等价无穷小公式大全

等价无穷小公式大全
一、等价无穷小的介绍
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

二、等价无穷小的公式
当x趋向于0时，有以下重要等价无穷小:
sinX~X
tanX~X
arcsinX~X
ln（1+X）~X
e^x－1~X
a^x－1~Xlna （a＞0,a≠1）
1－cosX~1/2X^2
(1+βx)^α-1~αβx
(1+x)^a-1~ax
log(1+x)~x/ln(a＞0,a≠1)
注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

三、求极限时，使用等价无穷小的条件
1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。

四、极限
数学分析的基础概念。

它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。

他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限。

其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。

从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。

在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。