最优二叉查找树(动态规划)
最优二叉搜索树
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define max 9999void OptimalBST(int,float*,float**,int**);void OptimalBSTPrint(int,int,int**);void main(){int i,num;FILE *point;//所有数据均从2.txt中获取，2.txt中第一个数据表示节点个数；从第二个数据开始表示各个节点的概率point=fopen("2.txt","r");if(point==NULL){printf("cannot open 2.txt.\n");exit(-1);}fscanf(point,"%d",&num);printf("%d\n",num);float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));for(i=1;i<num+1;i++)fscanf(point,"%f",&p[i]);//创建主表；float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));for(i=0;i<num+2;i++)c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));//创建根表；int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));for(i=0;i<num+2;i++)r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));//动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。
OptimalBST(num,p,c,r);printf("该最优二叉查找树的期望代价为：%f \n",c[1][num]);//给出最优二叉查找树的中序遍历结果；printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为：");OptimalBSTPrint(1,4,r);}void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r){int d,i,j,k,s,kmin;float temp,sum;for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化{c[i][i-1]=0;c[i][i]=p[i];r[i][i]=i;}c[num+1][num]=0;for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列{for(i=1;i<=num-d;i++){j=i+d;temp=max;for(k=i;k<=j;k++)//找最优根{if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp){temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];kmin=k;}}r[i][j]=kmin;//记录最优根sum=p[i];for(s=i+1;s<=j;s++)sum+=p[s];c[i][j]=temp+sum;}}}//采用递归方式实现最优根的输出，最优根都是保存在r[i][j]中的。
二叉查找树
二叉查找树（BST，Binary Search Tree），又名二叉搜索树或二叉检索树，是一颗满足如下条件的树：1、每个节点包含一个键值2、每个节点有最多两个孩子3、对于任意两个节点x和y，它们满足下述搜索性质:a、如果y在x的左子树里，则key[y] <= key[x]b、如果y在x的右子树里，则key[y] >= key[x]最优二叉查找树（Optimal BST，Optimal Binary Search Tree）最优二叉查找树是使查找各节点平均代价最低的二叉查找树。
具体来说就是：给定键值序列K = <k1, k2, . . . , kn>，k1 < k2 <.. <kn，其中键值ki,被查找的概率为pi，要求以这些键值构建一颗二叉查找树T，使得查找的期望代价最低（查找代价为检查的节点数）。
下面是对于查找期望代价的解释：对于键值ki, 如果其在构造的二叉查找树里的深度（离开树根的分支数）为depthT(ki)，则搜索该键值的代价= depthT(ki) +1（需要加上深度为0的树根节点）。
由于每个键值被查找的概率分别为pi，i=1,2,3…,n。
所以查找期望代价为：E[T的查找代价] = ∑i=1~n(depthT(ki) +1)*pi时间复杂度1、穷举穷举构造最优二叉查找树，其实就是这样的一个问题：给一个拥有n个数的已排序的节点，可以将其构造成多少种不同的BST（用来找到一个最优的二叉查找树）？设可以构造成T(n)个，那么枚举每一个元素作为根节点的情况，当第一个元素作为根节点时，其余n-1个构成右子树，无左子树，是n-1情况时的子问题，共T(n-1)种；当第二个元素作为根节点时，左子树有1个元素，右子树有n-2个元素，根据乘法原理共有T(1)T(n-2)种情况……依此类推得到：T(n)= (0)T(n-1)+T(1)T(n-2)+T(2)T(n-3)+ ......+T(n-2)T(1)+T(n-1)T(0)；此外，有T(0)=T(1)=1。
动态规划-最优二叉搜索树
动态规划-最优⼆叉搜索树摘要： 本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。
主要内容包括⼆叉查找树的性质，如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值，如何找出某⼀个元素的前驱和后继，如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。
在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐，⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn)，从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。
1、⼆叉查找树 ⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的，因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。
⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是：设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。
如果y是x的左⼦树中的⼀个结点，则key[y]≤key[x]。
如果y是x的右⼦树中的⼀个结点，则key[x]≤key[y]。
根据⼆叉查找树的特征可知，采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树，可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。
介绍了⼆叉树概念及其遍历。
⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰：书中给出了⼀个定理：如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根，则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。
问题：⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别？能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？2、查询⼆叉查找树 ⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进⾏了详细的讲解。
