2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(一)数学(理)试题

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试(一模)试题理(含解析)

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试（一模）试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。

【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。

4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。

【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。

长郡高考一模数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a > 0D. a < 02. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则角A的正弦值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 4/33. 设复数z = a + bi（a，b∈R），若|z-1| = |z+1|，则a的值为（）A. 0B. 1C. -1D. ±14. 下列命题中正确的是（）A. 对于任意实数x，有x^2 ≥ 0B. 函数y = x^3在R上单调递增C. 若a > b，则a^2 > b^2D. 对于任意实数x，有sinx = cos(π/2 - x)5. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. 2^n - 1B. 2^n - nC. 2^n - 1 - nD. 2^n - 1 + n6. 设函数f(x) = x^2 + ax + b，若f(-1) = 0，f(2) = 3，则a+b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点A(-2, 3)，点B(4, -1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (2, 2)8. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 119. 下列函数中，定义域为R的是（）A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = log2(x - 1)D. y = x^2 + 2x + 110. 若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k和b的关系是（）A. k^2 + b^2 = 1B. k^2 + b^2 = 2C. k^2 + b^2 = 4D. k^2 + b^2 = 8二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，则cosθ的值为______。

2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题Word版含答案

2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（） A ．2-B ．2C ．1i -D ．1i +2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()UA B 的子集个数为（） A ．7B ．3C ．8D ．93.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象中相邻对称轴的距离为2π，若角ϕ的终边经过点(3,3)，则()4f π的值为（）A ．3 B ．3 C ．2 D ．234.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5.设不等式组,3,4y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表示的平面区域为2Ω，对于1Ω中的任意一点M 和2Ω中的任意一点N ，||MN 的最小值为（）A ．22B．24C ．2D ．326.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A ．11B 2C 5D 58.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（） A ．1006B ．1007C ．1008D ．10099.已知非零向量a ，b ，c 满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值（） A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是410.已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（）A 7B 7C 7D 712.已知e 为自然对数的底数，若对任意的[]0,1x ∈，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得20yx y e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,]eB ．1(1,]e e+C ．(1,]eD ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0a >，6()x x-展开式的常数项为15，22(4)a ax x x dx -++-=⎰ ．14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是．15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上一点，(2,1)A -，当APF ∆周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3BD =．（1）求AD 的长；（2）求cos C ．18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形，ADE ∆，BCF ∆均为等边三角形，//EF AB ，12EF AD AB ==．（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得//AF 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值．19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b c +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元 30a =b 捐款不超过500元c6d =合计2()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点在原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线 PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值．21.已知函数()1x xaxf x be e -=++，点(0,1)M 在曲线()y f x =上，且曲线在点M 处的切线与直线20x y -=垂直．（1）求a ，b 的值；（2）如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲设()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M ．（1）求集合M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a的大小．2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题参考答案一、选择题1-5:BCABC 6-10:DCCDC 11、12：CB二、填空题13.2233π++ 14.[]16,16- 15.20162017-16.4 三、解答题17.解：（1）因为0AD AC ⋅=，则AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠，即cos BAD ∠=．在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠．即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =．因为AB AD >，所以3AD =．（2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==．因为2ADB DAC C C π∠=∠+=+，所以cos C =18.解：（1）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ．证法如下：连接AC ，BD ，设ACBD O =，∵四边形ABCD 为矩形， ∴O 为AC 的中点，又∵N 为FC 的中点， ∴ON 为ACF ∆的中位线， ∴//AF ON ，∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ，∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ．（2）过O 作//PQ AB 分别与AD ，BC 交于P ，Q ，因为O 为AC 的中点，所以P ，Q 分别为AD ，BC 的中点， ∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =， ∴ADE BCF ∆≅∆，连接EP ，FQ ，则得EP FQ =， ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB =， ∴//EF PQ ，12EF PQ =， ∴四边形EPQF 为等腰梯形．取EF 的中点M ，连接MO ，则MO PQ ⊥，又∵AD EP ⊥，AD PQ ⊥，EP PQ P =，∴AD ⊥平面EPQF ，过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ， ∴OG ⊥OM ，OG OQ ⊥．分别以OG ，OQ ，OM 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设4AB =，则由条件可得：(0,0,0)O ，(1,2,0)A -，(1,2,0)B ，2)F ，(1,2,0)D --，132(,,222N -．设(,,)n x y z =是平面ABF 的法向量，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,320,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 所以可取(2,0,1)n =，由312 (,,)22BN=--，可得||2|cos,|3||||BN nBN nBN n⋅<>==⋅，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为23．19.解：（1）记每户居民的平均损失为x元，则(10000.0001530000.0002050000.000970000.0000390000.00003)2000 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯3360=．（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有(0.000090.000030.00003)20005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0,1,2，21221522(0)35CPCξ===，1131221512(1)35C CPCξ===，232151(2)35CPCξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2P22351235135()0123535355Eξ=⨯+⨯+⨯=．（3）解得9b=，5c=，39a b+=，11c d+=，35a c+=，15b d+=，50a b c d+++=，2250(30695)4.046 3.84139113515K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．20.解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24x cy ==，结合0c >，解得1c =．所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）抛物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得1'2y x =，设11(,)A x y ，22(,)B x y （其中2114x y =，2224x y =），则切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x ，所以切线PA 的方程为111()2x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=．同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线PA ，PB 均过点00(,)P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，所以11(,)x y ，22(,)x y 为方程00220x x y y --=的两组解，所以直线AB 的方程为00220x x y y --=．（3）由抛物线定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+，所以121212||||(1)(1)()1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得222000(2)0y y x y y +-+=．由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =，所以221212000||||()121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+，又点00(,)P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以222200000019212252()22y x y y y y +-+=++=++，所以当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．21.解：（1）2(1)'()(1)x x xx a e axe f x be e -+-=-+，依题意(0)1f =，1'(0)2f =-，解得1a b ==．（2）由（1）可知()1x x x f x e e -=++，代入()1x x x f x ke e ->+-得 11x x x x x x e ke e e --+>++-，即21x x x k e e-->-，因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x x e e --<，所以20x xx e e ->-，所以10k ->，即(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，令21t k =-，设()x x g x e e tx -=--，则0t >，又'()x x g x e e t -=+-．①当02t <≤，即0k ≤时，'()20x x g x e et t -=+-≥-≥恒成立，所以()x x g x e e tx -=--在R 上单调递增，所以（i ）当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0x x e e-->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立；（ii ）当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e--<，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立．因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x x x f x ke e ->+-成立，符合题意．②当2t >，即01k <<时，由'()0x xg x e e t -=+-=，得1x =，2x =，因为2t >，所以20x >，120x x =-<，当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k -----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x x f x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意．综上可知：k 的取值范围是0k ≤．22.解：（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,)3π，5(2,)6π，4(2,)3π，11(2,)6π，点A ，B ，C ，D 的直角坐标为，(，(1,-，1)-.（2）设00(,)P x y ，则002cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），222222||||||||16cos 36sin 16t PA PB PC PD ϕϕ=+++=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈．23.解：（1）1,0,1()|||21|31,0,211,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪=--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩由()1f x >-，得0,11x x ≤⎧⎨->-⎩或10,2311x x ⎧<<⎪⎨⎪->-⎩或1,211,x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>-⎩ 解得02x <<，故{}|02M x x =<<．（2）由（1）知02a <<，因为322211(1)(1)1a a a a a a a a a a -+--+-+-==，当01a <<时，2(1)(1)0a a a -+<，所以211a a a-+<；当1a =时，2(1)(1)0a a a -+=，所以211a a a-+=；当12a <<时，2(1)(1)0a a a -+>，所以211a a a-+>．综上所述：当01a <<时，211a a a-+<；当1a =时，211a a a-+=；当12a <<时，211a a a -+>．。

