最新九年级切线长定理练习题精选
初三数学切线长定理练习题
初三数学切线长定理练习题在初中数学中，学习切线是一个重要的内容，而切线的长度计算更是基础中的基础。
接下来，本文将为同学们提供一些切线长定理的练习题，帮助大家巩固和应用相关知识。
题目一：求切线长已知一个圆的半径为5cm，切线与半径的夹角为60°，求切线的长解题思路：根据数学知识，切线长定理表达式为：切线长 = 2 * 半径 * sin(夹角/2)。
其中sin函数需要转化为角度制进行计算。
解题步骤：1. 将给定的夹角60°转化为弧度制。
60° = π/3。
2. 代入切线长定理进行计算。
切线长= 2 * 5cm * sin(π/6)≈ 2 * 5cm * 0.5= 5cm。
因此，切线的长为5cm。
题目二：求切线长已知一个半径为8cm的圆，切线与半径的夹角为45°，求切线的长度。
解题思路：同样利用切线长定理，求解切线的长度。
解题步骤：1. 将给定的夹角45°转化为弧度制。
45° = π/4。
2. 代入切线长定理进行计算。
切线长= 2 * 8cm * sin(π/8)≈ 2 * 8cm * 0.383≈ 6.128cm。
因此，切线的长约为6.128cm。
题目三：已知切线长在一个半径为10cm的圆上，有一条长为12cm的切线，求切点与圆心连线和切线的夹角。
解题思路：由切线长定理的逆运算可得，夹角 = 2 * arcsin(切线长/2 * 半径)。
其中，arcsin函数结果需要转化为角度制。
解题步骤：1. 代入已知数据进行计算。
夹角 = 2 * arcsin(12cm/(2 * 10cm))≈ 2 * arcsin(0.6)≈ 73.74°。
因此，切点与圆心连线和切线的夹角约为73.74°。
通过以上练习题的解答，我们可以巩固切线长定理的应用，提高解题能力。
在实际问题中，我们常常需要用到切线长定理，因此熟练掌握此定理对于数学学习和实际运用都非常重要。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
2023学年九年级数学上册重要考点题(人教版)切线的判定与性质及切线长定理(10大题型(解析版)
切线的判定与性质及切线长定理（答案版）切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可）.题型1：切线的判定-连半径证垂直1.如图AB为⊙O的直径AC平分∠BAD交⊙O于点C CD⊥AD垂足为点D．求证：CD是⊙O 的切线．【答案】证明：连接OC∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∵OC=OA∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠ACO∴OC∠AD∵CD∠AD∴OC∠DC∵OC过圆心O∴CD是∠O的切线．【解析】【分析】连接OC 根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC 根据平行线的判定得出OC∠AD 根据平行线的性质得出OC∠DC 再根据切线的判定得出结论。
【变式1-1】如图在∠O中AB为直径BP为∠O的弦AC与BP的延长线交于点C 且AB=AC PE⊥AC于点E 求证：PE是∠O的切线．【答案】解：连接AP OP∵AB为∠O直径∴∠APB=90°即AP⊥BC又∵AB=AC∴点P是BC的中点又∵O是AB的中点∴OP是△ABC的中位线∴OP∠AC∴∠OPE=∠PEC又∵PE⊥AC∴∠PEC=90°∴∠OPE=90°∴OP⊥PE．∴PE是∠O的切线．【解析】【分析】连接AP OP 由AB为直径可知AP⊥BC结合AB=AC可得点P为BC的中点而O是AB的中点可得OP是△ABC的中位线可知OP∠AC 进而∠OPE=∠PEC 然后结合PE⊥AC可得OP⊥PE即可得到结论。
【变式1-2】如图D为∠O上一点点C在直径BA的延长线上且∠CDA=∠CBD.求证：CD是∠O 的切线.【答案】证明：连接OD∵AB为直径∴∠ADO+∠BDO=90°又∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA=∠BDO∴∠ADC+∠ADO=90°∴OD⊥CD∴CD是∠O的切线.【解析】【分析】连接OD 由圆周角定理可得∠ADO+∠BDO=90° 由已知条件以及等腰三角形的性质可得∠CDA=∠BDO 进而得到∠ADC+∠ADO=90° 据此证明.题型2：切线的判定-作垂直证半径2.ΔABC为等腰三角形O为底边BC的中点腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明：过点O作OE∠AC于点E 连结OD OA∵AB与O相切于点D∴AB∠OD∵∠ABC为等腰三角形O是底边BC的中点∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD 即OE是O的半径∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE∴AC是O的切线。
九年级数学 切线长定理 专题练习(含解析)
∴梯形对边和为：8+8=16， 则这个等腰梯形的上底与下底长的和为 16． 故选：D． 分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可． 6.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切 线，若△ABC 的周长为 25，BC 的长是 9，则△ADE 的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16
答案：C
解析：解答： ∵AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选 C． 分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10.如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A、B．如果 OP=4，PA= 2 3 ，那么∠AOB 等于（ ） A．90° B．100° C．110° D．120°
答案：B 解析：解答：∵PA、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA=PB， 又∵∠P=60°， ∴△PAB 是等边三角形，即 AB=PA=8， 故选 B． 分析： 根据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦 AB 的长． 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°， ∠P 的度数为（ ） A．35° B．45° C．60° D．70°
答案：D 解析：解答： 根据切线的性质定理得∠PAC=90°， ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°． 根据切线长定理得 PA=PB， 所以∠PBA=∠PAB=55°， 所以∠P=70°． 故选 D． 分析： 根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解． 9.如 图 ， AB、 AC 是 ⊙O 的 两 条 切 线 ， B、 C 是 切 点 ， 若 ∠A=70°， 则 ∠BOC 的 度 数 为 （ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
第三章圆之切线长定理练习北师大版2024—2025学年九年级下册
第三章圆之切线长定理练习北师大版2024—2025学年九年级下册一、选择题1.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．102.如图，一圆外切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．383.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化4.如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°第1题第2题5.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC 的度数为（）A．70°B．90°C．60°D．45°6.如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A．13 B．12 C．11 D．107.如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A．12 B．24 C．8 D．68.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9 B．10 C．3D．2第5题第6题第7题第8题二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是．10.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为．11.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm ，则此光盘的直径是cm．12.如图，MA、MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若∠AMB=60°，AB=1，则⊙O的直径等于．第9题第10题第11题13.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为．14.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．15.如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB=4，AC=5，AD=1，那么BC的长为．16.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是．三、解答题17.如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．18．已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．19．如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．20．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．21.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E是△BCD的内心；（4）若∠BCD=60°，求的值．。