（1）查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似，根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较，如果k⼤⽐根的关键字⼤，则在根的右⼦树中查找，否则在根的左⼦树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为⽌。
例如下图所⽰的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右⼦树中做出选择，减少⼀半的⼯作量）书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码：1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x（2）查找最⼤关键字和最⼩关键字 根据⼆叉查找树的特征，很容易查找出最⼤和最⼩关键字。
最优二叉搜索树问题经典练习题分类汇编
最优二叉搜索树问题经典练习题分类汇编
问题概述
最优二叉搜索树问题是一种经典的算法问题，涉及确定一个有序数列中的某些元素构成的二叉搜索树，使得其查找效率最高。
本文档旨在为您提供一些经典的练题分类汇编，帮助您更好地理解和解决最优二叉搜索树问题。
分类汇编
基础题目
1.问题描述：给定一组有序数列和每个元素的查找成功概率，求构建一棵二叉搜索树的最均查找时间。
2.相关算法：动态规划算法、递归算法。
进阶题目
1.问题描述：给定一组连续有序的数列和每个元素的权重，求构建一棵二叉搜索树的最均查找时间。
2.相关算法：动态规划算法、递归算法。
其他应用题目
1.问题描述：给定一组非有序的元素和其出现的频率，求构建一棵二叉搜索树的最均查找时间。
2.相关算法：动态规划算法、递归算法。
结论
最优二叉搜索树问题是一个重要且常见的算法问题，通过运用动态规划和递归算法，我们可以求解最优二叉搜索树的构建。
本文档提供了一些经典的练题分类汇编，希望能帮助您更好地掌握这个问题，并应用于实际场景中。
『算法设计_伪代码』动态规划问题
『算法设计_伪代码』动态规划问题这⼀部分伪代码太长，所以只讲解解题⼿段
核⼼思想是将复杂问题化解为两个简单⼀点的问题，递归处理。
零、⼏个概念
最优⼦结构
⼀个问题的最优解包含其⼦问题的最优解
证明：反证法，a=b+c中a的最优解如果不是b和c的最优解，则b和c的最优解和将优于a的最优解，⽭盾，的证。
重叠⼦问题
解决问题的递归算法中会重复求解相同的⼦问题
解法：对每个⼦问题的第⼀次求解存⼊表中，再次求解时直接查询即可。
⼀、割绳⼦问题
r：表⽰最⼤价值
s：表⽰此时分割位置，如i=8时的2表⽰绳⼦分为2、6两段，2、6对应i=2和i=6的r
⼆、矩阵链乘问题
右表记录k值
pi表⽰Ai的第⼆维，pi-1表⽰Ai的第⼀维
三、最长公共⼦序列 (LCS)
问题描述
并不是通常意义上的公共⼦序列（和常见的算法题中的不⼀样），定义如下，
解法⽰意
1. xi=yi时直接将当前的左上格⼦数+1作为本格，箭头指向左上；
2. xi!=yi时⽐较上⽅格⼦和左⾯格⼦：
1. 上⽅不⼩于右侧，箭头指上，copy上⽅格⼦
2. 否则箭头指右，copy右侧格⼦
格⼦图⽣成先补0，然后由上到⼩⼀⾏⼀⾏的填充，⽽结果读取是从右下到左上的⽅向：
四、最优⼆叉查找树问题描述
解法⽰意
W为概率矩阵，e为消耗期望矩阵
先填W，后填e，注意表格⾏1:6,列0:5，root记录对应e位置的r的值。
重建时看root，[1,5]位置为2，表⽰2为根，分解为k1，{k3，k4，k5}，再看[3,5]为5，右⼦树5为根……。
算法设计与分析复习题目及答案 (3)
分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。
9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。
34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。
实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。
17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。
29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。
不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。
动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。
下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。
（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。
矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。
实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。
贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。
回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。
剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。
分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。
分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
《计算机算法设计与分析》课程设计
《计算机算法设计与分析》课程设计用分治法解决快速排序问题及用动态规划法解决最优二叉搜索树问题及用回溯法解决图的着色问题一、课程设计目的：《计算机算法设计与分析》这门课程是一门实践性非常强的课程，要求我们能够将所学的算法应用到实际中，灵活解决实际问题。
通过这次课程设计，能够培养我们独立思考、综合分析与动手的能力，并能加深对课堂所学理论和概念的理解，可以训练我们算法设计的思维和培养算法的分析能力。
二、课程设计内容：1、分治法：（2）快速排序；2、动态规划：（4）最优二叉搜索树；3、回溯法：（2）图的着色。
三、概要设计：分治法—快速排序：分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。
递归地解这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
分治法的条件：（1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；（2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；（3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；（4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
抽象的讲，分治法有两个重要步骤：（1）将问题拆开；（2）将答案合并；动态规划—最优二叉搜索树：动态规划的基本思想是将问题分解为若干个小问题，解子问题，然后从子问题得到原问题的解。
设计动态规划法的步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；（2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；（3）以自底向上的方式计算出最优值；（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
●回溯法—图的着色回溯法的基本思想是确定了解空间的组织结构后，回溯法就是从开始节点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始节点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的或节点，并成为当前扩展结点。
(完整版)算法设计与分析考试题及答案,推荐文档
____________________________________。 4.若序列 X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列
X 和 Y 的一个最长公共子序列_____________________________。 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至