2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题Word版含答案

2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（） A ．2-B ．2C ．1i -D ．1i +2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()UA B 的子集个数为（） A ．7B ．3C ．8D ．93.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象中相邻对称轴的距离为2π，若角ϕ的终边经过点(3,3)，则()4f π的值为（）A ．3 B ．3 C ．2 D ．234.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5.设不等式组,3,4y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表示的平面区域为2Ω，对于1Ω中的任意一点M 和2Ω中的任意一点N ，||MN 的最小值为（）A ．22B．24C ．2D ．326.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A ．11B 2C 5D 58.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（） A ．1006B ．1007C ．1008D ．10099.已知非零向量a ，b ，c 满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值（） A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是410.已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（）A 7B 7C 7D 712.已知e 为自然对数的底数，若对任意的[]0,1x ∈，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得20yx y e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,]eB ．1(1,]e e+C ．(1,]eD ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0a >，6()x x-展开式的常数项为15，22(4)a ax x x dx -++-=⎰ ．14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是．15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上一点，(2,1)A -，当APF ∆周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3BD =．（1）求AD 的长；（2）求cos C ．18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形，ADE ∆，BCF ∆均为等边三角形，//EF AB ，12EF AD AB ==．（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得//AF 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值．19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b c +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元 30a =b 捐款不超过500元c6d =合计2()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点在原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线 PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值．21.已知函数()1x xaxf x be e -=++，点(0,1)M 在曲线()y f x =上，且曲线在点M 处的切线与直线20x y -=垂直．（1）求a ，b 的值；（2）如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲设()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M ．（1）求集合M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a的大小．2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题参考答案一、选择题1-5:BCABC 6-10:DCCDC 11、12：CB二、填空题13.2233π++ 14.[]16,16- 15.20162017-16.4 三、解答题17.解：（1）因为0AD AC ⋅=，则AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠，即cos BAD ∠=．在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠．即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =．因为AB AD >，所以3AD =．（2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==．因为2ADB DAC C C π∠=∠+=+，所以cos C =18.解：（1）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ．证法如下：连接AC ，BD ，设ACBD O =，∵四边形ABCD 为矩形， ∴O 为AC 的中点，又∵N 为FC 的中点， ∴ON 为ACF ∆的中位线， ∴//AF ON ，∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ，∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ．（2）过O 作//PQ AB 分别与AD ，BC 交于P ，Q ，因为O 为AC 的中点，所以P ，Q 分别为AD ，BC 的中点， ∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =， ∴ADE BCF ∆≅∆，连接EP ，FQ ，则得EP FQ =， ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB =， ∴//EF PQ ，12EF PQ =， ∴四边形EPQF 为等腰梯形．取EF 的中点M ，连接MO ，则MO PQ ⊥，又∵AD EP ⊥，AD PQ ⊥，EP PQ P =，∴AD ⊥平面EPQF ，过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ， ∴OG ⊥OM ，OG OQ ⊥．分别以OG ，OQ ，OM 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设4AB =，则由条件可得：(0,0,0)O ，(1,2,0)A -，(1,2,0)B ，2)F ，(1,2,0)D --，132(,,222N -．设(,,)n x y z =是平面ABF 的法向量，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,320,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 所以可取(2,0,1)n =，由312 (,,)22BN=--，可得||2|cos,|3||||BN nBN nBN n⋅<>==⋅，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为23．19.解：（1）记每户居民的平均损失为x元，则(10000.0001530000.0002050000.000970000.0000390000.00003)2000 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯3360=．（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有(0.000090.000030.00003)20005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0,1,2，21221522(0)35CPCξ===，1131221512(1)35C CPCξ===，232151(2)35CPCξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2P22351235135()0123535355Eξ=⨯+⨯+⨯=．（3）解得9b=，5c=，39a b+=，11c d+=，35a c+=，15b d+=，50a b c d+++=，2250(30695)4.046 3.84139113515K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．20.解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24x cy ==，结合0c >，解得1c =．所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）抛物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得1'2y x =，设11(,)A x y ，22(,)B x y （其中2114x y =，2224x y =），则切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x ，所以切线PA 的方程为111()2x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=．同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线PA ，PB 均过点00(,)P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，所以11(,)x y ，22(,)x y 为方程00220x x y y --=的两组解，所以直线AB 的方程为00220x x y y --=．（3）由抛物线定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+，所以121212||||(1)(1)()1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得222000(2)0y y x y y +-+=．由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =，所以221212000||||()121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+，又点00(,)P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以222200000019212252()22y x y y y y +-+=++=++，所以当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．21.解：（1）2(1)'()(1)x x xx a e axe f x be e -+-=-+，依题意(0)1f =，1'(0)2f =-，解得1a b ==．（2）由（1）可知()1x x x f x e e -=++，代入()1x x x f x ke e ->+-得 11x x x x x x e ke e e --+>++-，即21x x x k e e-->-，因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x x e e --<，所以20x xx e e ->-，所以10k ->，即(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，令21t k =-，设()x x g x e e tx -=--，则0t >，又'()x x g x e e t -=+-．①当02t <≤，即0k ≤时，'()20x x g x e et t -=+-≥-≥恒成立，所以()x x g x e e tx -=--在R 上单调递增，所以（i ）当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0x x e e-->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立；（ii ）当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e--<，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立．因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x x x f x ke e ->+-成立，符合题意．②当2t >，即01k <<时，由'()0x xg x e e t -=+-=，得1x =，2x =，因为2t >，所以20x >，120x x =-<，当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k -----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x x f x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意．综上可知：k 的取值范围是0k ≤．22.解：（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,)3π，5(2,)6π，4(2,)3π，11(2,)6π，点A ，B ，C ，D 的直角坐标为，(，(1,-，1)-.（2）设00(,)P x y ，则002cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），222222||||||||16cos 36sin 16t PA PB PC PD ϕϕ=+++=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈．23.解：（1）1,0,1()|||21|31,0,211,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪=--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩由()1f x >-，得0,11x x ≤⎧⎨->-⎩或10,2311x x ⎧<<⎪⎨⎪->-⎩或1,211,x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>-⎩ 解得02x <<，故{}|02M x x =<<．（2）由（1）知02a <<，因为322211(1)(1)1a a a a a a a a a a -+--+-+-==，当01a <<时，2(1)(1)0a a a -+<，所以211a a a-+<；当1a =时，2(1)(1)0a a a -+=，所以211a a a-+=；当12a <<时，2(1)(1)0a a a -+>，所以211a a a-+>．综上所述：当01a <<时，211a a a-+<；当1a =时，211a a a-+=；当12a <<时，211a a a -+>．。

