分数阶微积分的定义

分数阶微积分的定义
分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。

首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：
（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义
若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，
m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：
[()/]
()lim ()t a h a
t i h i D f t h
f t ih αα
αω--→==-∑
（2.1）
其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整，
= (-1)i i i ααω⎛⎫ ⎪⎝⎭
是多项式系数，(1)(2)(1)
=
!
i i i ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭
，我们可以用以下
递推公式直接求出该系数：
01+11,1,1,2,...,i i i n i α
αααωωω-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
（2.2）
进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：
0,0
()lim ()()()1
()()(1)(1)a t h nh t a
i i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i α
α
αααξξξαα-→=--+-=⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
-=+-Γ-++Γ-+∑⎰ （2.3）
其中，()Γ•为欧拉gamma 函数，10
()t z z e t dt ∞--Γ=⎰，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。

若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）：
（2.4）
（2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义 对于1,m m m N α-<<∈，有
11()
()()()m t
a t m
m a d f D f t d m dt t α
αττατ-+=
Γ--⎰
（2.5）
其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。

通常情况下，为了方便使用Riemann -Liouville 分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设()F s 表示()f s 的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换
+(())()q p q p a
t a t a t D D f t D f t =
后的结果如下：
{}1
100
()()()|m k a t
a t t k L D f t s F s D f t αα
α+---===-∑
（2.6）
在零初始条件下，上式的结果变为：
{}0()()t L D f t s F s αα=
（2.7）
进一步由式（2.7）得到α阶微积分算子的传递函数表示为：
（2.8）
（3）Caputo 分数阶微分定义
在工程实际中，不能用物理含义诠释的数学概念是不能应用于实际的，所以，在针对实际问题研究分数阶微积分时，我们需要着重关注它能与实际应用相接轨的部分，这正是分数阶Riemann -Liouville 微分定义的不足。

如式（2.5）尽管在初始条件下具备数学理论层面的可解释性，但不具备实际工程上的物理意义可解释性[65]，正因为如此，于是就有了Caputo 分数阶微分定义，其形式为：
11()
(),(1)()()m t a t m
a f D f t d m m m t α
ατταατ+-=
-<<Γ--⎰ （2.9）
同理，当R α∈，上述定义也称为Caputo 分数阶微积分定义，该定义也有对应的拉普拉斯变换，其形式为：
{}1
1
00()()()[]k m k a t k
t k d f t L D f t s F s s
dt
α
α
α+---===-∑ （3.1）
其次，分数阶积分定义为：
1
1==
()()()a t t
a t a
I D t f d ααατττα---Γ⎰R α+∈（） （3.2）
其中，I 定义为积分符号。

1()H s s α
=。