和
之分。
5、 f(n)= 6×2n+n2，f(n)的渐进性态 f(n)= O(
)
6、 贪心算法总是做出在当前看来
的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考
虑，它所做出的选择只是在某种意义上的
。
7、 许多可以用贪心算法求解的问题一般具有 2 个重要的性质：
性质和
性质。
二、简答题（本题 25 分，每小题 5 分）
五、算法理解题（本题 5 分） 设有 n=2k 个运动员要进行循环赛，
现设计一个满足以下要求的比赛日程表：
①每个选手必须与其他 n-1 名选手比赛各一次； ②每个选手一天至多只能赛一次；
③循环赛要在最短时间内完成。
我去（人1）如也果 就n=2k有，循人环赛！最少为需要U进R行扼几天腕； 入站内信不存在向你偶同意调剖沙 （2）当 n=23=8 时，请画出循环赛日程表。
六、算法设计题（本题 15 分） 分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计 0-1 背包问题。要求：说明所使用的算法
策略；写出算法实现的主要步骤；分析算法的时间。 七、算法设计题（本题 10 分）
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 通过键盘输入一个高精度的正整数 n(n 的有效位数≤240)，去掉其中任意 s 个数字后， 剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的 n 和 s，寻找一种方案， 使得剩下的数字组成的新数最小。 【样例输入】 178543 S=4 【样例输出】 13
算法设计与分析复习题目及答案
分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。
9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。
34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。
实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。
17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。
29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。
不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。
动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。
下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。
（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。
矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。
实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。
贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。
回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。
剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。
分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。
分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
算法设计与分析考试题及答案
1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。
2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法好坏的标准是______________________。
3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是____________________________________。
4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y的一个最长公共子序列_____________________________。
5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。
6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。
7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。
8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。
9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。
10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。
二、综合题（50分）1.写出设计动态规划算法的主要步骤。
2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。
3.若n=4，在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为a i和b i，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4个作业的最优调度方案，并计算最优值。
4.使用回溯法解0/1背包问题：n=3，C=9，V={6,10,3}，W={3,4,4},其解空间有长度为3的0-1向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发，左1右0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。
最优二叉搜索树
8
2 最优二叉搜索树
xal
wan wil wen wim wul xem yo xul yu m
zol zom
yon
zi
A
A代表其值处于 代表其值处于wim和wul之间的可能关键码集合 代表其值处于 和 之间的可能关键码集合
9
2 最优二叉搜索树
在二叉搜索树中搜索一个元素x 在二叉搜索树中搜索一个元素
1 2 3 2 (c) (d) (a) (b) (e) 1 3 1 2 1 3 2 1 2 3
• 设每个内、外结点检索的概率相同：pi=qi=1/7， 设每个内、外结点检索的概率相同： ， 求每棵树的平均比较次数（成本）。 求每棵树的平均比较次数（成本）。 • 若P1=0.5, P2=0.1, P3=0.05, q0=0.15, q1=0.1, q2=0.05, q3=0.05，求每棵树的平均比较 ， 次数（成本）。 次数（成本）。 13
2 最优二叉搜索树
在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层， 在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层， • 对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加 。 对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加1。 • 对于不成功的检索，被检索的关键码属于那个外部结 对于不成功的检索， 点代表的可能关键码集合， 点代表的可能关键码集合，比较次数就等于此外部结 点的层数。 点的层数。
6
2 最优二叉搜索树
2、最优二叉搜索树 、
存在的两个问题 1 在实际中也会遇到不成功检索的情况。 在实际中也会遇到不成功检索的情况。 不成功检索的情况 2 在实际中，不同标识符会有不同的检索概率。 在实际中，不同标识符会有不同的检索概率。 不同的检索概率 • 对给定的标识符集合，希望给出构造二分搜索 对给定的标识符集合， 树的方法，使得所构造的二分搜索树具有最优 树的方法，使得所构造的二分搜索树具有最优 的性能。 的性能。