湖南省长郡中学2021届高三数学入学摸底考试试题

2 2 sin
(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC 的面积为，求
的值。
3
sin
19.(本小题满分 12 分) 据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过 50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为 1000 万个包装胶带的生产线。已知该包装胶带的质量以某项指标值 k 为衡量标准。为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了 1000 个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值 k，并分成以下 5 组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：
＝1 相切。若存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|－|MP|为定值，则点 P 的坐标为
。
16.在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝PC＝2，二面角 A－PB－C 为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠
BPC< )，M，N 分别为侧棱 PA，PC 上的动点，设直线 MN 与平面 PAB 所成的角为α。当 tanα
平行四边形，则四边形 ABCD 的面积是
A. 26 5
B. 26 3
C. 52 5
D. 52 3
8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，当 n∈N*时，an，n＋ 1 ，an＋1 成等差数列，若 Sn＝2020，且 a2<3， 2
则 n 的最大值为
A.63 B.64 C.65 D.66
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为 5000 万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试(一模)试题文(含解析)

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题文（含解析）第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况. 两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学(理)试题(解析版)

2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22<0A x x =+-，141log 2B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．R A B ⋂=∅D ．122A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭答案：B【分析】先化简集合,A B ,再分析判断得解.解：由题得{}21A x x =-<<，1211441log log ()4B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭102x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.所以B A ⊆.R A B ⋂≠∅，102A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭.故选：B点评：易错点睛：化简集合B 时，容易漏掉0x >，得到12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.在研究函数的问题时，一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2．若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i B ．z 为实数 C．z =D ．2z z i +=答案：C【分析】利用复数的除法运算，可得1z i =-，即可判断各选项的正误；解：由()12z i i -=，知：211iz i i==--； ∴z 的虚部为1，||z =2z z +=-；故选：C点评：本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（） A ．5- B ．20-C ．15D ．5答案：B【分析】求出5(1)x -的展开式的2x 的系数和4x 的系数，即得解.解：设5(1)x -的通项为55155(1)(1)r rr r r r r T C xC x --+=-=-，当3r =时，2x 的系数为335(1)C -；当1r =时，4x 的系数为115(1)C -.所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为()()3315512120C C -+-=-，故选：B.点评：本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.4．设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（）A ．B ．-C D ．1答案：A【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 解：由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题. 5．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（）A ．20202021B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021答案：D【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.解：因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+，所以2202011111111140402[1]223202020212021a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D点评：本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题. 6．随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65答案：A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，再利用方差公式可取得()D X 的值.解：由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=. 故选：A.7．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<答案：C【分析】根据指数对数函数的单调性，确定a ，b ，c 的范围，进而比较大小即可.解：由题可得35331550a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，33553log log 102b =<=，30533122c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以b a c <<. 故选：C点评：本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.8．函数3()6sin x x f x =+的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．答案：A【分析】求函数导数，21()cos 2f x x x '=+，再利用导数可知当0x ≥时，()0f x '>，由函数单调性即可求解.解：因为3()6sin x x f x =+，所以21()cos 2f x x x '=+，令21()cos 2g x x x =+，则()sin g x x x -'= 当0x ≥时，由y x =与sin y x =的图象知，()sin 0g x x x '=-≥,（也可继续求导确定）所以21()cos 2g x x x =+在[0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1g x g ==，即21()cos 102f x x x '=+≥>在[0,)+∞上恒成立，所以函数3()6sin x x f x =+在[0,)+∞上单调递增，故选：A点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值，图象的识别，考查了推理运算能力，属于中档题.9．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．6答案：D【分析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF.先证明截面DEFP 就是所作的平面，再求截面的周长.解：如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内，所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D点评：本题主要考查截面的作法和线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（） A ．10% B ．30%C ．50%D ．100%答案：A【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案. 解：当1000SN=时，2log (11000)C W =+ 当2000SN=时，2log (12000)C W =+ 则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%. 故选：A.点评：本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.11．已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，则ω的取值范围是（） A ．717,66⎛⎤⎥⎝⎦ B ．230,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1723,66⎛⎤⎥⎝⎦ 答案：D【分析】由()0,x π∈，可得,66x x ππω⎛⎫∈+⎪⎝⎭，转化为函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+ ⎪⎝⎭恰有3个零点，得到3<46ππωππ+≤，即可求解.