初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)
PBA O《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线∴PA=PB，PO平分∠BPA例题精选：例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。
例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？（例3图）（例4图）例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．习题巩固：1．如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点．若圆O 的半径为5，且AB=11，则DE 的长度为何？（ ）A ．5B ．6C ．30D ．211（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，AB 、CD 分别为两圆的弦，AC 、BD 为两圆的公切线且相交于P 点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB 的周长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．14 3．如图，圆外切等腰梯形ABCD 的中位线EF=15cm ，那么等腰梯形ABCD 的周长等于（ ）A ．15cmB ．20cmC ．30cmD ．60cm4．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°（第4题） （第5题） （第6题）5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于点A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ）A ．50°B ．62°C ．66°D ．70°6．已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB•CD；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（ ）A 1B 2C 3D 47．以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ）A 12B 13C 14D 158．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=59，AC=3．则DE 长为（ ） A 23 B 2 C 25 D 5（第7题） （第8题） （第9题）9．正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．610．如图，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC 于M ，N ．那么2BC CN BM •的值等于（ ） A 81 B 41 C 21 D 1（第10题） （第11题） （第12题）11如图，PA 、PB 、EF 分别切⊙O 于A 、B 、D ，若PA=10cm ，则△PEF 的周长是 cm ，若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与DF 是半圆的切线，M ，N 为切点，CE ，DF 交于点P ．则AE= ，△PMN 的面积是 。
切线长定理 浙教版九年级数学下册一课一练(含答案)
2021-2022学年浙教版九年级数学下册课课练一课一练2.2切线长定理（含答案）一、单选题1．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（）A．PA＝PB B．AD＝BDC．OP⊙AB D．⊙PAB＝⊙APB2．如图，P为圆O外一点，PA,PB分别切圆O于A,B两点，若PA=5，则PB=（）.A．2B．3C．4D．53．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊙AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5B．2C．√2D．√34．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．4B．3C．2D．15．下列命题中，正确有（）①平分弦的直径垂直于弦；②三角形的三个顶点确定一个圆；③圆内接四边形的对角相等；④圆的切线垂直于过切点的半径；⑤过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，⊙ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O 的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下⊙AMN，则剪下的三角形的周长为()A．13cm B．8cmC．6．5cm D．随直线MN的变化而变化7．如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若⊙ACB=60°，则∠P的度数为（）A．60°B．65°C．50°D．55°8．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知⊙P＝50°，则⊙ACB的大小是（）A．65°B．60°C．55°D．50°二、填空题9．PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=cm．10．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若⊙PDE的周长为20cm，则PA长为．11．如图，⊙ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则⊙ABC 的周长为.12．如图，⊙O的半径为4，点P到圆心的距离为8，过点P画⊙O的两条切线PA和PB，A，B为切点，则阴影部分的面积是．（结果保留π）13．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为．14．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且⊙AEB=60°，则⊙P=度．15．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知⊙PCD的周长等于10cm，则PA=cm．三、解答题⌢上任意一点，过点C画⊙ O的16．如图，PA和PB是⊙ O的两条切线，A，B是切点．C是AB切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周长．17．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A,B两点，若∠C=65°，求∠P的度数．18．如图所示，⊙O分别切△ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=8，AC=10，AB=6．（1）求AD的长；（2）求⊙O的半径长．19．已知：如图，PA,PB,DC分别切⊙O于点A，B，E点．（1）若∠P=40°，求∠COD；（2）若PA=10cm，求△PCD的周长．四、综合题20．如图，⊙ABC中，⊙ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．（1）求证：⊙ACD= 12⊙B；（2）若BC＝6，AC＝8，求AD和CD的长．21．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥CD，BO＝6cm．CO＝8cm，（1）求证：BO⊙CO；（2）求⊙O的半径．答案解析部分1．D2．D3．D4．C5．C6．B7．A8．A9．310．10cm11．1412．16√3−16π313．214．6015．516．解：⊙DA、DC是圆O的切线，⊙DA=DC，同理可得EC=EB，⊙C⊙PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．17．解：∵PA、PB是⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，∴∠P=180°−∠AOB，∵∠ACB=65°，∴∠AOB=2∠ACB=130°，∴∠P=180°−130°=50°．18．（1）解：设AD=x，∵⊙O分别切△ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，∴AF=AD=x，∵BC=8，AC=10，AB=6，∴BD=BE=AB−AD=6−x，CE=CF=AC−AF=10−x，∴BE+CE=6−x+10−x=BC=8，即16−2x=8，得x=4，∴AD的长为4（2）解：如图，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，则OD⊙AB,OE⊙BC,OF⊙AC,且OD=OE=OF=2，⊙ BC=8，AC=10，AB=6,⊙AB2+BC2=AC2，⊙⊙ABC是直角三角形，且⊙B是直角，⊙⊙ABC的面积= 12⋅AB⋅OD+12⋅AC⋅OF+12⋅BC⋅OE=12⋅BC⋅AB,⊙ 12(6+8+10)OD=12×6×8,⊙OD=2,即⊙O的半径长为2.19．（1）解：连接OA、OB和OE⊙点A和点B均为圆O的切点⊙⊙PAO=⊙PBO =90°⊙⊙AOB=360°-⊙P-⊙PAO-⊙PBO=140°又CA和CE均为圆的切线⊙⊙ACO=⊙ECO，⊙OAC=⊙OEC=90°⊙⊙AOC=⊙EOC= 12∠AOE同理可得⊙EOD= 12⊙EOB⊙⊙COD=⊙EOC+⊙EOD= 12∠AOE+12∠EOB=12∠AOB=70°（2）解：⊙PA、PB和CD分别切圆O于点A、B和E点⊙CE=CA，DE=DB，PA=PB⊙⊙PCD的周长=PC+PD+CD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=20cm 20．（1）证明：如图，连接OD.⊙AB为切线，⊙OD⊙AB，⊙⊙ODB＝90°.⊙⊙ACB＝90°，⊙⊙ABC+⊙COD＝180°.⊙⊙AOD+⊙COD＝180°，⊙⊙AOD＝⊙ABC.⊙⊙AOD＝2⊙ACD，⊙⊙ACD= 12⊙ABC.（2）解：在Rt⊙ABC中，AB= √62+82=10⊙OC⊙CB，⊙BC为切线，⊙BD＝BC＝6，⊙AD＝4.设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，在Rt⊙AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，⊙OC＝3.如图，连接OB交CD于H.⊙OC＝OD，BC＝BD，⊙OB垂直平分CD.在Rt⊙OCB中，OB= √32+62=3√5∵12OB·CH=12OC·BC,∍CH=3√5=6√55⊙CD＝2CH= 12√5521．（1）证明：连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，⊙OBF＝⊙OBE，⊙OCF＝⊙OCG；⊙AB ∥CD，⊙⊙ABC+⊙BCD＝180°，⊙⊙OBE+⊙OCF＝90°，⊙⊙BOC＝90°，⊙BO⊙CO；（2）解：由（1）知，⊙BOC＝90°．⊙OB＝6cm，OC＝8cm，⊙由勾股定理得到：BC＝√82+62＝10cm，⊙OF⊙BC，＝4.8cm．⊙OF＝BO⋅OCBC11/ 11。