算法设计与分析考试题目及答案
算法设计与分析考试题目及答案Revised at 16:25 am on June 10, 2021I hope tomorrow will definitely be better算法分析与设计期末复习题一、 选择题1.应用Johnson 法则的流水作业调度采用的算法是DA. 贪心算法B. 分支限界法C.分治法D. 动态规划算法塔问题如下图所示;现要求将塔座A 上的的所有圆盘移到塔座B 上,并仍按同样顺序叠置;移动圆盘时遵守Hanoi 塔问题的移动规则;由此设计出解Hanoi 塔问题的递归算法正确的为：B3. 动态规划算法的基本要素为C A. 最优子结构性质与贪心选择性质 B ．重叠子问题性质与贪心选择性质 C ．最优子结构性质与重叠子问题性质 D. 预排序与递归调用4. 算法分析中,记号O 表示B , 记号Ω表示A , 记号Θ表示D ; A.渐进下界 B.渐进上界 C.非紧上界 D.紧渐进界 E.非紧下界5. 以下关于渐进记号的性质是正确的有：A A.f (n)(g(n)),g(n)(h(n))f (n)(h(n))=Θ=Θ⇒=Θ B. f (n)O(g(n)),g(n)O(h(n))h(n)O(f (n))==⇒= C. Ofn+Ogn = Omin{fn,gn} D. f (n)O(g(n))g(n)O(f (n))=⇔=Hanoi 塔A. void hanoiint n, int A, int C, int B { if n > 0 {hanoin-1,A,C, B; moven,a,b;hanoin-1, C, B, A; } B. void hanoiint n, int A, int B, int C { if n > 0 {hanoin-1, A, C, B; moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; }C. void hanoiint n, int C, int B, int A { if n > 0 { hanoin-1, A, C, B; moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; }D. void hanoiint n, int C, int A, int B { if n > 0 {hanoin-1, A, C, B; moven,a,b;hanoin-1, C, B, A; }6.能采用贪心算法求最优解的问题,一般具有的重要性质为：AA. 最优子结构性质与贪心选择性质B．重叠子问题性质与贪心选择性质C．最优子结构性质与重叠子问题性质D. 预排序与递归调用7. 回溯法在问题的解空间树中,按D策略,从根结点出发搜索解空间树;广度优先 B. 活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先8. 分支限界法在问题的解空间树中,按A策略,从根结点出发搜索解空间树;A．广度优先 B. 活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先9. 程序块A是回溯法中遍历排列树的算法框架程序;A.B.C.D.10.xk的个数;11. 常见的两种分支限界法为DA. 广度优先分支限界法与深度优先分支限界法；B. 队列式FIFO分支限界法与堆栈式分支限界法；C. 排列树法与子集树法；D. 队列式FIFO分支限界法与优先队列式分支限界法；12. k带图灵机的空间复杂性Sn是指BA.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在某条带上所使用过的最大方格数;B.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在k条带上所使用过的方格数的总和;C.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在k条带上所使用过的平均方格数;D.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在某条带上所使用过的最小方格数;13. N P类语言在图灵机下的定义为DA.NP={L|L是一个能在非多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}；B.NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}；C.NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台DTM所接受的语言}；D.NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}；14. 记号O的定义正确的是A;A.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ fn ≤cgn }；B.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ cgn ≤fn }；>0使得对所有n≥n0C.Ogn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n有：0 ≤fn<cgn }；>0使得对所有n≥n0D.Ogn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n有：0 ≤cgn < fn }；15. 记号Ω的定义正确的是B;A.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ fn ≤cgn }；B.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ cgn ≤fn }；>0使得对所有n≥n0有：C.gn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n0 ≤fn<cgn }；D.gn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n0 >0使得对所有n≥n0有：0 ≤cgn < fn }；二、 填空题1. 下面程序段的所需要的计算时间为 2O(n ) ;2.3.4. 5.6. 用回溯法解题的一个显着特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间;在任何时刻,算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径;如果解空间树 中从根结点到叶结点的最长路径的长度为hn,则回溯法所需的计算空间通常为Ohn ;7. 回溯法的算法框架按照问题的解空间一般分为子集树算法框架与排列树算法框架;8. 用回溯法解0/1背包问题时,该问题的解空间结构为子集树结构; 9.用回溯法解批处理作业调度问题时,该问题的解空间结构为排列树结构; 10.用回溯法解0/1背包问题时,计算结点的上界的函数如下所示,请在空格中填入合适的内容：11. n m12. 用回溯法解图的m着色问题时,使用下面的函数OK检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色的可用性,则需耗时渐进时间上限Omn;13.;设分分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用fn个单位时间;用Tn表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有：(1)1 ()(/)()1O nT nkT n m f n n=⎧=⎨+>⎩通过迭代法求得Tn的显式表达式为：log1log()(/)nmk j jmjT n n k f n m-==+∑试证明Tn的显式表达式的正确性;2. 举反例证明0/1背包问题若使用的算法是按照p i/w i的非递减次序考虑选择的物品,即只要正在被考虑的物品装得进就装入背包,则此方法不一定能得到最优解此题说明0/1背包问题与背包问题的不同;证明：举例如：p={7,4,4},w={3,2,2},c=4时,由于7/3最大,若按题目要求的方法,只能取第一个,收益是7;而此实例的最大的收益应该是8,取第2,3 个;3. 