解：由()0,x π∈，可得,66x x ππω⎛⎫∈+⎪⎝⎭，又由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，等价于函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+ ⎪⎝⎭恰有3个零点，故3<46ππωππ+≤，解得1723<66ω≤. 故选D .点评：此类问题的解答中把函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，通常转化为函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+⎪⎝⎭恰有3个零点，结合三角函数的图象与性质进行求解，体现了转化思想的应用.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为（）A B C D ．2答案：A【分析】利用右焦点1F ，得到四边形1PFQF 为平行四边形，然后根据双曲线定义，可得,PF FQ 的值且90PQF ︒∠=，最后利用勾股定理，可得结果.解：设双曲线右焦点为1F ，由题意可知：P 关于原点的对称点为Q ，则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形，则1||PF FQ =，1||PF QF =，由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||2PF PF a -=，1PF a ∴=，||OP b =，1OF c =，190OPF ︒∴∠=，在1QPF ∆中，||2PQ b =，13QF a =，1PF a =，222(2)(3)b a a ∴+=，整理得222b a =，则双曲线的离心率c e a === 故选：A.点评：本题主要考查双曲线的离心率，难点在于可以得到四边形1PFQF 为平行四边形，属中档题. 二、填空题13．甲､乙､丙､丁4名学生参加体育锻炼，每人在A ，B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A 项､乙不选B 项的概率为______. 答案：49【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理计算即可.解：每位学生选择三个锻炼项目有13C 种，则4人总的选择方式共有()4143C 3=种，其中甲､乙的选择方式有()2122C 2=种，其余两人仍有()2123C 3=种，故甲不选A ､乙不选B 项目的概率为22423439⨯=.故答案为：49. 14．已知锐角α、β满足6παβ+=，则14sin cos cos sin αβαβ+的最小值为______.答案：18【分析】计算出1sin cos cos sin 2αβαβ+=，再将代数式()2sin cos cos sin αβαβ+与代数式14sin cos cos sin αβαβ+相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 解：6παβ+=，()1sin sin cos cos sin sin62παβαβαβ∴+=+==， α、β均为锐角，则sin cos 0αβ>，cos sin 0αβ>，()14142sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭∴cos sin 4sin cos cos sin 4sin cos 2525218sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=++≥⨯+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当cos sin 4sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβ=时，即当cos sin 2sin cos αβαβ=时，等号成立. 因此，11sin cos cos sin αβαβ+的最小值为18.故答案为：18.点评：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．15．如图，已知圆锥底面圆的直径AB 与侧棱SA ､SB 构成边长为23的正三角形，点C 是底面圆上异于A ，B 的动点，则S 、A 、B 、C 四点所在球面的半径是______.答案：2【分析】设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，设球1O 的半径为R ，根据题中条件，由勾股定理，即可得出结果.解：如图，设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，则SO ⊥平面ABC ，且1O 在线段SO 上，易知3SO =，3AO =设球1O 的半径为R ，在1Rt O AO 中，由勾股定理得()22233R R -+=，解得2R =.故答案为：2. 点评：思路点睛：求解几何体外接球的半径的思路：（1）根据球的截面的性质，利用球的半径，截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者的关系求解；其中确定球心的位置是关键；（2）将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.16．已知点()5,0A ，()0,4B ，动点P ，Q 分别在直线2y x =+和y x =上，且PQ 与两直线垂直，则AQ QP PB ++的最小值为______. 答案：52【分析】设(),Q x x ，求出P 点坐标，计算AQ QP PB ++，再用几何意义求出AQ BP +的最小值即得．解：解：设(),Q x x ，由于PQ 与两直线垂直且2PQ =()1,1P x x -+，故()()()2222513AQ BP x x x x +=-+-+-.此式可理解为点(),Q x x 到()5,0A 及()1,3C 的距离之和，其最小值即为5AC =.故所求最小值为52. 故答案为：52.点评：方法点睛：本题考查距离之和的最值问题，解题方法是：用坐标表示距离，化几何问题为代数问题，利用函数知识求解，对平方和（或二次根式下的平方和）形式，或一次分式形式的代数式又可利用几何意义：两点间的距离公式，点到直线的距离，直线的斜率，可代数问题转化为平面上的几何问题，利用图形易得结论．三、解答题17．圆O 的内接四边形ABCD 中，3AD BC ==，3BAD π∠=，sin 3sin ABD DBC ∠=∠.（1）求AB 的长度；（2）求圆O 的半径. 答案：（1）4；（239. 【分析】（1）在两个三角形中由正弦定理，通过外接圆直径2R 连接得sin sin AD CDABD DBC=∠∠，求得CD ，然后在这两个三角形中分别用余弦定理表示BD可求得AB ；（2）由（1）求得BD 后用正弦定理可得圆O 半径．解：（1）设圆O 半径为R ，由正弦定理，2sin AD R ABD =∠，2sin CDR DBC=∠，∴sin sin AD CDABD DBC=∠∠，又sin 3sin ABD DBC ∠=∠.故3AD CD =.而3AD =.∴1CD =.设AB x =，则2222119233123122BD x x ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭.∴2340x x --=.∴4x =.即4AB =. （2）222143243132BD =+-⨯⨯⨯=，∴13BD =， ∴1313213233sin32R π===. ∴39R =. 点评：关键点点睛：解三角形中，正弦定理和余弦定理是重要公式，解题时需注意它们应用的类型，当然也需灵活运用，特别注意已知两边和一边对角应用正弦定理求解时可能会出现两解情形．象本题更是运用正弦定理和余弦定理求解的典范，在两个三角形中，一个应用外接圆半径连接应用正弦定理，一个是利用公共边连接应用余弦定理，解题时注意体会．18．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12AA =，120ABC ∠=︒，D 为1CC 中点.（1）求四面体1A ABD -的体积；（2）求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦.答案：（1）36；（23357119【分析】（1）改为1A AB 为底易求得高，从而易得体积；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．解：解：（1）作CH AB ⊥于H ，因为1AA ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，所以1AA CH ⊥，而1AA AB A =，所以CH ⊥平面11ABB A ，CH 为C 到平面11ABB A 的距离，又三棱柱中1//CC 平面11ABB A ，所以D 到平面11ABB A 的距离等于C 到平面11ABB A 的距离，ABC 中，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，所以31sin 60CH =⨯︒=， 11113113312323226A ABD D A AB A AB V V S --⎛⎫==⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△.（2）设O 为AC 中点，1O 为11A C 中点，则11//OO AA ，1OO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥ 以射线OB ，OC ，1OO 为非负x ，y ，z 轴.建立空间直角坐标系，则1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,22B ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴132AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1AD =，()0,3,0AC =，113,,222AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ABD 的一个法向量是()111,,m x y z =，则111130,30m AB x m AD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩．，取11y =-，则(3,3m =-，设平面1ACB 的一个向量是()222,,n x y z =，则212220,132022n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩．取21z =-，则()4,0,1n =-，cos ,7m n m n m n⋅<>==⋅＝故平面ABD 与平面1ACB. 点评：方法点睛：求三棱锥的体积，常常用换底法求解，要求换底后，高易求得即可．