2.5.5切线长定理同步练习2023学年苏科版九年级数学上册
切线长定理同步练习一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，若PA ＝5，则PB 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．52. 如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PB B ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD3. 如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，OP 交⊙O 于点C ，下列结论中，错误的是( )A ．∠1＝∠2B ．PA ＝PBC ．AB ⊥OPD ．∠PAB ＝2∠14.如图，PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，∠APB ＝60°，点P 到圆心O 的距离OP ＝2，则⊙O 的半径为( )A ．12B ．1C ．32D ．2 5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°6. 一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘如图摆放，AB ＝3，则光盘的直径是( )A ．3B ．3 3C ．6D ．6 37. 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A ．60°B ．75°C ．70°D ．65°8. 如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，点C 是劣弧AB 上一点，过点C 的切线分别交PA 、PB 于点M ，N ，若⊙O 的半径为2，∠P ＝60°，则△PMN 的周长为( )A ．4B ．6C ．4 3D ．6 39. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A.133B.92C.4313 D ．2 5 10. 如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切半圆O 于A ，B 两点，CD 切半圆O 于点E ，AD 与CD 交于点D ，BC 与CD 交于点C ，连接OD 、OC ，下列结论：①AD ＋BC ＝CD ；②OD ＝OC ；③S 梯形ABCD ＝12CD·OA ；④∠DOC ＝90°.其中正确的有( )A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．③④二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.如图，PA ，PB 切⊙O 于点A ，B ，已知∠APB ＝60°，⊙O 的半径为2，则切线PA 的长为_______．12. 如图，AB ，AC ，BD 是⊙O 的切线，P ，C ，D 为切点，如果AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长为_______．13. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，点C 在AB ︵上，过点C 的切线分别交PA ，PB 于点E ，F.若△PEF 的周长为6，则线段PA 的长为________．14. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝16，CD ＝10，AB ，BC ，CD ，AD 与⊙O 分别相切于点E ，F ，G ，H ，则四边形ABCD 的周长为______．15. 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝50°，则∠P ＝______．16. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则△ABC 的内切圆半径r ＝________．三．解答题（共6小题， 56分）17．(6分) 如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H，说明AB＋CD 与BC＋AD的大小关系.18．(8分) 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，CD切⊙O于点E，连接OC，OD，△PCD的周长为12，∠P＝60°.求PA的长.19．(8分) 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，求⊙O的半径的长.20．(10分) 如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC ＝30°.求∠P的大小.21．(12分) 已知：AB是⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，过点D的切线交BC于点F.若DE∥AB，求证：CF＝EF；22．(12分) 如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．参考答案1-5DDDBD 6-10DDCAA11．2 312．213．314．5215．80°16. 117. 解：由切线长定理，得AE ＝AH ，BE ＝BF ，CF ＝CG ，DG ＝DH ，∴AB ＋CD ＝AE ＋BE ＋CG ＋DG ＝AH ＋BF ＋CF ＋DH ＝AH ＋DH ＋BF ＋CF ＝BC ＋AD ，即AB ＋CD ＝BC ＋AD.18. 解：∵CA ，CE 都是⊙O 的切线，∴CA ＝CE ，同理DE ＝DB ，PA ＝PB ，∴△PDC 的周长＝PD ＋CD ＋PC ＝PD ＋PC ＋CA ＋BD ＝PA ＋PB ＝2PA ＝12，即PA 的长为619. ∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ，∠PAO ＝90°.∵∠APB ＝60°，∴∠APO ＝30°.∵PO ＝2，∴AO ＝1.20. 解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥AB ，∴∠BAP ＝90°.∵∠BAC ＝30°，∴∠CAP ＝90°－∠BAC ＝60°.又∵PA ，PC 切⊙O 于点A ，C ，∴PA ＝PC ，∴△PAC 为等边三角形，∴∠P ＝60°21. 证明：连接OD ，OE.∵AB ＝2，∴OA ＝OD ＝OE ＝OB ＝1.∵DE ＝1，∴OD ＝OE ＝DE.∴△ODE 是等边三角形.∴∠ODE ＝∠OED ＝60°.∵DE ∥AB ，∴∠AOD ＝∠ODE ＝60°，∠BOE ＝∠OED ＝60°.∴△AOD 和△BOE 都是等边三角形．∴∠OAD ＝∠OBE ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠OAD ＝60°，∠CED ＝∠OBE ＝60°.∴△CDE 是等边三角形.∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD.∴∠ODF ＝90°.∴∠EDF ＝90°－∠CED ＝90°－60°＝30°.∴∠DFE ＝180°－∠EDF －∠CED ＝180°－30°－60°＝90°.∴DF ⊥CE.∴CF ＝EF.22. 解：(1)连接OF ，根据切线长定理，得BE ＝BF ，CF ＝CG ，∠OBF ＝∠OBE ，∠OCF ＝∠OCG.∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴∠OBF ＋∠OCF ＝90°，∴∠BOC ＝90°(2)由(1)知，∠BOC ＝90°.∵OB ＝6 cm ，OC ＝8 cm ，∴由勾股定理，得BC ＝OB 2＋OC 2 ＝10 cm ，∴BE ＋CG ＝BC ＝10 cm(3)∵OF ⊥BC ，∴OF ＝OB·OC BC ＝4.8 cm。
3.7切线长定理(解析版)九年级下册
3.7切线长定理分层练习考查题型一利用切线长定理求线段长度1.（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是OAC ，的切线，切点分别是P、C、D．若10AB ，6则BD的长是()A．3B．4C．5D．6【分析】由于AB、AC、BD是O，求出BP的长即可求出BD的长．的切线，则AC AP，BP BD【解答】解：AC∵、AP为O的切线，，6AC AP∵、BD为OBP的切线，BP BD，．BD PB AB AP1064故选：B．2.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是O切于A，B两点，C是 AB外一点，PA，PB分别和O上任意一点，过C作O的周长为12，则PA的长为() 的切线分别交PA，PB于D，E．若PDEA ．12B ．6C ．8D ．4【分析】由PA ，PB 分别和O 切于A ，B 两点与DE 是O 的切线，根据切线长定理，即可得PA PB ，DA DC ，EB EC ，又由PDE 的周长为12，易求得12PA PB ，则可求得答案．【解答】解：PA ∵，PB 分别和O 切于A ，B 两点，PA PB ，DE ∵是O 的切线，DA DC ，EB EC ，PDE ∵的周长为12，即212PD DE PE PD DC EC PE PD AD EB PE PA PB PA ，6PA ．故选：B ．3.（2023秋•沙河口区期中）如图，AB 、AC 、BD 是O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果8AB ，5AC ，则BD 的长为．