求证：Ofn+Ogn = Omax{fn,gn} ;证明：对于任意f1n∈ Ofn ,存在正常数c1和自然数n1,使得对所有n≥n1,有f1n≤ c1fn ;类似地,对于任意g1n ∈ Ogn ,存在正常数c2和自然数n2,使得对所有n≥n2,有g1n ≤c2gn ;令c3=max{c1, c2}, n3 =max{n1, n2},hn= max{fn,gn} ;则对所有的 n ≥ n3,有f1n +g1n ≤ c1fn + c2gn≤c3fn + c3gn= c3fn + gn≤ c32 max{fn,gn} = 2c3hn = Omax{fn,gn} .4. 求证最优装载问题具有贪心选择性质;最优装载问题：有一批集装箱要装上一艘载重量为c 的轮船;其中集装箱i 的重量为Wi;最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下,将尽可能多的集装箱装上轮船; 设集装箱已依其重量从小到大排序,x 1,x 2,…,x n 是最优装载问题的一个最优解;又设1min{|1}i i nk i x ≤≤== ;如果给定的最优装载问题有解,则有1k n ≤≤;证明： 四、 解答题1. 机器调度问题;问题描述：现在有n 件任务和无限多台的机器,任务可以在机器上得到处理;每件任务的开始时间为s i ,完成时间为f i ,s i <f i ;s i ,f i 为处理任务i 的时间范围;两个任务i,j 重叠指两个任务的时间范围区间有重叠,而并非指i,j 的起点或终点重合;例如：区间1,4与区间2,4重叠,而与4,7不重叠;一个可行的任务分配是指在分配中没有两件重叠的任务分配给同一台机器;因此,在可行的分配中每台机器在任何时刻最多只处理一个任务;最优分配是指使用的机器最少的可行分配方案;问题实例：若任务占用的时间范围是{1,4,2,5,4,5,2,6,4,7},则按时完成所有任务最少需要几台机器提示：使用贪心算法画出工作在对应的机器上的分配情况;2. 已知非齐次递归方程：f (n)bf (n 1)g(n)f (0)c =-+⎧⎨=⎩ ,其中,b 、c 是常数,gn 是n 的某一个函数;则fn 的非递归表达式为：nnn i i 1f (n)cb b g(i)-==+∑;现有Hanoi 塔问题的递归方程为：h(n)2h(n 1)1h(1)1=-+⎧⎨=⎩ ,求hn 的非递归表达式;解：利用给出的关系式,此时有：b=2, c=1, gn=1, 从n 递推到1,有： 3. 单源最短路径的求解;问题的描述：给定带权有向图如下图所示G =V,E,其中每条边的权是非负实数;另外,还给定V 中的一个顶点,称为源;现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度;这里路的长度是指路上各边权之和;这个问题通常称为单源最短路径问题;解法：现采用Dijkstra 算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径;请将此过程填入下表中;4. 请写出用回溯法解装载问题的函数; 装载问题：有一批共n 个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船,其中集装箱i 的重量为wi,且121ni i w c c =≤+∑;装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这n 个集装箱装上这2艘轮船;如果有,找出一种装载方案;解：void backtrack int i{用分支限界法解装载问题时,对算法进行了一些改进,下面的程序段给出了改进部分；试说明斜线部分完成什么功能,以及这样做的原因,即采用这样的方式,算法在执行上有什么不同;初始时将;也就是说,重量仅在搜索进入左子树是增加,因此,可以在算法每一次进入左子树时更新bestw 的值;43 2 110030maxint10 - {1} 初始 dist5 dist4 dist3 dist2 u S 迭代7. 最长公共子序列问题：给定2个序列X={x 1,x2,…,xm }和Y={y 1,y2,…,yn },找出X 和Y 的最长公共子序列;由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系;用cij 记录序列Xi 和Yj 的最长公共子序列的长度;其中, Xi={x1,x2,…,xi}；Y j={y1,y2,…,yj};当i=0或j=0时,空序列是Xi 和Yj 的最长公共子序列;故此时Cij=0;其它情况下,由最优子结构性质可建立递归关系如下：00,0[][][1][1]1,0;max{[][1],[1][]},0;i j i ji j c i j c i j i j x y c i j c i j i j x y ⎧==⎪=--+>=⎨⎪-->≠⎩在程序中,bij 记录Cij 的值是由哪一个子问题的解得到的;8.1.2.3.4.5.用回溯法解问题时,应明确定义问题的解空间,问题的解空间至少应包含___________;6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________,先求解___________,然后从这些____________的解得到原问题的解;7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________;背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________;9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________;10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法;二、综合题50分1.写出设计动态规划算法的主要步骤;2.流水作业调度问题的johnson算法的思想;3.若n=4,在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai 和bi,且a 1,a2,a3,a4=4,5,12,10,b1,b2,b3,b4=8,2,15,9求4个作业的最优调度方案,并计算最优值;4.使用回溯法解0/1背包问题：n=3,C=9,V={6,10,3},W={3,4,4},其解空间有长度为3的0-1向量组成,要求用一棵完全二叉树表示其解空间从根出发,左1右0,并画出其解空间树,计算其最优值及最优解;5.设S=｛X1,X2,···,Xn｝是严格递增的有序集,利用二叉树的结点来存储S中的元素,在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素X,返回的结果有两种情形,1在二叉搜索树的内结点中找到X=Xi ,其概率为bi;2在二叉搜索树的叶结点中确定X∈Xi ,Xi+1,其概率为ai;在表示S的二叉搜索树T中,设存储元素Xi的结点深度为C i ；叶结点Xi,Xi+1的结点深度为di,则二叉搜索树T的平均路长p为多少假设二叉搜索树Tij=｛Xi ,Xi+1,···,Xj｝最优值为mij,Wij= ai-1+bi+···+bj+aj,则mij1<=i<=j<=n递归关系表达式为什么6.描述0-1背包问题;三、简答题30分1.流水作业调度中,已知有n个作业,机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai 和bi,请写出流水作业调度问题的johnson法则中对ai和bi的排序算法;函数名可写为sorts,n2.最优二叉搜索树问题的动态规划算法设函数名binarysearchtree答案：一、填空1．确定性有穷性可行性 0个或多个输入一个或多个输出2.时间复杂性空间复杂性时间复杂度高低3. 该问题具有最优子结构性质4.{BABCD}或{CABCD}或{CADCD｝5.一个最优解6.子问题子问题子问题7.回溯法8. on2n omin{nc,2n}9.最优子结构重叠子问题10.动态规划法二、综合题1.①问题具有最优子结构性质；②构造最优值的递归关系表达式；③最优值的算法描述；④构造最优解；2. ①令N1={i|ai<bi},N2={i|ai>=bi}；②将N1中作业按ai的非减序排序得到N1’,将N2中作业按bi的非增序排序得到N2’；③N1’中作业接N2’中作业就构成了满足Johnson法则的最优调度;3.步骤为：N1={1,3},N2={2,4}；N 1’={1,3}, N2’={4,2}；最优值为：384.