求空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法计算，这种方法把空间想象与逻辑推理转化为运算求解．19．已知椭圆E 的离心率为e =，且经过点M ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程.（2）设()00,P x y 为椭圆E 上非顶点的任意一点，若A ､B 分别为椭圆E 的左顶点和上顶点，直线PA 交y 轴于D ，直线PB 交x 轴于C ，W AC BD =，问：W 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由.答案：（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为4. 【分析】（1）由离心率得2a b =，再代入点的坐标可得参数b 值，得椭圆方程；（2）设()0,D m ，(),0C n ，用00,x y 表示,m n ，然后计算W AC BD =，并代入220044x y +=可得结论．解：解：（1）设椭圆方程为22221x ya b +=，(0)a b >>．2c e a b a =⇒=⇒=，设椭圆方程为222214x y b b+=，又椭圆过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2214144b b +=，解得1b =，故椭圆方程为2214x y +=.（2）设()0,D m ，(),0C n ，由A ､D ､P 共线可知00002222AP AD y y mk k m x x =⇒=⇒=++，由B ､P ､C 共线可知0000111BP BC y xk k n x n y --=⇒=⇒=-. 0000222211x x y AC n y y +-=+=+=--，000002221122y x y BD m x x +-=-=-=++.∴()()()00002212x y W AC BD y x +-==-+2200000000004444822x y x y x y x y x y ++-+-=-+-+，由于220044x y +=，∴000000004488422x y x y W x y x y -+-+==-+-+.点评：方法点睛：椭圆中定值问题解决方法，由于00(,)P x y 是动点，因此可以把,C D 的坐标用00,x y 表示，然后计算W AC BD =，再代入动点坐标满足的性质，化简可得．即引入参数，利用参数计算结论，然后化简使得结论与参数无关，即得定值． 20．如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值；（III ）求n p ．答案：（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-．试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到 111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论．试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=．（2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=；当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．综上所述，1111,=2430,21n n n kp n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩．点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具． 21．（1）求()ln f x x x =-的最大值；（2）若()2ln 21x t x x +≤++对0x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.答案：（1）1-；（2）(]0,e .【分析】（1）已知()f x 的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解；（2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，由题意得()0g x ≤在0x ≥恒成立，由()00g ≤得0<e t ≤，求导得()()()24411x t x t g x x t--++-'=+，按1e t ≤≤和01t <<分类讨论即可.解：（1）()ln f x x x =-，则()11f x x'=-，令()0f x '≥得01x <≤. 故()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，∴()()max 11f x f ==-. （2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，由()00g ≤得0<e t ≤，则()()()24411141x t x t g x x x t x t--++-'=--=++. ①若1e t ≤≤，则0x ≥时，240x -≤，()410t x -+≤，10t -≤，0x t +>，此时()0g x '≤对0x ≥恒成立，故()g x 在[)0,+∞单调递减，()()0ln 10g x g t ≤=-≤，故[]1,e t ∈符合要求.②若01t <<，由（1）得()ln 1f x x x =-≤-，故ln 1≤-x x ，∴()ln 1x t x t +≤+-，而()()22211222>0x x x t x t t ++-+-=-+≥-对0x ≥恒成立，∴()2211ln x x x t x t ++≥+-≥+.∴()0,1t ∈符合要求，综上，t 的取值范围为(]0,e .点评：关键点点睛：本题考查函数在某范围上的恒成立求参数的问题，代入某特值符合题意，求出参数再验证是否符合题意，属于中档题.22．已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,242x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴)中，曲线2C 的方程为()2sin 2cos >0p p ρθθ=，曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，其中定点()0,4M -.（1）若2p =，求MA MB +的值；（2）若MA ，AB ，MB 成等比数列，求p 的值. 答案：（1）（2）4-+【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程，把曲线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理得1212,t t t t +，从而得120,0t t >>，利用参数的几何意义求得MA MB +的值；（2）同样把曲线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理得1212,t t t t +，从而得120,0t t >>，由参数t 的几何意义表示出MA ，AB ，MB ，再由等比数列的性质可求得p 值．解：（1）∵曲线2C 的方程为()2sin2cos >0p p ρθθ=，∴22sin 2cos p ρθρθ=，即()220y px p =>.∴曲线2C 的直角坐标方程为()220y px p =>，又已知2p =，∴曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.将曲线1C的参数方程,24x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，与24y x =联立，得2320t -+=，由于(2432>0∆=--⨯，∴设方程两根为1t ，2t，则12t t +=1232t t =，∴1212MA MB t t t t +=+=+=.（2）将曲线1C的参数方程,242x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，与()220y px p =>联立，得)24320t p t -++=，由于)()22443288>0p p p ⎡⎤∆=-+-⨯=+⎣⎦，∴设方程两根为1t ，2t，则)124t t p +=+，1232t t =，且10t >，20t >，又MA ，AB ，MB 成等比数列， ∴2AB MA MB =⋅，得21212t t t t -=⋅，则()21212124t t t t t t +-=，即()212125t t t t +=.∴)24532p ⎡⎤+=⨯⎣⎦，得2840p p +-=，解得4p =-±，又0p >，∴4p =-+，∴当MA ，AB ，MB 成等比数列时，p得值为4-+点评：方法点睛：直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角），此参数方程中参数t 具有的几何意义：设()P t ，00(,)M x y ，则PM t =，如果有向线段MP 是向上方向，t 为正，有向线段MP 是向下方向，t 为负．由这种几何意义可解决直线与曲线相交的弦长问题．23．已知函数()|2||1|,f x x a x a R =-+-∈.（1）若不等式()2|1|f x x --无解，求实数a 的取值范围；（2）当2a <时，函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值.答案：（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）2a =-.【分析】（1）把()f x 代入不等式，并化简，根据题意可得min (|2||22|)2x a x -+->，利用绝对值三角不等式，可得|2|2a ->，简单计算可得结果.（2）使用零点分段法，去掉绝对值，可得()f x 表达式，然后画出图像，可得结果. 解：（1）把()|2||1|f x x a x =-+-代入不等式()2|1|f x x -- 得|2||22|2x a x -+-，因为不等式()2|1|f x x --无解，所以min (|2||22|)2x a x -+->，即|2|2a ->，解得4a >，或0a <，所以实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞.（2）函数()|2||1|f x x a x =-+-的零点是2a和1，因为2a <，所以12a<，则31,,2()1,1,231, 1.a x a x a f x x a x x a x ⎧-++⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪--⎪⎪⎩如图由图可知当2ax =时， min ()122af x =-=，得22a =-<符合题意，所以2a =-.点评：本题考查绝对值不等式的应用以及分段函数图象应用，熟悉绝对值的三角不等式a b a b a b -≤±≤+，同时熟练掌握零点分段法的使用，属中档题.。

