评价估计量优良性的标准

ˆ k θ ˆ 也是θ的无偏 (1)常数k1和k2为何值时，k 1 θ 1 2 2
估计量.
ˆ k ˆ (2)求常数 k1和 k2，使得它在所有形如 k1 1 2 2
的无偏估计量中方差最小.
解： 由题意知：
ˆ ) E( θ ˆ） ˆ ˆ E( θ 1 2 θ， D( θ1 ) 2 D( θ2）
μ
1 1 1 (2) D( g1 ) D( X 1 X 2 X 3 ) 3 3 3
1 1 1 1 2 1 2 1 2 σ2 D( X 1） D( X 2） D( X 3 ) σ σ σ 9 9 9 9 9 9 3
1 1 1 D( g 2 ) D( X 1 X 2 X 3 ) 2 3 6
(1)
ˆ K θ ˆ ） K E( θ ˆ ) K E( θ ˆ） E ( K 1θ 1 2 2 1 1 2 2
K 1θ K 2 θ ( K 1 K 2 )θ θ K1 K 2 1
2 ˆ ) K 2 D( θ ˆ） ˆ K θ ˆ） (2) D( K 1θ K D ( θ 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 1 1 1 2 7 2 D( X ) D( X ) D( X ) σ 2 σ 2 σ σ 1 2 3 4 9 36 4 9 36 18
因为
D( g 1 ) D ( g 2 )
所以g1较g2更有效.
ˆ 是参数θ的两个相互独立的无偏估计量， 例4. 设 θ ˆ 和θ 2 1 ˆ 的方差的两倍. ˆ 的方差为 θ 且θ 2 1
2 2 2 ˆ） ˆ ) ˆ） 2 K （ 1 K ） D ( θ K 12 2D( θ （ 1 K ） D ( θ 1 1 2 2 1 2


ˆ K θ ˆ dD( K 1θ 1 2 2） ˆ） 4K 1 （ 2 1 K1 ） D( θ 2 dK1


ˆ） 6K1 2 D( θ 2
ˆ K θ ˆ） dD( K 1θ 1 2 2 令 0， 得 dK1
1 2 K 1 ，K 2 3 3


驻点唯一，所以此时就是使方差最小的时候
2
证明：由总体为 π ( λ ) 知： E ( X ) λ， D( X ) λ 所以：
E ( S 2 ) D( X ) λ
所以样本方差 S 2 是λ的无偏估计
又 E ( X ) E ( X ) λ， 则
来自百度文库
E[α X (1 α ) S ]
2
αE ( X ) (1 α ) E ( S )
（1）证明g1和g2都是 μ 的无偏估计 （2）试判断g1和g2哪一个更有效？
解：(1) E ( g1 ) E ( 1 X 1 1 X 2 1 X 3 ) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 E ( X 1） E ( X 2） E( X 3 ) μ μ μ 3 3 3 3 3 3
估计量。
因此常用样本方差来估计总体方差，而不是用 样本二阶矩。
k μ E ( X )(k 1) 存在， 例1.设总体X的 k 阶矩 k
X1 ,
, X n 是总体X的 一个样本，试证明：不论
1 n k 总体X服从什么分布，样本的 k 阶矩 Ak X i n i 1 是总体 k 阶矩 μ k 的无偏估计.
μ
1 1 1 E( g2 ) E( X 1 X 2 X 3 ) 2 3 6
1 1 1 1 1 1 E ( X 1） E ( X 2） E( X 3 ) μ μ μ 2 3 6 2 3 6
所以，g1 和g2 都是 的无偏估计 μ
可发现这种情况下系数之和是1的都是 的无偏估计
1 n k 简证： E ( Ak ) E ( X i ) n i 1 1 n E ( X ik ) 1 n μ k n i 1 n
μk
例2(作业8) 已知泊松总体 π ( λ )，验证样本方差 S 2 是λ的无偏估计，并对于任一值α
( 0 α 1) ,
α X (1 α ) S 也是λ的无偏估计.
ˆ ) D(θ ˆ ) D (θ 1 2
ˆ比θ ˆ 更有效. 则称 θ 1 2
有效性是在无偏估计的前提下再考虑的
例3. 已知总体的数学期望 μ 和方差 2都存在，
X1，X2，X3是总体的样本. 设
1 1 1 1 1 1 g1 X 1 X 2 X 3 ， g 2 X 1 X 2 X 3 2 3 6 3 3 3
第三节
评价估计量优良性的标准
一、无偏性 二、有效性 三、一致性
一、无偏性 P147
ˆ 是未知参数 的估计量， 1. 定义 设 θ
ˆ ) θ， 若 E (θ ˆ 是 的无偏估计量. 则称 θ
2. 定理 样本均值 X 和样本方差S2分别是 总体均值 和总体方差 的无偏估计量。
2
注：样本二阶中心矩B2不是总体方差 2 的无偏
2
αλ (1 α ) λ λ
所以 α X (1 α ) S 2 也是λ的无偏估计.
二、有效性
ˆ θ ( X , X ,, X ) 1. 定义(P149) 设 θ 1 1 1 2 n
ˆ θ ( X , X ,, X ) θ 2 2 1 2 n
都是总体参数 的无偏估计量, 且