是正交矩阵
c
c
方阵A的列向量构成 标准正交组
线性代数正交矩阵
T = QTT Q ,
又因为 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 均为标准正交基,
所以
T = E, T = E,
故
QTQ E.
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵.
性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ; 进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
第四章 向量空间
§4.1 向量空间
§4.2 向量内积 §4.3 正交矩阵
Rn 的标准正交基
两组标准正交基间的过渡矩阵 正交矩阵及其性质 求标准正交基的方法
一、Rn 的标准正交基
定义1 Rn 中的 n 个向量 1 ,2 , ,n 满足
(1) 两两正交 iTj 0 (i j) (2) 都是单位向量, 即 i 1, i 1, 2, , n
四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法
设 1 ,2 , ,s 是 Rn 中一组给定的基,
令 3
1 1,
3
T 3
1
1T 1
T 2
2
2,
T 2
1
1T 1
1,
…… ,
s
s
T s
1
1T 1
1
T s
2
T 2
2
2
T s
s
1
T s1 s1
s1
即
i
i
i 1 k 1
T i
k
T k
1
1 2
2
,
2
1 6
1
1 6
2
2 6
3
,
3
线性代数——正交矩阵
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
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容易验证 b1 , · · ·, br 两两正交, 且 b1 , · · ·, br 与 a1 , · · ·, ar 等价. 然后只要把它们单位化, 即取
[b ,a 1 2] b b 2 a 2 1; [b ,b 1 1]
1 1 1 b , b , , 1 1 2 2 r b r, b b b 1 2 r
1. 定义
设 a1 , a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个基
如果 a1 , a2 , · · ·, an 为单位正交向量组，则称 a1,
a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个标准正交基.
2. 标准正交基的求法
设 a1 , a2 , · · ·, ar 是向量空间 V 的一个基, 要
T y( 1 ,2 ,4 ) ,
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质：
（1） [x, y] = [y, x]; （2） [x, y] = [x, y];
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
（4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
就得 V 的一个标准正交基. 上述从线性无关向量组 a1 , · · ·, ar 导出正交
向量组 b1 , · · ·, br 的过程称为施密特(Schimidt)
· ·, br 与 a1, · · ·, ar 正交化过程. 它不仅满足 b1 , ·
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · · ·,
当 x = 0 时, || x || = 0.
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式 || x + y || ≤ || x || + || y ||.
x 当 x 0 时， x
例如：单位化x
是一个单位向量，称这
一运算为将向量x标准化或单位化。
T x( 1 ,1 ,1 ) ,
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有
( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角.
[夹角. 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向
量正交. 讲解书例1
四、正交向量组的性质
1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , · · ·, am两两正交,即
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2
令
2 1 2 2 2 n
x [ x , x ] x x x ,
|| x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量.
2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质: (1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0;
4.5 标准正交基与正交矩阵
黄凤英 信息科学与计算学院
主要内容
内积的定义
内积的性质
向量的长度和夹角 正交向量组的性质
正交基与规范正交基
正交矩阵 正交变换
一、内积的定义
定义1 设有 n 维向量
x1 y1 x2 y2 x ,y , x y n n
[ai , aj]=aiTaj=0 (iǂj; i,j=1,2,….m) 则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量， 称此正交向量组为单位正交向量组。
定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , · · ·, am是一组
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , · · ·, am线性无关.
五、正交基与标准正交基
正交化:
取 b1 = a1 ;
[ b ,a ] [ b ,a ] [ b ,a ] 1 r 2 r r 1 r b a b b b . r r 1 2 r 1 [ b ,b ] [ b ,b ] [ b ,b ] 1 1 2 2 r 1 r 1
bk 与 a1 , · · ·, ak 等价.
综上所述, 求向量空间 V 的一个标准正交基 可归为以下三步:
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · ·, ar; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · ·, ar
正交化, 得正交基 b1 , · · ·, br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · ·, br 单位化即得 V
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y ] x y
1
(当 || x || || y || 0 时),
[ x,y] 令 cos x y
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
求 V 的一个标准正交基. 也就是要找一组两两
正交的单位向量x1 , x2 , · · ·,xr , 使 x1 ,x 2 , · · ·, xr 与
a1 , a2 , · · ·, ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 ,
· · · , ar 这个基标准正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , · · ·, ar 规范
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数
这种运算也可用矩 阵记号表示.
x 与 y 都是列向量，有
[x, y] = xTy = yTx . 例如：
T x( 1 ,1 ,1 ) ,
[b ,a 1 2] b b 2 a 2 1; [b ,b 1 1]
1 1 1 b , b , , 1 1 2 2 r b r, b b b 1 2 r
1. 定义
设 a1 , a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个基
如果 a1 , a2 , · · ·, an 为单位正交向量组，则称 a1,
a2 , · · ·, an 是 Rn 的一个标准正交基.
2. 标准正交基的求法
设 a1 , a2 , · · ·, ar 是向量空间 V 的一个基, 要
T y( 1 ,2 ,4 ) ,
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质：
（1） [x, y] = [y, x]; （2） [x, y] = [x, y];
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
（4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
就得 V 的一个标准正交基. 上述从线性无关向量组 a1 , · · ·, ar 导出正交
向量组 b1 , · · ·, br 的过程称为施密特(Schimidt)
· ·, br 与 a1, · · ·, ar 正交化过程. 它不仅满足 b1 , ·
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · · ·,
当 x = 0 时, || x || = 0.
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式 || x + y || ≤ || x || + || y ||.
x 当 x 0 时， x
例如：单位化x
是一个单位向量，称这
一运算为将向量x标准化或单位化。
T x( 1 ,1 ,1 ) ,
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有
( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角.
[夹角. 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向
量正交. 讲解书例1
四、正交向量组的性质
1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , · · ·, am两两正交,即
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2
令
2 1 2 2 2 n
x [ x , x ] x x x ,
|| x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量.
2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质: (1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0;
4.5 标准正交基与正交矩阵
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主要内容
内积的定义
内积的性质
向量的长度和夹角 正交向量组的性质
正交基与规范正交基
正交矩阵 正交变换
一、内积的定义
定义1 设有 n 维向量
x1 y1 x2 y2 x ,y , x y n n
[ai , aj]=aiTaj=0 (iǂj; i,j=1,2,….m) 则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量， 称此正交向量组为单位正交向量组。
定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , · · ·, am是一组
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , · · ·, am线性无关.
五、正交基与标准正交基
正交化:
取 b1 = a1 ;
[ b ,a ] [ b ,a ] [ b ,a ] 1 r 2 r r 1 r b a b b b . r r 1 2 r 1 [ b ,b ] [ b ,b ] [ b ,b ] 1 1 2 2 r 1 r 1
bk 与 a1 , · · ·, ak 等价.
综上所述, 求向量空间 V 的一个标准正交基 可归为以下三步:
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · ·, ar; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · ·, ar
正交化, 得正交基 b1 , · · ·, br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · ·, br 单位化即得 V
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y ] x y
1
(当 || x || || y || 0 时),
[ x,y] 令 cos x y
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
求 V 的一个标准正交基. 也就是要找一组两两
正交的单位向量x1 , x2 , · · ·,xr , 使 x1 ,x 2 , · · ·, xr 与
a1 , a2 , · · ·, ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 ,
· · · , ar 这个基标准正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , · · ·, ar 规范
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数
这种运算也可用矩 阵记号表示.
x 与 y 都是列向量，有
[x, y] = xTy = yTx . 例如：
T x( 1 ,1 ,1 ) ,