2021年湖南省长沙市高考数学一模试卷理科及答案

2021年湖南省长沙市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，那么z1z2=〔〕A．2B．﹣2C．1+i D．1﹣i2．〔5分〕设全集U=R，函数f〔x〕=lg〔|x+1|﹣1〕的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，那么〔∁U A〕∩B的子集个数为〔〕A．7B．3C．8D．93．〔5分〕函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的图象中相邻对称轴的距离为，假设角φ的终边经过点，那么的值为〔〕A．B．C．2D．4．〔5分〕如下图的茎叶图〔图一〕为高三某班50名学生的化学考试成绩，图〔二〕的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，那么输出的m，n分别是〔〕A．m=38，n=12B．m=26，n=12C．m=12，n=12D．m=24，n=105．〔5分〕设不等式组暗示的平面区域为Ω1，不等式〔x+2〕2+〔y﹣2〕2≤2暗示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕假设函数f〔x〕=的图象如下图，那么m的范围为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕B．〔﹣1，2〕C．〔0，2〕D．〔1，2〕7．〔5分〕某多面体的三视图如下图，那么该多面体各面的面积中最大的是〔〕A．11B．C．D．8．〔5分〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2021＞0，S2021＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，那么k的值为〔〕A．1006B．1007C．1008D．10099．〔5分〕非零向量，，满足|﹣|=||=4，〔﹣〕•〔﹣〕=0，假设对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，那么m﹣n的值为〔〕A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2D．是410．〔5分〕如下图的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面彼此垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，那么球O的概况积为〔〕A．4πB．12πC．16πD．36π11．〔5分〕双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，假设∠PAQ=60°，且，那么双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕e为自然对数的底数，假设对任意的x∈[0，1]，总存在独一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[1，e]B．C．〔1，e]D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕a＞0，展开式的常数项为15，那么=．14．〔5分〕设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，那么ab的取值范围是．15．〔5分〕正项数列{a n}的前n项和为S n，且〔n∈N*〕，设，那么数列{c n}的前2021项的和为．16．〔5分〕F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A〔﹣2，1〕，当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕△ABC中，点D在BC边上，且，AB=3．〔Ⅰ〕求AD的长；〔Ⅰ〕求cosC．18．〔12分〕如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．〔1〕过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；〔2〕在〔1〕的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．〔12分〕2021年7月9日21时15分，台风“莲花〞在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安装，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，〔2000，4000]，〔4000，6000]，〔6000，8000]，〔8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：〔Ⅰ〕试按照频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔Ⅰ〕小明向班级同学发出建议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进展捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；〔Ⅰ〕台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，按照表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30b捐款不超过500元c d=6合计P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．20．〔12分〕抛物线C的顶点为原点，其焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y ﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．〔12分〕函数f〔x〕=+be﹣x，点M〔0，1〕在曲线y=f〔x〕上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．〔1〕求a，b的值；〔2〕如果当x≠0时，都有f〔x〕＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕选修4﹣4；坐标系与参数方程曲线C1的参数方程是〔φ为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序分列，点A的极坐标为〔2，〕．〔1〕求点A，B，C，D的直角坐标；〔2〕设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f〔x〕=|x|﹣|2x﹣1|，记f〔x〕＞﹣1的解集为M．〔1〕求集合M；〔2〕a∈M，比力a2﹣a+1与的大小．2021年湖南省长沙市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，那么z1z2=〔〕A．2B．﹣2C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=〔1+i〕〔1﹣i〕=2．应选：A．2．〔5分〕设全集U=R，函数f〔x〕=lg〔|x+1|﹣1〕的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，那么〔∁U A〕∩B的子集个数为〔〕A．7B．3C．8D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，那么∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．那么B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，那么〔∁U A〕∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴〔∁U A〕∩B的元素个数为3．∴〔∁U A〕∩B的子集个数为：23=8．应选：C．3．〔5分〕函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的图象中相邻对称轴的距离为，假设角φ的终边经过点，那么的值为〔〕A．B．C．2D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f〔x〕=sin〔2x+〕那么=sin〔+〕=cos=．应选：A4．〔5分〕如下图的茎叶图〔图一〕为高三某班50名学生的化学考试成绩，图〔二〕的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，那么输出的m，n分别是〔〕A．m=38，n=12B．m=26，n=12C．m=12，n=12D．m=24，n=10【解答】解：由轨范框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，那么在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26应选：B．5．〔5分〕设不等式组暗示的平面区域为Ω1，不等式〔x+2〕2+〔y﹣2〕2≤2暗示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为〔〕A．B．C．D．【解答】解：不等式组暗示的平面区域为Ω1，不等式〔x+2〕2+〔y﹣2〕2≤2暗示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．应选：C．6．〔5分〕假设函数f〔x〕=的图象如下图，那么m的范围为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕B．〔﹣1，2〕C．〔0，2〕D．〔1，2〕【解答】解：∵当x＞0时，f〔x〕＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′〔x〕=．∵f〔x〕有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．应选：D．7．〔5分〕某多面体的三视图如下图，那么该多面体各面的面积中最大的是〔〕A．11B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如下图的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．应选：C．8．〔5分〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2021＞0，S2021＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，那么k的值为〔〕A．1006B．1007C．1008D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2021==1007〔a1007+a1008〕＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2021＜0可得2021a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008应选：C．9．〔5分〕非零向量，，满足|﹣|=||=4，〔﹣〕•〔﹣〕=0，假设对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，那么m﹣n的值为〔〕A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2D．是4【解答】解：假设=〔4，0〕、=〔2，2〕、=〔x，y〕，∵〔﹣〕•〔﹣〕=0，∴〔4﹣x，﹣y〕•〔2﹣x，2﹣y〕=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即〔x﹣3〕2+〔y﹣〕2=4，∴满足条件的向量的终点在以〔3，〕为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，应选：D．10．