【分析】由AB 、AC 、BD 是O 的切线，则AC AP ，BP BD ，求出BP 的长即可求出BD 的长．【解答】解：AC ∵、AP 为O 的切线，AC AP，∵、BD为OBP的切线，，BP BD．BD PB AB AP853故答案为：3．考查题型二利用切线长定理求周长4.（2022秋•潮州期末）如图，P为O于点E，于点A、B，CD切O外一点，PA、PB分别切O分别交PA、PB于点C、D，若8的周长为()PA ，则PCDA．8B．12C．16D．20【分析】由切线长定理可求得PA PB，则可求得答案．，AC CE，BD ED【解答】解：PA∵、PB分别切O于点E，于点A、B，CD切O，，BD ED8，AC ECPA PB，PC CD PD PC CE DE PD PA AC PD BD PA PB8816即PCD的周长为16．故选：C．5.（2022秋•宛城区校级期末）如图，O的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE是ABC为O的周长是()的切线，若ABC的周长为25，BC的长是9，则ADEA ．7B ．8C ．9D ．16【分析】根据切线长定理，可得BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ，则()ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG CH BC ，据此即可求解．【解答】解：AB ∵、AC 、BC 、DE 都和O 相切，BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ．9BG CH BI CI BC ，()25297ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG EH BC ．故选：A ．6.（2023秋•吴中区校级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于A 、B ，CD 切O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若5PA ，则PCD 的周长为．【分析】由于CA、CE，DE、DB都是O的周长转换为PA、PB的的切线，可由切线长定理将PCD长．【解答】解：PA∵、PB切O于A、B，；PA PB5同理，可得：EC CA；，DE DB．PC CE DE DP PC AC PD DB PA PB PA的周长210PDC即PCD的周长是10．考查题型三利用切线长定理求度数7.（2022秋•东莞市校级期末）如图：EB、EC是O上两的两条切线，B、C是切点，A、D是O 点，如果46的度数是度．，则ADCFE，32【分析】根据切线长定理得EC EBECB EBC，再根结合内接四边形的对角互补得，则67A ECB DCF．673299【解答】解：EB∵、EC是O的切线，，EB EC又46∵，E，ECB EBC67；BCD BCE DCF180()1809981∵四边形ADCB内接于O，180A BCD ，1808199A ，故答案为：99．1.（2023秋•金乡县期中）如图，直线AB 、CD 、BC 分别与O 相切于E 、F 、G ，且//AB CD ，若6OB cm ，8OC cm ，则BE CG 的长等于()A ．13B ．12C ．11D ．10【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明90BOC ，再根据勾股定理即可求得BC 的长，再结合切线长定理即可求解．【解答】解：//AB CD ∵，180ABC BCD ，CD ∵、BC ，AB 分别与O 相切于G 、F 、E ，12OBC ABC ，12OCB BCD ，BE BF ，CG CF ，90OBC OCB ，90BOC ，2210BC OB OC ，10()BE CG cm ．故选：D ．2.（2022秋•天河区校级期末）如图，PA 、PB 切O 于点A 、B ，直线FG 切O 于点E ，交PA 于F ，交PB 于点G ，若8PA cm ，则PFG 的周长是()A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm【分析】由于PA 、FG 、PB 都是O 的切线，可根据切线长定理，将ABC 的周长转化为切线长求解．【解答】解：根据切线长定理可得：PA PB ，FA FE ，GE GB ；所以PFG 的周长PF FG PG ，PF FE EG PG ，PF FA GB PG ，PA PB16cm ，故选：C ．3.（2022秋•南开区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(6,0)A 、(0,6)B ，O 的半径为2(O 为坐标原点），点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为()A 7B ．3C ．32D 14【分析】连接OP ．根据勾股定理知222PQ OP OQ ，当OP AB 时，线段OP 最短，即线段PQ 最短．【解答】解：连接OP 、OQ ．PQ ∵是O 的切线，OQ PQ ；根据勾股定理知222PQ OP OQ ，∵当PO AB 时，线段PQ 最短；又(6,0)A ∵、(0,6)B ，6OA OB ，62AB 1322OP AB ，2OQ ∵，2214PQ OP QO ，故选：D ．。
鲁教版(五四制)数学九年级下册《5.7 切线长定理》 同步练习【有答案】
5.7 切线长定理一．选择题1．如图，P A，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交P A，PB于点M，N，若P A＝7.5cm，则△PMN的周长是（）A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm2．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD 于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．πB．2πC．4πD．0.5π3．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．474．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD 的长是（）A．4B．3C．2D．15．如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（）A．6圈B．5圈C．4.5圈D．4圈6．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（）个：①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．A．1B．2C．3D．4二．填空题7．如图，从点P引⊙O的切线P A，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则P A＝cm．8．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．9．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为．10．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．11．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．12．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为．13．已知：P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A、B的一点，过点C 作⊙O的切线分别交P A和PB于点D、E，若P A＝10cm，DE＝7cm，则△PDE的周长为cm．14．如图所示，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝15，则△PCD的周长为．15．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为．16．如果圆的外切四边形的一组对边的和是5cm，那么这个四边形的周长是cm．三．解答题17．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P 的度数．18．如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．19．如图，∠APB＝52°，P A、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且P A＝6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．21．已知P A、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交P A于C、交PB于D．（1）若P A＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．22．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交P A、PB于点E、F，已知P A＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．23．如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D．若P A、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．24．已知：如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O 的切线，交P A、PB于E、F点，已知P A＝12cm，求△PEF的周长．25．已知：如图△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：DE＝BC；（2）若AC＝6，BC＝8，求S△ACD：S△EDF的值．参考答案一．选择题1．解：∵直线P A、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝P A+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．故选：D．2．解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．4．解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．