解空间为{0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,0,1, 1,1,0,1,1,1}; 解空间树为：该问题的最优值为：16 最优解为：1,1,0 5.二叉树T 的平均路长P=∑=+ni 1Ci)(1*bi +∑=nj 0dj *aj{mij=0 i>j6.已知一个背包的容量为C,有n 件物品,物品i 的重量为W i ,价值为V i ,求应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大; 三、简答题 1.void sortflowjope s,int n {int i,k,j,l;fori=1;i<=n-1;i++ag=0 k++; ifk>n break;ag==0ifsk.a>sj.a k=j; swapsi.index,sk.index; swapsi.tag,sk.tag;} }l=i;<sj.b k=j;swapsi.index,sk.index; ag,sk.tag; }mij=Wij+min{mik+mk+1j} 1<=i<=j<=n,mii-1=0}2.void binarysearchtreeint a,int b,int n,int m,int s,int w{int i,j,k,t,l;fori=1;i<=n+1;i++{wii-1=ai-1;mii-1=0;}forl=0;l<=n-1;l++Init-single-sourceG,s2. S=Φ3. Q=VGQ<> Φdo u=minQS=S∪{u}for each vertex 3do 4四、算法理解题本题10分根据优先队列式分支限界法,求下图中从v1点到v9点的单源最短路径,请画出求得最优解的解空间树;要求中间被舍弃的结点用×标记,获得中间解的结点用单圆圈○框起,最优解用双圆圈◎框起;五、算法理解题本题5分设有n=2k个运动员要进行循环赛,现设计一个满足以下要求的比赛日程表：①每个选手必须与其他n-1名选手比赛各一次；②每个选手一天至多只能赛一次；③循环赛要在最短时间内完成;1如果n=2k,循环赛最少需要进行几天；2当n=23=8时,请画出循环赛日程表;六、算法设计题本题15分分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计0-1背包问题;要求：说明所使用的算法策略；写出算法实现的主要步骤；分析算法的时间;七、算法设计题本题10分通过键盘输入一个高精度的正整数nn的有效位数≤240,去掉其中任意s个数字后,剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数;编程对给定的n 和s,寻找一种方案,使得剩下的数字组成的新数最小;样例输入178543S=4样例输出13一、填空题本题15分,每小题1分1．规则一系列运算2. 随机存取机RAMRandom Access Machine；随机存取存储程序机RASPRandom Access Stored Program Machine；图灵机Turing Machine3. 算法效率4. 时间、空间、时间复杂度、空间复杂度5．2n6．最好局部最优选择7. 贪心选择最优子结构二、简答题本题25分,每小题5分1、分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同；对这k个子问题分别求解;如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解;2、“最优化原理”用数学化的语言来描述：假设为了解决某一优化问题,需要依次作出n个决策D1,D2,…,Dn,如若这个决策序列是最优的,对于任何一个整数k,1 < k < n,不论前面k个决策是怎样的,以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态,即以后的决策Dk+1,Dk+2,…,Dn也是最优的;3、某个问题的最优解包含着其子问题的最优解;这种性质称为最优子结构性质;4、回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树上进行深度优先搜索,解为叶子结点;搜索过程中,每到达一个结点时,则判断该结点为根的子树是否含有问题的解,如果可以确定该子树中不含有问题的解,则放弃对该子树的搜索,退回到上层父结点,继续下一步深度优先搜索过程;在回溯法中,并不是先构造出整棵状态空间树,再进行搜索,而是在搜索过程,逐步构造出状态空间树,即边搜索,边构造;5、PPolynomial问题：也即是多项式复杂程度的问题;NP就是Non-deterministicPolynomial的问题,也即是多项式复杂程度的非确定性问题;NPCNP Complete问题,这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之后才能得出答案,这样的问题是NP里面最难的问题,这种问题就是NPC问题;三、算法填空本题20分,每小题5分1、n后问题回溯算法1 Mj&&Li+j&&Ri-j+N2 Mj=Li+j=Ri-j+N=1;3 tryi+1,M,L,R,A4 Aij=05 Mj=Li+j=Ri-j+N=0 2、数塔问题; 1c<=r2trc+=tr+1c 3trc+=tr+1c+1 3、Hanoi 算法 1movea,c2Hanoin-1, a, c , b 3Movea,c 4、1pv=NIL 2pv=u3 v ∈adju 4Relaxu,v,w四、算法理解题本题10分五、18天2分；2当n=23=8时,循环赛日程表3分;六、算法设计题本题15分 1贪心算法 Onlogn ➢ 首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi,然后,依贪心选择策略,将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包;若将这种物品全部装入背包后,背包内的物品总重量未超过C,则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包;依此策略一直地进行下去,直到背包装满为止; ➢ 具体算法可描述如下：void Knapsackint n,float M,float v,float w,float x {Sortn,v,w; int i;for i=1;i<=n;i++ xi=0; float c=M;for i=1;i<=n;i++ {if wi>c break; xi=1; c-=wi; }if i<=n xi=c/wi; }2动态规划法 Oncmi,j 是背包容量为j,可选择物品为i,i+1,…,n 时0-1背包问题的最优值;由0-1背包问题的最优子结构性质,可以建立计算mi,j 的递归式如下;void KnapSackint v,int w,int c,int n,int m11 {int jMax=minwn-1,c;for j=0;j<=jMax;j++ /mn,j=0 0=<j<wn/ mnj=0;1 2 3 4 5 6 7 82 1 43 6 5 8 73 4 1 2 7 8 5 64 3 2 1 8 7 6 55 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 37 8 5 6 3 4 1 28 7 6 5 4 3 2 1for j=wn;j<=c;j++ /mn,j=vn j>=wn/mnj=vn;for i=n-1;i>1;i--{ int jMax=minwi-1,c;for j=0;j<=jMax;j++ /mi,j=mi+1,j 0=<j<wi/mij=mi+1j;for j=wi;j<=c;j++/mn,j=vn j>=wn/mij=maxmi+1j,mi+1j-wi+vi;}m1c=m2c;ifc>=w1m1c=maxm1c,m2c-w1+v1;}3回溯法 O2ncw:当前重量 cp:当前价值 bestp：当前最优值voidbacktrack int i//回溯法 i初值1{ifi>n //到达叶结点{ bestp=cp; return; }ifcw+wi<=c //搜索左子树{cw+=wi;cp+=pi;backtracki+1;cw-=wi;cp-=pi;}ifBoundi+1>bestp//搜索右子树backtracki+1;}七、算法设计题本题10分为了尽可能地逼近目标,我们选取的贪心策略为：每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去,即按高位到低位的顺序搜索,若各位数字递增,则删除最后一个数字,否则删除第一个递减区间的首字符;然后回到串首,按上述规则再删除下一个数字;重复以上过程s次,剩下的数字串便是问题的解了;具体算法如下：输入s, n;while s > 0{ i=1; //从串首开始找while i < lengthn && ni<ni+1{i++;}deleten,i,1; //删除字符串n的第i个字符s--;}while lengthn>1&& n1=‘0’deleten,1,1; //删去串首可能产生的无用零输出n;。