〔5分〕如下图的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面彼此垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，那么球O的概况积为〔〕A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面彼此垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，那么h2+3=R2=〔﹣h〕2，∴h=1，R=2，∴球O的概况积为4πR2=16π．应选：C．11．〔5分〕双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，假设∠PAQ=60°，且，那么双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A〔a，0〕，P〔m，〕，〔m＞0〕，由=3，可得Q〔3m，〕，圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H〔2m，〕，由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，那么|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．应选C．12．〔5分〕e为自然对数的底数，假设对任意的x∈[0，1]，总存在独一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[1，e]B．C．〔1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在独一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥〔﹣1〕2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个分歧的实数，因此舍去，a的取值范围是．应选：B．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕a＞0，展开式的常数项为15，那么=．=•〔﹣1〕r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．〔5分〕设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，那么ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1暗示的可行域如图的暗影局部：可行域与坐标轴的交点坐标〔1，0〕，〔0，1〕，〔0，﹣1〕，〔﹣1，0〕，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，那么ax+4by≥8暗示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a ＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．〔5分〕正项数列{a n}的前n项和为S n，且〔n∈N*〕，设，那么数列{c n}的前2021项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且〔n∈N*〕①，那么：②，﹣a n，②﹣①得：+a n+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．那么a n =1+n ﹣1=n ，所以：．那么：=，数列{c n }的前2021项的和为：，=﹣1+， =﹣．故答案为：16．〔5分〕F 是椭圆C ：+=1的右焦点，P 是C 上一点，A 〔﹣2，1〕，当△APF 周长最小时，其面积为 4 ．【解答】解：椭圆C ：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'〔﹣4，0〕，右焦点为F 〔4，0〕．△APF 周长为|AF |+|AP |+|PF |=|AF |+|AP |+〔2a ﹣|PF'|〕 =|AF |+|AP |﹣|PF'|+2a ≥|AF |﹣|AF'|+2a ，当且仅当A ，P ，F'三点共线，即P 位于x 轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=〔x +4〕，代入x 2+5y 2=20中，可求得P 〔0，2〕，故S △APF =S △PF'F ﹣S △AF'F =×2×8﹣×1×8=4．故答案为：4．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕△ABC中，点D在BC边上，且，AB=3．〔Ⅰ〕求AD的长；〔Ⅰ〕求cosC．【解答】解：〔Ⅰ〕由获得：AD⊥AC，所以，所以．〔2分〕在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，〔4分〕解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．〔6分〕〔Ⅰ〕在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知〔8分〕所以〔10分〕因为，即〔12分〕18．〔12分〕如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．〔1〕过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；〔2〕在〔1〕的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：〔1〕当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：保持AC交BD于M，保持MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．〔2〕过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，那么P为BC的中点．以O为原点，建立如下图的空间直角坐标系，设AD=1，那么BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=〔AB﹣EF〕=，∴OF=．∴A〔，﹣，0〕，B〔，，0〕，C〔﹣，，0〕，F〔0，0，〕，N〔﹣，，〕．∴=〔0，2，0〕，=〔﹣，，〕，=〔﹣，﹣，〕．设平面ABF的法向量为=〔x，y，z〕，那么，∴，令z=得=〔2，0，〕，∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．〔12分〕2021年7月9日21时15分，台风“莲花〞在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安装，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，〔2000，4000]，〔4000，6000]，〔6000，8000]，〔8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：〔Ⅰ〕试按照频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔Ⅰ〕小明向班级同学发出建议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进展捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；〔Ⅰ〕台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，按照表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30bc d=6捐款不超过500元合计P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．Array【解答】解：〔Ⅰ〕记每户居民的平均损失为元，那么：=〔1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003〕×2000=3360…〔2分〕〔Ⅰ〕由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：〔0.00009+0.00003+0.00003〕×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P〔ξ=0〕==，P 〔ξ=1〕==，P 〔ξ=2〕==，∴ξ的分布列为：ξ 01 2 PEξ=0×+1×+2×=．〔Ⅰ〕如图：经济损失不超过 4000元经济损失超过 4000元合计捐款超过 500元 30939捐款不超过500元 5 6 11合计35 15 50K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…〔12分〕20．〔12分〕抛物线C 的顶点为原点，其焦点F 〔0，c 〕〔c ＞0〕到直线l ：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：〔1〕焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．〔2〕设，，由〔1〕得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P〔x0，y0〕为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．〔3〕按照抛物线的定义，有，，所以=，由〔2〕得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．〔12分〕函数f〔x〕=+be﹣x，点M〔0，1〕在曲线y=f〔x〕上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．〔1〕求a，b的值；〔2〕如果当x≠0时，都有f〔x〕＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：〔1〕f〔x〕=+be﹣x的导数为f′〔x〕=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f〔0〕=1，f′〔0〕=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；〔2〕当x≠0时，都有f〔x〕＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有〔1﹣k〕e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g〔x〕=，g〔﹣x〕==g〔x〕，即有g〔x〕为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g〔x〕﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h〔x〕=2x﹣e x+e﹣x，h′〔x〕=2﹣〔e x+e﹣x〕≤2﹣2=0，那么h〔x〕在x＞0递减，即有h〔x〕＜h〔0〕=0，即有g〔x〕＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．那么k的取值范围为〔﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕选修4﹣4；坐标系与参数方程曲线C1的参数方程是〔φ为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序分列，点A的极坐标为〔2，〕．〔1〕求点A，B，C，D的直角坐标；〔2〕设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：〔1〕点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为〔2〕设P〔x0，y0〕，那么为参数〕t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f〔x〕=|x|﹣|2x﹣1|，记f〔x〕＞﹣1的解集为M．〔1〕求集合M；〔2〕a∈M，比力a2﹣a+1与的大小．【解答】解：〔1〕由f〔x〕＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．〔2〕由〔1〕知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。