5．解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等∴圆在菱形的边上转了4圈∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．故选：B．6．解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．①AF＝BG；④BG＜CG无法判断．正确的有②③故选：B．二．填空题7．解：∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴P A＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝P A+PB＝20；∴P A＝PB＝10，故答案为10．8．解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案为：72°．9．解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，∵⊙O内切于菱形ABCD，∴OE＝OF，∴OB平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，同理得∠BAO＝60°，∴∠AOB＝90°，∴AO＝AB＝2，OB＝2，∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，4OE＝2×，OE＝，故答案为：．10．解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．11．解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．12．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．13．解：分两种情况：①点C在劣弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+CD+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝P A+PB＝2P A＝20cm．②点C在优弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝2P A+2DE＝20+2×7＝34cm．综上，△PDE的周长为20或34cm．故答案为：20或34．14．解：∵P A、PB切⊙O于A、B，∴P A＝PB＝15；同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝P A+PB＝2P A＝30．即△PCD的周长是：30．故答案为：30．15．解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD ＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．16．解：∵四边形ABCD是圆的切线．∴AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG∴AH+DH+BF+CF＝AE+BE+CG+DG即：AD+BC＝AB+CD∴四边形的周长是10cm．故答案是：10．三．解答题17．解：根据切线的性质得：∠P AC＝90°，所以∠P AB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，根据切线长定理得P A＝PB，所以∠P AB＝∠PBA＝70°，所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．18．（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥P A，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．19．解：（1）∵P A、PB、DE都为⊙O的切线，∴DA＝DF，EB＝EF，P A＝PB＝6，∴DE＝DA+EB，∴PE+PD+DE＝P A+PB＝12，即△PDE的周长为12；（2）连接OF，∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，∴OB⊥PB，OA⊥P A，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，∵∠APB＝52°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．20．解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF ＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBE+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm．21．解：（1）连接OE，∵P A、PB与圆O相切，∴P A＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝P A+PB＝12；（2）∵P A PB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB＝65°．22．解：①∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，又∵直线EF是⊙O的切线，∴EB＝EQ，FQ＝F A，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+F A＝P A+PB＝2P A＝24cm；②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，则∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．23．解：∵P A、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，∴P A+PB＝m，P A•PB＝m﹣1，∵P A、PB切⊙O于A、B两点，∴P A＝PB＝，即•＝m﹣1，即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，∴P A＝PB＝1，∵P A、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD＝ED，BC＝EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝P A+PB＝2．24．解：∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴P A＝PB＝12，∵过Q点作⊙O的切线，交P A、PB于E、F点，∴EB＝EQ，FQ＝F A，∴△PEF的周长是：PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF，＝PE+EB+PF+F A＝PB+P A＝12+12＝24，答：△PEF的周长是24．25．（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，∴EC＝ED，∠ECD＝∠EDC．∵∠EDC+∠EDB＝90°，∠ECD+∠B＝90°，∴∠EDB＝∠B．∴ED＝BE．∴DE＝BE＝EC．∴DE＝BC．（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则AB＝10，根据射影定理可得：AD＝AC2÷AB＝3.6，BD＝BC2÷AB＝6.4，∴S△ACD：S△BCD＝AD：BD＝9：16，∵ED＝EB，EF⊥BD，∴S△EDF＝S△EBD，同理可得S△EBD＝S△BCD，∴S△EDF＝S△BCD，∴S△ACD：S△EDF＝．。
【精选】人教版九年级数学上册24.2.2 第3课时 切线长定理同步测试题及答案
第3课时切线长定理一、选择题1.下列说法中，不正确的是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．184.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．P BAO6题图 7题图 8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC 的周长．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．11.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．12．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．13．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°． (1)若AC=12cm ，BC=9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC=b ，BC=a ，AB=c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且ο60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．参考答案◆随堂检测 1. C2. B (提示：②④错误)3. 760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760） 4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150) ◆课下作业 ●拓展提高1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线 ∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA =）4. ∠P=600。
3.7+切线长定理+同步练习+2023—2024学年北师大版数学九年级下册
