拉氏变换表(包含计算公式)[1]1

1
拉氏变换及反变换公式
1. 拉氏变换的基本性质 1
线性定理
齐次性
)()]([s aF t af L =
叠加性
)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±
2
微分定理
一般形式
=
-=][ '- -=-=----=-∑1
1
)1()
1(1
22
2)
()()
0()()(0)0()(])([)0()(])
([
k k k k n
k k n n n
n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时
)(])([s F s dt
t f d L n n
n = 3
积分定理
一般形式
∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+
+=+=
n
k t n n k n n n
n t t t dt t f s s s F dt t f L s
dt t f s dt t f s s F dt t f L s
dt t f s s F dt t f L 10
102
2022
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共
初始条件为0时
n n n s
s F dt t f L )
(]))(([=⎰⎰个
共
4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--
5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-
6 终值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=
7 初值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=
8 卷积定理
)()(])()([])()([210
210
21s F s F d t f t f L d f t f L t
t =-=-⎰⎰τττττ
2
2． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序
号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t) Z 变换E(z)
1 1
δ(t) 1
2 Ts
e --11
∑∞
=-=0)()(n T nT t t δδ
1
-z z 3 s
1 )(1t
1
-z z 4 2
1s t
2
)1(-z Tz
5 3
1s 2
2t
3
2
)1(2)1(-+z z z T
6 11+n s
!n t n
)(!)1(lim 0aT n n n a e
z z a n -→-∂∂- 7 a
s +1 at e - aT
e z z
-- 8 2
)(1a s +
at
te
- 2
)(aT aT e z Tze ---
9 )
(a s s a
+ at
e
--1
)
)(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 )
)((b s a s a
b ++-
bt at e e --- bT
aT e z z
e z z ----- 11 2
2ωω
+s t ωsin
1
cos 2sin 2
+-T z z T
z ωω 12 2
2ω+s s
t ωcos
1
cos 2)
cos (2
+--T z z T z z ωω
13 22)(ω
ω
++a s t e at
ωsin - aT
aT aT e
T ze z T
ze 22cos 2sin ---+-ωω 14 2
2)(ω+++a s a s
t e
at
ωcos -
aT
aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω
15
a
T s ln )/1(1- T t a /
a
z z -
3
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式
1110
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=
=---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n
i i
i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)(
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：
)()(lim s F s s c i s s i i
-=→
或
i
s
s i s A s B c ='=
)()
(
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n i i i
e c -=∑1
②
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F ---=
+ =
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11
111
111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
4
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r s s r -=→
)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r -=→- )()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→- (F-5)
)()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s --=--→
原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11
111
1111)()()
( t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211
1
)!2()!1( （F-6）。