动态规划加速原理之四边形不等式
mk ( i, j ) + m k ′ ( i, j + 1) ≤ mk ( i, j + 1) + mk ′ ( i, j ) ，即： mk ( i, j ) − mk ′ ( i, j ) ≤ mk ( i, j + 1) − m k ′ ( i, j + 1)
通过(1.4)式我们可以发现， (1.4)
由于 m ( i, j ) 满足四边形不等式，因此对于任意的 k ≤ k ′ ≤ j ，有：
m ( k , j ) + m ( k ′, j + 1) ≤ m ( k ′, j ) + m ( k , j + 1)
我们将等式两边同时加上 w ( i, j ) + m ( i, k − 1) + w ( i, j + 1) + m ( i, k ′ − 1) ，就可以得出
综上所述，由数学归纳法可知，函数 m ( i, j ) 也满足四边形不等式。证毕。 我们定义 s ( i, j ) 为函数 m ( i, j ) 对应的决策变量的最大值，即：
m ( i, j ) + m ( i′, j ′ )
s ( i, j ) = max {m ( i, j ) = w ( i, j ) + m ( i, k − 1) + m ( k , j )}
{
}
k ≤ j 。那么，有：
≤ m ( i, k − 1) + w ( i, k − 1) + m ( k + 1, j ′ ) + w ( k + 1, j ′ ) = m ( i, j ′ )
≤ m ( i, k − 1) + w ( i, k − 1) + m ( k + 1, j ) + w ( k + 1, j ) + m ( j , j ′ )
计算机算法试题(含答案)
算法设计与分析试卷一、填空题（20分，每空2分）1、算法的性质包括输入、输出、＿＿＿、有限性。
2、动态规划算法的基本思想就将待求问题＿＿＿＿＿、先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3、设计动态规划算法的4个步骤：（1）找出＿＿＿＿，并刻画其结构特征。
（2）＿＿＿＿＿＿＿。
（3）＿＿＿＿＿＿＿。
（4）根据计算最优值得到的信息，＿＿＿＿＿＿＿。
4、流水作业调度问题的johnson算法：（1）令N1=＿＿＿,N2={i|ai>=bj};（2）将N1中作业依ai的＿＿＿。
5、对于流水作业高度问题，必存在一个最优调度π，使得作业π（i）和π（i+1）满足Johnson不等式＿＿＿＿＿。
6、最优二叉搜索树即是＿＿＿的二叉搜索树。
二、综合题（50分）1、当（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为∑ak(2<=k<=4)＿＿＿＿（5分）2、由流水作业调度问题的最优子结构性质可知，T（N，0）=＿＿＿＿＿＿（5分）3、最大子段和问题的简单算法(10分)int maxsum(int n,int *a,int & bestj){intsum=0;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=i;j<=n;j++)int thissum=0;for(int k=i;k<=j;k++)＿＿＿＿＿;if(thissum>sum){sum=thissum;＿＿＿＿＿＿；bestj=j;}}return sum;}4、设计最优二叉搜索树问题的动态规划算法OptimalBinarysearchTree? (15分)Void OptimalBinarysearchTree(int a,int n,int * * m, int * * w) {for(int i=0;i<=n;i++) {w[i+1][i]=a[i]; m[i+1][i]=＿＿＿＿;} for(int r=0;r<n;r++)for(int i=1;i<=n-r;i++){int j=i+r;w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];m[i][j]=＿＿＿＿＿＿;s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<=j;k++){int t=m[i][k-1]+m[k+1][j];if(＿＿＿＿＿) {m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}5、设n=4, (a1,a2,a3,a4)=(3,4,8,10), (b1,b2,b3,b4)=(6,2,9,15) 用两种方法求4个作业的最优调度方案并计算其最优值？（15分）三、简答题（30分）1、将所给定序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有哪三种情形？(10分)答：2、由0——1背包问题的最优子结构性质，可以对m（i,j）建立怎样的递归式? (10分)3、0——1背包求最优值的步骤分为哪几步？（10分）参考答案：填空题：确定性分解成若干个子问题最优解的性质递归地定义最优值以自底向上的方式计算出最优值构造最优解{i|ai<bi} ai的非减序排序；将N2中作业依bi的非增序排序min{bπ(i),aπ(i+1)}≥min{bπ(i+1),aπ(i)}最小平均查找长度综合题：20 min{ai+T(N-{i},bi)}(1=<i<=n) thissum+=a[k] besti=i 0 m[i+1][j] t<m[i][j]法一：min(ai,bj)<=min(aj,bi)因为min(a1,b2)<=min(a2,b1)所以1→2 (先1后2)由min(a1,b3)<=min(a3,b1)得1→3 （先1后3）同理可得：最后为1→3→4→2法二：johnson算法思想N1＝{1，3，4} N2＝{2}N¹1＝{1，3，4} N¹2＝{2}所以 N¹1→N¹2得：1→3→4→2简答题：1 、（1）a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。
3、最优二叉搜索树
像求矩阵相乘的最优序一样，子问 题可以用一个整数对(low,high)来唯一描 述。 子问题(low,high)表示一个检索开销最 小的二叉搜索树。 其存放的键值为： Klow ，…，Khigh ，
Ω( 2 n / 2 )
相应的权重为plow , …，phigh 改概率为权重，是由于plow , …，phigh 的
不要重复递归调用的递归，其实现参见P471。 θ(n3)
二叉搜索树中存有的单词及其使用频度如下： Key Probability(pi) and 0.3 come 0.15 said 0.05 the 0.3 time 0.15 talk 0.05 试构造一个最优二叉搜索树，使平均查找次数 最小。
A (T ) = ∑ p i c i
i =1 n
例 P466-468 ， 计算平均查找次数
在 K1 ，K2 ，…，Kn 中，假设Ki ， 为根结点，则K1，…，Ki-1 必须在左子树 中，而Ki+1 ，…，Kn 在右子树中 但是我们不能确定选择哪一个作为 根结点，才是最优的，所以必须在所有 的选择中间求一个开销A(T)最小的。
程序 P474
课堂作业
二叉搜索树中存有的单词及其使用频度如下： Key Probability(pi) and 0.3 come 0.15 said 0.05 the 0.3 time 0.15 talk 0.05 试构造一个最优二叉搜索树，使平均查找次数 最小。
The complexity of mmTry() T(n)=(n-1)T(n-1)+n θ((n-1)!)
How many subproblems are reachable from the initial problem, which is described by the index sequence 0, …,n ? Although subsequences start out as a few continuous subranges, they get more and more fragmented as the subproblem depth increases.