*3.7切线长定理【基础达标】1.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是()A.4B.4√3C.8D.8√32.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点L,M,N,P.若四边形ABCD的周长为20,则AB+CD等于()A.5B.8C.10D.123.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,若OP=4,PA=2√3,则∠AOB的度数为()A.60°B.90°C.120°D.无法确定4.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=6,∠DAC=∠DCA,则CE=.5.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,其切点分别为P,C,D,如果AB=5,AC=3,则BD的长为.6.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.(1)求证:△PAB是等边三角形.(2)求AC的长.【能力巩固】7.如图,有一张三角形纸片ABC,☉O是它的内切圆,D是其中的一个切点,已知AD=5 cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为()A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.随直线MN的变化而变化8.如图,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O切AB,BC,AC于点D,E,F,则AF的长为()A.5B.10C.7.5D.49.如图,PA,PB是☉O的切线,其切点分别为A,B,点C,D在☉O上.若∠PAD+∠C=220°,则∠P的度数为°.10.如图,AB为☉O的直径,AD,BC分别与☉O相切于点A,B,CD经过☉O上一点E,AD=DE,若AB=12,BC=4,则AD的长为.11.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在BC上,以OC为半径的半圆切AB于点E,交BC于点D,若BE=4,BD=2,求☉O的半径和边AC的长.【素养拓展】12.如图,一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5 cm的圆环,当滚到与坡面BC开始相切时停止.AB=40 cm,BC与水平面的夹角为60°.试问其圆心所经过的路线长是多少?(结果保留根号)参考答案【基础达标】1.C2.C3.C4.65.26.解:(1)证明:∵PA ,PB 分别与☉O 相切于点A ,B ,∴PA=PB ,且∠P=60°, ∴△PAB 是等边三角形. (2)∵△PAB 是等边三角形,∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°.∵BC 是☉O 的直径,PB 是☉O 的切线, ∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,∴∠ABC=30°, ∴AC=2×√33=2√33cm .【能力巩固】 7.C 8.A 9.100 10.9 11.解:如图,连接OE.∵AB 与☉O 相切, ∴OE ⊥AB , ∴∠BEO=90°. 设☉O 的半径为r ,在Rt △BEO 中,由勾股定理得OB 2=OE 2+BE 2.∵BE=4,BD=2,∴(2+r )2=r 2+42,解得r=3, ∴CD=6,∴BC=BD+CD=2+6=8. ∵∠C=90°,OC 为☉O 的半径, ∴AC 与☉O 相切, ∴AC=AE. 设AC=AE=x ,∴AB=BE+AE=4+x.在Rt △ABC 中,由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2,∴(4+x)2=x2+82,解得x=6,∴AC=6.【素养拓展】12.解:如图,连接OD,BD,作DE⊥AB于点E.∵BC与水平面的夹角为60°,∴∠DBE=60°,∴∠BDE=30°.设BE=x,则BD=2x,∴由勾股定理得4x2-x2=25,解得x=5√3,3∴OD=AE=40-5√3(cm).3)cm.答:其圆心所经过的路线长是(40−5√33。
切线长定理大题10道-教师用卷
切线长定理大题10道一、计算题（本大题共2小题，共12.0分）1.如图，已知CD是的直径，，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且．2.Ⅰ证明：直线AB是的切线；3.Ⅱ当，求的值．【答案】Ⅰ证明：连接，为圆O的直径，，即，，，，，，，，，，，在和中，≌，，即，是切线．Ⅱ解：，在中，由勾股定理得：，，∽，，，．4.如图，AC是的直径，是的切线，为切点，求的度数．5.6.7.8.【答案】解：是的切线，，，为切线，．，，，．9.在中，平分是边AB上一点，以BD为直径的经过点E，且交BC于点F．10.求证：AC是的切线；11.若的半径为5，求CE的长．12.【答案】证明：连接OE．，，平分，，，，，是的切线；解：连接OE、OF，过点O作交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，，，，在中，，，．13.如图，在中，是的外接圆，过点B作的切线，交CO的延长线于点交于点E．14.求证：；15.若，求CD的长．【答案】解：连接BO、BE，，，，是直径，，，为切线，，，，；，，，，，，，．16.如图，在中，点D是上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接，且．17.求证：直线CD是的切线；18.若CM平分，且分别交于点，当时，求MN的长．【答案】证明：如图，连接OD．为的直径，，即，又，，；，即．是圆O的半径，直线CD是的切线；解：平分，，又，，即，，，．19.如图，已知AB是的直径，CD与相切于．20.求证：BC是的平分线；21.若的半径，求CE的长．【答案】证明：是切线，，，，，，平分．在中，，，，，，．22.如图，AB是的直径，点C在AB的延长线上，AD平分交于点D，且，垂足为点E．23.求证：直线CE是的切线．24.若，求弦AD的长．25.【答案】证明：连结OC，如图，平分，，，，，，，，是的切线；，，∽，，，，，，设，在中，，，．26.如图，在中，，点D在BC边上，且，过点B作CD的垂线交AC于点O，以O为圆心，OC为半径画圆．27.求证：AB是的切线；28.若，求的半径．【答案】证明：连接OD，．≌，，是的切线．，在中，，设的半径为r，则，在中，．解之得，即的半径为．29.如图，点C是以AB为直径的上一点，CD是切线，D在AB的延长线上，作于E．30.求证：AC平分；31.若，求的半径；32.请探索：线段之间有何数量关系？请证明你的结论．【答案】证明：连接OC，是切线，，，，，，，，即AC平分；解：连接BC，，，，，是的直径，，，，的半径是；，证明：，，，，∽，，即．33.如图，AB为的直径，AE为的切线，若，求BD的长．【答案】解：为的直径，，为的切线，，，∽，，在中，，，，，．。
北师大版九年级数学下册《切线长定理》习题
《切线长定理》习题一、选择题1．⊙O 是△ABC 的内切圆，∠ACB =90°，∠BOC =105°，BC =20cm ，则AC =（ ） A ．20cm B ．203 C ．40cm D ．15cm2．已知：如图，AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，D 是⊙O 上一点，∠D =40°，则∠ACB 的度数等于（ ）A ．40° B120° C ． 100° D ． 80°3．如图1，P A 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB =30°，则∠ACB =（ ）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°BAC PO BA C DPO BA CE D O（1） （2） （3）二、填空题4．如图2，P A 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，已知P A =7cm ，则△PCD 的周长等于_________．5．如图3，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______． 6．如图3，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，若⊙o 的半径OF =2，AB =10，则△ABC 的面积是7．如图， ∠APB =75°，OP =4cm ，⊙o 的半径为2cm ，射线P A 绕点P 作顺时针旋转，当旋转 度时，P A 与相切．三、解答题8．已知：如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．9．已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．（1）若∠P=40°，求∠COD；（2）若△PCD的周长为20cm，求P A的长PAo10．已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆．（1）若∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；（2）若AC=b，BC=a，AB=c，△ABC的面积为S，求⊙O的半径r．11．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：（1）AB=AD；（2）DE=BC．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
北师大版九年级数学下《3.7切线长定理》同步习题含答案
