概率统计习题课1

cos x a ≤ x ≤ b f ( x) = else 0
则区间[a,b]应当选择( 则区间[a,b]应当选择( [a,b]应当选择 ). ).
( A) [0, ] 2 (C ) [0, π ]
π
( B) [ , π ] 2 3 7 ( D) [ π , π ] 2 4
π
是要找积 分为1 分为1的 区间啊? 区间啊?
(1 P( A) ) P( B) = P( A ∪ B) P( A)
P ( A ∪ B ) P ( A) 1 P( B) = = 1 P ( A) 3
练习1 B<A,则下列各式正确的 练习1:设A,B是两个事件,并且 B<A,则下列各式正确的 是两个事件, 是 .
( A) P ( A ∪ B) = P( A) (C ) P ( B | A) = P( B )
(1)事件A与B互不相容. (1)事件A 互不相容. 事件 (2)事件A (2)事件A与B不独立. 事件 不独立.
P( A | B) + P( A | B ) = 1
P ( AB ) P( AB ) P( AB ) = = P( B) P( B ) 1 P( B)
P ( A | B) + 1 P ( A | B ) = 1 P ( AB) = ( P ( AB) + P( AB ) ) P ( B )
4 C19 4 P( A | B1 ) = 4 = C20 5 4 C18 12 P( A | B1 ) = 4 = C20 19
P( A) = ?
P( B0 | A) = ?
例4:常数b为何值时下式是一个概率分布? 常数b为何值时下式是一个概率分布?
b pk = , k = 1, 2,...... k (k + 1)
1 = P( A2 | B1 ) + P ( A2 | B2 ) + P ( A2 | B3 ) 3 1 7 8 20 61 = + + = 3 10 15 25 90 P ( A1 A2 ) = P ( A1 A2 | B1 ) P( B1 ) + P ( A1 A2 | B2 ) P ( B2 ) + P ( A1 A2 | B3 ) P( B3 )还真的是
π 2
∞
+∫
π
2
π 2
+ ∫π
∞
2
π
2 2
π
1 2
cos tdt = 1
从而所求分布函数为: 从而所求分布函数为:
大卫: 大卫:思索者
0 x < π 2 1 F ( x) = 2 (sin x + 1) π ≤ x < π 2 2 1 x≥π 2
P( A | B) = P( A | B )
P ( AB) = P( A) P( B)
练习2 P(A)>0,P(B)>0,则 练习2:设A,B是两个互斥事件并且 P(A)>0,P(B)>0,则 下列各式正确的是 .
ຫໍສະໝຸດ Baidu
( A) P ( B | A) > 0 (C ) P ( A | B) = 0
( B) P ( A | B) = P( A) ( D) P ( AB) = P( B ) P ( A)
x≥0 x<0
0 1 3 ( B) F ( x) = 1 2 1
x<0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 x≥2
1 e x ( D) F ( x) = 0 x≥0 x<0
例6:设随机变量X的概率密度函数为: 设随机变量X的概率密度函数为:
π A cos x | x |≤ f ( x) = 2 0 else
例9 设有80台同类型的设备,各台设备是相互独立的,发生故 设有80台同类型的设备,各台设备是相互独立的, 80台同类型的设备 障的概率都是0.01 且一台设备故障只需一个人处理. 0.01, 障的概率都是0.01,且一台设备故障只需一个人处理. 考虑二种配备维修工人的方法,其一是由4人维护, 考虑二种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人负 20台 其二是由3人共同维护80 80台 责20台;其二是由3人共同维护80台. 试比较两方法在设备发生故障时不能得到及时维护的概率 大小. 大小. 解:第一种方法: 第一种方法: 20台中同时发生故障的台数 台中同时发生故障的台数" 设 X1="第1人20台中同时发生故障的台数", 第 20台中发生故障不能得到及时维修 Ai="第i人维护的20台中发生故障不能得到及时维修" 第 人维护的20台中发生故障不能得到及时维修" 则由题意
解:
∞ ∞
概率分布有 什么性质? 什么性质?
∞ b 1 ∞ pk = ∑ 1 1 = b∑ ∑ = b∑ k =1 k =1 k ( k + 1) k =1 k ( k + 1) k +1 k =1 k
1 1 1 1 1 1 1 = b =1 = b 1 + + + + ...... 2 2 3 3 4 4 5
B1 B3
B2
1 P ( B1 ) = P( B2 ) = P( B3 ) = 3
(1)求先抽到的一份是女生表的概率. (1)求先抽到的一份是女生表的概率. 求先抽到的一份是女生表的概率
P ( A1 ) = P ( A1 | B1 ) P( B1 ) + P ( A1 | B2 ) P ( B2 ) + P ( A1 | B3 ) P( B3 ) 1 = [ P( A1 | B1 ) + P ( A1 | B2 ) + P ( A1 | B3 ) ] 3 1 3 7 5 = + + 3 10 15 25
29 = 90
(2)已知后抽到的一份是男生表, (2)已知后抽到的一份是男生表, 已知后抽到的一份是男生表 求先抽到的一份是女生表的概率. 求先抽到的一份是女生表的概率. 是不是还 用全概率 公式? 公式?
P ( A1 A2 ) P ( A1 | A2 ) = P ( A2 )
P ( A2 ) = P ( A2 | B1 ) P( B1 ) + P( A2 | B2 ) P ( B2 ) + P ( A2 | B3 ) P ( B3 )
A4 ) ≥ P ( A1 ) = 0.0169
第二种方法: 第二种方法: 80台中同一时刻发生故障的台数 台中同一时刻发生故障的台数" 设 Y="80台中同一时刻发生故障的台数" 0,1,2,3,4,……,80 =0,1,2,3,4, ,80
X 1 ~ b ( 80, 0.01) .