长郡中学高三数学第一次模拟考试试题理(扫描版)(2021年整理)

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2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(一)数学

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（一）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．若全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈≥，图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,22．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则23a b +=（） A ．(5,10)-- B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4--3．设30.2a=，2log 0.3b =，3log 2c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>4．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率为（） A ．328B ．356C ．314 D ．145．P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22C (2)(8)4x y ++-=：引切线，则切线长的最小值为（） A ．22B ．23C ．2D ．222-6.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若以OF （O 为坐标原点）为直径的圆被双曲线C 的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的离心率为（） A ．52B ．2C ．54D ．27．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622af =⋅，(ln 2)(ln 2)b f =⋅，2211log log 88c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >>D ．c a b >>8．若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11ea b+的取值范围是( ) A ．[)2,eB ．(],4eC ．[)2,+∞D ．[),e +∞二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.) 9．下列命题中正确的是（）A ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定:0,1⌝∀≥-≤xp x e x B.若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；C ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为ˆ0.3yx m =-，若样本中心点为(), 2.8m -，则4m = D ．若随机变量()~100,X B p ，且()20E X =，则()12D X =10．下列叙述不正确的是（） A ．21<x 的解是21>x B ．“04m <≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C ．已知x ∈R ，则“0x >”是“11x -<”的充分不必要条件D ．函数22)23(f x x x =++的最小值是 2-32 11．已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为5812．设函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，给定下列结论，其中是正确的是（） A ．不等式()0>g x 的解集为1(,)e+∞B ．函数()g x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减C ．当120x x >>时，221212()()()m x x f x f x 2->-恒成立，则m 1≥ D ．若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，则实数1(0,)2a ∈三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．291()x x+展开式中，常数项的值为__________.14.为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就坐，共有______种不同的安排方法.(用数字作答)15．若不等式2xln x+3≥－x 2＋ax 对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是_________16．已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.四、解答题（本大题共6题，证明和演算要写过程）17．（本题10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-，且2cos p q C ⋅=（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆面积.18．（本题12分）已知数列{}n a 满足13a =，()()212356n n n a n a n n ++=++++（*n ∈N ）.（1）证明：2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列；（2）设1nnb a =（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）二面角P AC E --，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.20．（本题12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线0622=+-y x 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线y ＝k （x －2）（k ≠0）与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使⋅+2为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．21．（本题12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）22．（本题12分）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.（1）若()f x 在点()(),e f e 处的切线为0x ey b -+=，求,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >.参考答案1-5．BBDAC 6-8 ABC9、ABC 10、ABCD 11、BCD 12．ACD因为函数()ln f x x x =，定义域{}0x x >，所以()ln 1f x x '=+，则()()ln 1f x g x x x x '=+=，()2ln xg x x'=-，对于A ，()0g x >，即ln 10x x+>， ln 10x +>，即1x e>，故A 正确；对于B ，()2ln xg x x '=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，故B 错误；对于C ，若120x x >>时，总有221212()()()m x x f x f x 2->-恒成立，则22111222ln ln 22m mx x x x x x ->-，在()0,∞+上恒成立，即()maxln 02m x x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，令()()ln 0x h x x x=>，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '=，解得x e =，故()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故()()max 1h x h e e ==，故12m e >，2m e>，故1m 成立.对于D ，函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，则()()2F x f x ax ''=-有两个零点，即ln 120x ax +-=，则ln 12x a x+=，令()ln 1x G x x +=，则()2ln xG x x'=-，()G x 在()0,1递增，在()1,+∞单调递减，()11G =，即()20,1a ∈，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13、84 14、 120 15..16、31217、（1）因为22cos sin sin sin p q B A A B ⋅=-+，所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，所以3C π=；（2）由余弦定理()22232cos33a b ab a b ab π=+-=+-，又a b +=3ab =，所以1sin 2S ab C ==18、（1）因为()()()()()212356323n n n n a n a n n n a n n ++=++++=++++，1132n n a an n +∴-=++是一个与n 无关的常数， 2n a n ⎧⎫∴⎨⎬+⎩⎭是以113a =为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）得()112na n n n =+-=+，()2n a n n ∴=+（*n N ∈）， ()11111222n nb a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭（*n N ∈）， 121111111112324112n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++.19、（1）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PC ⊥，∵2AB =，1AD CD ==，∴AC BC ==∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又BC PC C ⋂=，∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF ､CD ､CP 分别为x 轴､y 轴､z 轴正向，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -. 设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()1,1,0CA =，()0,0,CP a =，11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,1,0m =-，则0m CA m CP ⋅=⋅=，m 为面PAC 的法向量. 设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，2z =-，则(),,2n a a =--，依题意，26cos ,2m n m n m na ⋅〈〉===+，则2a =. 于是()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-.设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅=〈〉==，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.20、（1）由e ＝，得＝，即c ＝a ， ① 又因为以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －y ＋6＝0相切，所以a ＝＝，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.（2）由得（1＋3k 2）x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得2＋·＝·（＋）＝·为定值，则有·＝（x 1－m ，y 1）·（x 2－m ，y 2）＝（x 1－m ）·（x 2－m ）＋y 1y 2＝（x 1－m ）（x 2－m ）＋k 2（x 1－2）（x 2－2）＝（k 2＋1）x 1x 2－（2k 2＋m ）（x 1＋x 2）＋（4k 2＋m 2）＝（k 2＋1）·－（2k 2＋m ）·＋（4k 2＋m 2）＝.要使上式为定值，即与k 无关，则应使3m 2－12m ＋10＝3（m 2－6），即m ＝，此时·＝m 2－6＝－为定值，定点为E.21、（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时 15 4 19 线上学习时间不足5小时 10 16 26 合计 2520452245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445⨯=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，44420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==13416420(3)C C P X C ==，416420(4)C P X C ==，所以，X 的分布列：②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)YB ，故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=.22、（1）∵()()2ln f x ax x a R =--∈，∴()11ax f x a x x-'=-=，又()f x 在点()(),e f e 的切线的斜率为1e ，∴()11ae f e e e-'==，∴2a e =， ∴切点为(),1e -把切点代入切线方程得：2b e =-；（2）由（1）知：()()110ax f x a x x x-'=-=> ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上是单调减函数， ②当0a >时，令()0f x '=，解得：1x a=，当x 变化时，()(),f x f x '随x 变化情况如下表：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调减，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，单()f x 单调增，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单调减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭. (3)当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20x e x -->，令()()ln 20x h x e x x =-->，只需证()0h x >，∵()1x h x e x '=-由指数函数及幂函数的性质知：()1xh x e x '=-在()0,∞+上是增函数又()110h e '=->，131303h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，∴()1103h h ⎛⎫' ⎝'<<⎪⎭，()h x '在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点，也即()h x '在()0,∞+上有唯一零点设()h x '的零点为t ，则()10h t e t'-'==，即1113e t t ⎛⎫=<<⎪⎝⎭'，由()h x '的单调性知：当()0,x t ∈时，()()0h x h t ''<=，()h x 为减函数当(),x t ∈+∞时，()()0h x h t ''>=，()h x 为增函数，所以当0x >时，()()11ln 2ln 2h x h t e t t e ≥=---'=-'，又113t <<，等号不成立，∴()102220h x t t>=+-≥-=.。

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