北师大版九年级数学下册 第三章 圆 3.7切线长定理 同步俩习题一、选择题(9分×3＝27分)1．如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( )A ．8B ．12C ．16D ．不能确定,第1题图) ,第2题图)2．如图，已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边、AB 的延长线、AC 的延长线相切，则∠BOC 等于()A ．∠AB ．90°＋∠AC ．90°－12∠AD ．180°－12∠A3．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r二、填空题(9分×3＝27分)4．如图所示，△ABC的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，则AD＝__________，BD＝________ ，CE＝______ ．5．如图，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径为______．,第5题图),第6题图)6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB.若∠ABC＝30°，则AM＝______．三、解答题(14分＋15分＋17分＝46分)7．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝10cm，求AC的长．8．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.(1)求证：OD∥BE；(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．9．如图①，直线y ＝－34x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C(m ，n)是第二象限内一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.(1)当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；(2)如图②，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径．答案:1. C2. C3. C4. 6cm4cm2cm5. 26. 337. 解：(1)连接OA ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵OP 平分∠APB ，∴∠POA ＝∠POB ，而∠BOA ＝∠C ＋∠OAC ，而∠OAC ＝∠C ，∴∠POB ＝∠C ，∴AC ∥OP(2)证△PAB 为等边三角形，可求∠ABC ＝30°，又BC ＝10，∴AC ＝5cm8. 解：(1)连接OE ，∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO ＝∠EDO ，∠DAO ＝∠DEO ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ＝12∠AOE ，∵∠ABE ＝12∠AOE ，∴∠AOD ＝∠ABE ，∴OD ∥BE.(2)OF ＝12CD.理由：连接OC ，∵BC 、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝∠OCE.∵AM ∥BN ，∴∠ADO ＋∠EDO ＋∠OCB ＋∠OCE ＝180°，由(1)得∠ADO ＝∠EDO ，∴2∠EDO ＋2∠OCE ＝180°，即∠EDO ＋∠OCE ＝90°，在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF ＝12CD.9. 解：(1)连接CB、CE、CF、AC，则∠BAC＝∠EAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝5，CE＝OB＝3，∴C的坐标为(－5，3)(2)连接CD、CE、CF，∵∠CEO＝∠CDO＝90°，又∠DOE＝90°，∴四边形CEOD为矩形，又CE＝CD，得正方形CEOD，∴CE＝DO＝R，又BO＝3，∴BD＝3－R，∵BF、BD为切线，∴FB＝BD＝3－R，同理AE＝AF，即R＋4＝3－R＋5，∴R＝2.。
北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步练习题带答案
北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________切线长定理1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的长是()A.3B.4C.5D.62.如图,四边形ABCD外切于☉O,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为()A.60B.55C.45D.503.如图,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为.4.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则☉O的半径等于.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是.6.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=20°,求∠P的度数.7.如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求:(1)∠BOC的度数;(2)BE+CG的长;(3)☉O的半径.1.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为()A.12B.13C.14D.152.(2024滨州滨城区期中)如图,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=10,则☉O的面积为.3.如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1,S2,S3,S4的数量关系为.4.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.(1)求证:△PAB是等边三角形;(2)求AC的长.5.如图,AB为☉O的直径,∠DAB=∠ABC=90°,CD与☉O相切于点E,EF⊥AB于点F,EF交BD于点G,若AD=2,BC=6.(1)求CD的长度;(2)求EG的长度;(3)求BF的长度.6.(几何直观)如图,AB为☉O的直径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证:OQ=PQ;(2)连接BC并延长交PQ于点D,若PA=AB,且CQ=6,求BD的长.参考答案课堂达标1.B解析:∵AC,AP为☉O的切线∵BP,BD为☉O的切线∴BP=BD∴BD=BP=AB-AP=10-6=4.故选B.2.D解析:如图,∵四边形ABCD外切于☉O,设切点分别为E,G,H,F ∴AE=AF,BE=BG,CG=CH,DH=DF∴AD+BC=AF+DF+BG+CG=AE+DH+BE+CH=AB+CD=10+15=25∴四边形ABCD的周长为AD+BC+AB+CD=25+25=50.故选D.3.7解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线∴AD=AE,BD=BF,CE=CF.∵AB=4,AC=5,AD=1∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4∴BC=BF+CF=3+4=7.4.1解析:∵PA、PB是☉O的两条切线∴∠APO=∠BPO=1∠APB,∠PAO=90°.2∵∠APB=60°∴∠APO=30°.∵PO=2∴AO=1.5.6解析:连接DO,EO,如图.∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F∴OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE,BD=BF=2,AF=AE=3.又∵∠C=90°∴四边形OECD是矩形.在Rt△ABC中,BC2+AC2=AB2故(x+2)2+(x+3)2=52解得x=1(负值舍去)∴BC=3,AC=4∴S△ABC=1×3×4=6.26.解:根据切线的性质,得∠PAC=90°∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-20°=70°.根据切线长定理,得PA=PB∴∠PAB=∠PBA=70°∴∠P=180°-70°×2=40°.7.解:(1)如图,连接OE,OF.∵直线AB,BC分别与☉O相切于点E,F∴OE⊥AB,OF⊥BC,BE=BF.又∵OB=OB∴Rt△OBE≌△Rt△OBF(HL)∴∠OBE=∠OBF.同理,∠OCF=∠OCG.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°∴∠OBF+∠OCF=90°∴∠BOC=90°.(2)由切线长定理,得BE=BF,CF=CG∴BE+CG=BF+CF=BC.∵∠BOC=90°,OB=6 cm,OC=8 cm∴BC=√OB2+OC2=10 cm,∴BE+CG=10 cm.(3)∵OF⊥BC,OB⊥OC∴OF=OB·OC=4.8 cm.BC即☉O的半径为4.8 cm.课后提升1.C解析:设AE的长为x∵CE与半圆O相切于点F∴AE=EF,BC=CF.∵EF+FC+CD+ED=12∴AE+ED+CD+BC=12.∵AD=CD=BC=AB∴正方形ABCD的边长为4.在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得x=1∴AE+EF+FC+BC+AB=14∴直角梯形ABCE的周长为14.故选C.2.25π解析:如图,设☉O与正方形ABCD的边CD切于点E,与BC切于点F连接OE,OF则四边形OECF是正方形∴CF=CE=OE=OF∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°.∵∠MON=90°∴∠FON+∠FOM=∠FOM+∠EOM∴∠EOM=∠FON∴△OEM≌△OFN(ASA)∴EM=NF∴CM+CN=CE+CF=10,∴OE=5∴☉O的面积为25π.3.S1+S3=S2+S4解析:如图,设切点分别为E,F,G,H,连接OE,OF,OG,OH由切线性质可知,OE ⊥AD ,OF ⊥CD ,OG ⊥BC ,OH ⊥AB ,设OE =OF =OG =OH =r DE =DF =a ,AE =AH =b ,BH =BG =c ,CG =CF =d 则S 1=12r (a +b ),S 2=12r (b +c ),S 3=12r (c +d ),S 4=12r (a +d ) ∴S 1+S 3=12r (a +b )+12r (c +d )=12r (a +b +c +d )S 2+S 4=12r (b +c )+12r (a +d )=12r (a +b +c +d )∴S 1+S 3=S 2+S 4.4.解:(1)证明:∵PA ,PB 分别与☉O 相切于点A ,B ∴PA =PB ∵∠P =60°∴△PAB 是等边三角形. (2)∵△PAB 是等边三角形 ∴PB =AB =2 cm,∠PBA =60°. ∵BC 是直径,PB 是☉O 的切线 ∴∠CAB =90°,∠PBC =90° ∴∠ABC =30° ∴tan ∠ABC =AC AB=√33∴AC =2×√33=2√33(cm) 故AC 的长为2√33cm .5.解:(1)∵AB 为☉O 的直径,∠DAB =∠ABC =90° ∴DA ,CB 都是☉O 的切线. ∵CD 与☉O 相切于点E ∴DE =DA =2,CE =CB =6 ∴CD =DE +CE =8. (2)∵∠ABC =90°,EF ⊥AB ∴EG ∥BC ∴△DEG ∽△DCB∴EGCB =EDCD,即EG6=28解得EG=32.(3)如图,过点D作DH⊥BC于点H则四边形DABH为矩形∴BH=AD=2∴CH=BC-BH=4∴DH=√CD2-CH2=4√3∴AB=DH=4√3.∵∠DAB=∠ABC=90°,EF⊥AB∴AD∥EG∥BC∴BFAB =CECD,即4√3=68解得BF=3√3.6.解:(1)证明:如图,连接OP.∵PA,PC分别与☉O相切于点A,C ∴PA=PC,OC⊥PC,OA⊥PA.∵OA=OC,OP=OP∴△OPA≌△OPC(SSS)∴∠AOP=∠POC.∵QP⊥PA,∴QP∥BA∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO ∴OQ=PQ.(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B.∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC ∴QC=QD=6.∵QO=QP∴OC=DP=r.∵PC是☉O的切线∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°.在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2∴(6+r)2=(2r)2+62∴r=4或r=0(舍去)∴OP=√42+82=4√5.∵OB=PD,OB∥PD∴四边形OBDP是平行四边形∴BD=OP=4√5.。