P{Y ≥ 4} = 1 P{ X ≤ 3}
t 2 Xt +
π2
64
=0
(1)参数A (1)参数A; 参数
∫
∞
∞
f ( x)dx = ∫ π A cos xdx = A sin x | 2 π = 2 A
2
π
π
2
2
1 A= 2
(2)分布函数F(x); (2)分布函数F(x); 分布函数F(x)
F ( x) = ∫
π
x
∞
f ( x)dx
x ∞
大卫: 大卫:思索者
(1)if x < 2 , F ( x) = ∫ 0dx = 0 (2)if 2 ≤ x < 2 , F ( x) = ∫
π π
π 2 ∞
+∫
x
π 2
=∫
x
π 2
1 2
1 cos tdt = ( sin x + 1) 2
(2)if
π
2
≤ x, F ( x ) = ∫
=∫
( B) P( AB ) = P ( A) ( D) P ( B A) = P ( B) P ( A)
例2:设事件A,B满足: 设事件A 满足:
0 < P ( A), P ( B) < 1, P( A | B ) + P ( A | B ) = 1
则成立 ( ). ). (2)事件A与B互相对立. (2)事件A 互相对立. 事件 (4)事件A (4)事件A与B互相独立. 事件 互相独立.
求(1)参数A; (1)参数A 参数 (2)分布函数F(x); (2)分布函数F(x); 分布函数F(x) (3)落入区间[0,π/4]的概率. (3)落入区间[0,π/4]的概率. 落入区间[0, 的概率 (4)下面方程有实根的概率. (4)下面方程有实根的概率. 下面方程有实根的概率
大卫: 大卫:思索者
"任取一箱其中正好有 件次品" i=0,1,2, 任取一箱其中正好有i 解:设 Bi="任取一箱其中正好有i件次品",i=0,1,2,再 设A="顾客买下这一箱" A= 顾客买下这一箱" 顾客买下这一箱
P( B0 ) = 0.8, P( B1 ) = 0.1, P( B2 ) = 0.1 P( A | B0 ) = 1
X 1 ~ b ( 20, 0.01) .
P{ X 1 ≥ 2} = 1 P{ X < 2} = 1 P{ X = 0} P{ X = 1} = 0.0169
80台设备不能得到及时维护 P"80台设备不能得到及时维护" 80台设备不能得到及时维护" = P( A ∪ A ∪ A ∪
1 2 3
= 1 P{ X = 0} P{ X = 1} P{ X = 2} P{ X = 3}
= 0.0087
尽管后一种情况每人维护的任务重了,但工作效率大大提高! 尽管后一种情况每人维护的任务重了,但工作效率大大提高! 老板更愿意给他们加钱! 老板更愿意给他们加钱!
例题5 随机变量X的概率密度为: 例题5:随机变量X的概率密度为:
练习4 设随机变量X的分布律为: 练习4:设随机变量X的分布律为:
pk = P{ X = k} = αβ k , k = 1, 2,......, α > 0
则β=( ). ).
1 ( A) β = 1α 1 (C ) β = α +1
( B) β > 0
( D) β = α + 1
概率分布有 什么性质? 什么性质?
例1:设A,B是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 求P(B). P(B).
P( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) P( AB )
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) P( A) P( B)
例3:设有来自三个地区的各10名,15名,25名考生的报 设有来自三个地区的各10名 15名 25名考生的报 10 名表,其中女生的报名表分别为3份,7份,5份.现在随 名表,其中女生的报名表分别为3 机地取一个地区,再从中先后抽出两份报名表. 机地取一个地区,再从中先后抽出两份报名表. (1)求先抽到的一份是女生表的概率. (1)求先抽到的一份是女生表的概率. 求先抽到的一份是女生表的概率 (2)已知后抽到的一份是男生表, (2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生 已知后抽到的一份是男生表 表的概率. 表的概率. 解:设 Bi="任取一个报名表它 任取一个报名表它 是第i区的" 是第i区的",i=1,2,3 又设 Aj="第j次取到女生表", 第 次取到女生表" j=1,2
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ cos xdx = sin b sin a
a
b
练习5 下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数? 练习5:下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数?( )
0 x < 0 2 x ( A) F ( x) = 0 ≤ x <1 2 1 x ≥ 1
ln(1 + x) (C ) F ( x) = 1 + x 0
1 3 7 7 8 5 20 = × + × + × 3 10 9 15 14 25 24
用全概率 公式! 公式!
2 = 9
2 P ( A1 A2 ) 9 = 20 P ( A1 | A2 ) = = 61 P ( A2 ) 61 90
还真的是 用全概率 公式! 公式!
练习3 玻璃杯成箱出售,每箱20只 各箱中有0,1, 练习3:玻璃杯成箱出售,每箱20只,各箱中有0,1,2只 20 0,1 残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.售货员随意取一箱 残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1. 0.8 卖给一顾客,该随机取出四只检查,若无次品则买下, 卖给一顾客,该随机取出四只检查,若无次品则买下,否 则退回. 则退回. (1) 顾客买下该箱的概率. 顾客买下该箱的概率. (2)顾客买下的那箱中确实没有次品的概率. (2)顾客买下的那箱中确实没有次品的概率. 顾客买下的那箱中确实没有次品的概率 是用全概 率公式? 率公式?