人教版-数学-九年级上册-新版数学九上 切线长定理 配套练习
第5题切线长定理配套练习 姓名一、选择题：1．如图l ，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是 ⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC 度数是（ ）A ．70°B ．40°C ．50°D ．20°2．已知圆的半径为6，圆心到圆外一点的距离为10，则该点到圆的切线长为（ ）A ．7B ． 8C ．9D ．103．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．三角形的内心是三角形三条高的交点B ．三角形的内心是三角形三条边垂直平分线的交点C ．三角形的内心到三角形三边的距离相等D ．三角形的内心是三角形各个顶点的距离相等4．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别 相切于点D 、E 、F ，且AB=3cm ，BC=4cm ，CA=5cm ， 求AF 、BD 、CE 的长分别为（ ）A 、1，3，4B 、1，2，3C 、2，3，二、填空题：5．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，∠P=60°，OP=4，则⊙O 的半径=_________．6．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD 的中位线EF=15cm ，那么等腰梯形ABCD 的周长=___________．7．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=90°，OP=4，则⊙O 的半径=_________．8．如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点O 是 △ABC 的内心，则∠BOC 的度数为 。
A第1题APO .B第6题第7题FEDBC三、解答题：9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，求△ABC的三个内角的度数.的度数.11．△ABC的内切圆⊙O与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AE、BF和CD的长.12．如图，△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.。
2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步练习第06讲切线长定理与弦切角定理(原卷版)
第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。
2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。
3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。
知识点01 切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA 与PB的长度是切线长。
2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。
圆心和这一点的连线两条切线的夹角。
即P A PB，∠APO∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒AM⌒AM⌒⇒AB OP。
题型考点：①切线长定理的应用。
【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02 三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。
三角形叫做圆的。
2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。
所以圆心到三角形三边的距离相等。
初三下册数学切线长定理练习题
初三下册数学切线长定理练习题在初三数学的学习中，我们接触到了很多有趣的定理和概念。
其中，切线长定理是一个非常重要且实用的定理。
它告诉我们如何计算切线的长度，并在解决几何问题时起到关键作用。
本文将通过几个练习题来帮助大家巩固切线长定理的应用。
练习题一：已知圆O的半径为r，点A和B是圆上的两个不重合点，线段AB与圆的切线交于点C。
如果AB的长度为d，求线段AC的长度。
解答一：根据切线长定理，线段AC的长度等于点C到圆心O的距离。
因此，我们可以得到以下等式：AC = √(AO² - OC²)其中，AO的长度就是圆的半径r，OC的长度可以通过勾股定理计算。
由于OC垂直于AC，且OB为半径，那么三角形BOC就是一个直角三角形。
根据勾股定理得到：OC² = OB² - BC²将OB的长度代入，即OC² = r² - (d/2)²。
将OC的长度代入前面的等式，即可求得线段AC的长度。
练习题二：在一个圆内，有一条长为l的弦，且与一条半径的夹角为θ。
求切线的长。
解答二：设弦的中点为M，圆的半径为r。
根据切线长定理，我们需要求出切点A到圆心O的距离，即OA的长度。
由于AO是半径，所以OA 的长度为r。
又因为三角形OAM是一个直角三角形，我们可以利用正弦函数得到AM的长度：AM = r * sin(θ/2)由于切线的长度等于切点到圆心的距离，所以切线的长为AM的两倍，即2 * r * sin(θ/2)。
练习题三：已知直径AB的长度为6cm，圆的半径为r。
线段CD为半径AE的垂直平分线，且CD与AB相交于点F。
若CF的长度为4cm，求切线的长。
解答三：首先计算半径AE的长度。
由于CD为半径AE的垂直平分线，所以AE等于AF。
根据勾股定理得到：AE² = AF² + CF²代入已知数据，即得AE² = 3² + 4² = 25。
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九年级切线长定理练习题
一、选择题
1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
2．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18
4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，
则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4题图5题图6题图
5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )
A．21 B．20 C．19 D．18
二、填空题
6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，
则∠A的度为________．
6题图7题图8题图
7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．
三、解答题
9. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
10. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦
AB的长．
11.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
12．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的
长．
13．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC
的面积S．
14.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相
切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
15．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
四、体验中考
16.（2011年安徽）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆
圆心，则∠AIB的度数是（）
A．120°B．125°C．135°D．150°
17.（2011年绵阳）一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半
径为25 cm，∠MPN = 60︒，则OP =( )
A．50 cm B．253cm C．
3
3
50
cm D．503cm
18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC中，5cm
AB AC
==，cos B
3
5
=．如果⊙O
，
且经过点B、C，那么线段AO=cm．
17题图18题图19题图
19. （2011年湖南怀化）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且
∠AEB，则=
60
=
∠P_____度．。