动态规划模拟题及答案
动态规划测试题一：填空题（每空2分，共20分）1．动态规划算法的步骤是（找出最优解的性质，并刻画其结构特征）、（递归地定义最优值）（以自底向上的方式计算最优值）、（根据计算最优值时得到的信息构造最优解）。
2．为方便起见、将矩阵连乘积A i A i+1……A j简记为（A[i:j] ）。
3．动态规划算法的两个基本要素是（最优子结构性质）和（重叠子问题性质）。
4．矩阵连乘问题的算法可由（递归）设计实现。
5．对于矩阵连乘问题、设计算A[i:j]、1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数为m[i][j],则原则问题的最优值为（m[1][n] ）。
6. 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干（子问题），先求解（子问题），然后从这些（子问题）的解得到原问题的解。
二：综合题（第一题5分其余各题15分，共50分）1.补充下面的最大子段和动态规划算法。
int MaxSum(int n,int *a){int sum=0,b=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(b>0){b+=a[i];besti=1;}else b=a[i];if(b>sum){sum=b;bestj=i;}}return sum;}2. 0—1背包问题：有5种物品，背包的容量为c=10，物品i的重量为wi，其价值为vi:(w1,v1)=(2,6) (w2,v2)=(2,3) (w3,v3)=(6,5) (w4、v4)=(5,4)（w5,v5)=(4,6), 求最优解及最优值。
解∵p[5+1]=｛（0，0）｝又∵（w5,w5）=（4，6）∴q[5+1]=p[5+1]○+（4，6）=｛（4，6）｝则p[5]=m5j-其中的受控点=｛（0，0），（4，6）｝又∵（w4,v4）=(5,4)∴q[5]○+(w4,v4)={(0,0),(4,6)}○+(5,4)={(5,4),(9,10)}∴w4j=p[5]∨q[5]={(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}又∵（w3,v3）=(6,5)∴q[4]=p[4]○+(w3,v3)={(6,5),(10,11)}∴m3j=p[4]∨q[4]={(0,0),(4,6),(6,5),(9,10),(10,11)} 则p[3]=m3j-其中的受控点={(0,0),(4,6),(9,10),(10,11)}又∵（w2,v2）=(2,3)∴q[3]=p[3]○+(w2,v2)={(2,3),(6,9)}∴m2j={(0,0),(2,3),(4,6), (6,9),(9,10),(10,11) } p[2]=m2j-其中的受控点={(0,0),(2,3),(4,6),(6,9),(9,10),(10,11)}又∵(w1,v1)=(2,6)∴q[2]=p[2]○+(w2,v2)={(2,6),(4,9),(6,12),(8,15)}∴m1j={(0,0),92,3},(2,6),(4,6),(4,9),(6,9),(6,12),(8,15),(9,10),(10,11)}∴p[1]=｛（0，0），（2，6），（4，9），（6，12），（8，15）｝∴此0—1问题的最优值15.最优解为p[1]={(0,0),(2,6),(4,9)（6，12），（8，15）｝3.设n=4，（a1,a2,a3,a4)=(3,4,8.10),(b1,b2,b3,b4)=(6,2,9,15),求作业中的一种最优调度方案并计算其最优值。
最优二叉搜索树
最优二叉搜索树一、问题描述给定一个有序序列K={k1<k2<k3<,……,<kn}和他们被查询的概率P={p1,p2,p3,……,pn}，要求构造一棵二叉查找树T，使得查询所有元素的总的代价最小。
二、解题思路最优二叉搜索树问题具有最优子结构性质。
证明:设Tij是有序集{xi,…,xj}关于存取概率分布(ai-1，bi，…，bj，aj)的一棵最优二叉搜索树，平均路长为pij。
Tij的根结点存储元素xk。
其左右子树Tl和Tr的平均路长分别为pl和pr。
由于Tl是关于集合{xi，…，xk-1}的一个二叉搜索树，故pl≥pi,k-1。
如果pl＞pi,k-1,那么用Ti,k-1替换Tl可得到平均路长比Tij更小的二叉搜索树。
这与Tij是最优二叉搜索树相矛盾。
所以，左子树Tl是一棵最优二叉搜索树，同理可证右子树Tr也是一棵最优二叉搜索树，即最优二叉搜索树的子树也是最优二叉搜索树。
建立递归关系式若最优二叉搜索树Ti,j的根结点为k,最小平均路长为pi,j,m[i,j]表示Ti,j的开销，则有m[i,j]=wi,jpi,j，其中<E:\2008学术交流\200学术交流第四卷第八期(2008总第35期)\第1次96篇\1.3软件设计开发\tr01.tif>，可建立下列递归关系：M[i,j]=bk+(m[i,k-1]+wi,k-1)+ (m[k+1,j]+wk+1,j)而 wi,j=bk+wi,k-1+wk+1,j则m[i,j]=wi,j+m[i,k-1]+m[k+1,j]（1）将k=i+1，i+2，…,j分别代入<1>式，选取使m[i,j]达到最小的K，这样递归关系式改为：m[i,j]=wi,j+min{m[i,k-1]+m[k+1,j]}m[i,i-1]=0，1≤i≤n解递归关系，m[1,n]就是所求的最优值。
将对应于m[i,j]的断开位置k 记录在s[i,j]中（也称为根表，记录子树的根），以便构造最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、什么是最优二叉查找树最优二叉查找树：给定n个互异的关键字组成的序列K=<k1,k2,...,kn>，且关键字有序（k1<k2<...<kn），我们想从这些关键字中构造一棵二叉查找树。
对每个关键字ki，一次搜索搜索到的概率为pi。
可能有一些搜索的值不在K 内，因此还有n+1个“虚拟键”d0,d1,...,dn，他们代表不在K内的值。
具体：d0代表所有小于k1的值，dn代表所有大于kn的值。
而对于i = 1,2,...,n-1,虚拟键di代表所有位于ki和ki+1之间的值。
对于每个虚拟键，一次搜索对应于di的概率为qi。
要使得查找一个节点的期望代价（代价可以定义为：比如从根节点到目标节点的路径上节点数目）最小，就需要建立一棵最优二叉查找树。
图一显示了给定上面的概率分布pi、qi，生成的两个二叉查找树的例子。
图二就是在这种情况下一棵最优二叉查找树。
概率分布：i012345p i0.150.100.050.100.20q i0.050.100.050.050.050.10已知每个关键字以及虚拟键被搜索到的概率，可以计算出一个给定二叉查找树内一次搜索的期望代价。
假设一次搜索的实际代价为检查的节点的个数，即所发现的节点的深度加1.计算一次搜索的期望代价等式为：建立一棵二叉查找树，如果是的上式最小，那么这棵二叉查找树就是最优二叉查找树。
而且有下式成立：二、最优二叉查找树的最优子结构最优子结构：如果一棵最优二叉查找树T有一棵包含关键字ki,..,kj的子树T'，那么这可子树T'对于关键字Ki,...,kj和虚拟键di-1,...dj的子问题也必定是最优的。
可以应用剪贴法证明。
根据最优子结构，寻找最优解：给定关键字ki,...,kj，假设kr(i<=r<=j)是包含这些键的一棵最优子树的根。
其左子树包含关键字ki,...,kr-1和虚拟键di-1,...,dr-1，右子树包含关键字kr+1,...,kj和虚拟键dr,...dj。
我们检查所有的候选根kr,就保证可以找到一棵最优二叉查找树。
递归解：定义e[i,j]为包含关键字ki,...,kj的最优二叉查找树的期望代价，最终要计算的是e[1,n]。
当j = i - 1时，此时子树中只有虚拟键，期望搜索代价为e[i,i - 1] = qi-1.当j >= i时，需要从ki,...,kj中选择一个根kr，然后分别构造其左子树和右子树。
下面需要计算以kr为根的树的期望搜索代价。
然后选择导致最小期望搜索代价的kr做根。
现在需要考虑的是，当一棵树成为一个节点的子树时，期望搜索代价怎么变化？子树中每个节点深度都增加1.期望搜索代价增加量为子树中所有概率的总和。
对一棵关键字ki,...,kj的子树，定义其概率总和为：因此，以kr为根的子树的期望搜索代价为：而因此e[i,j]可以进一步写为：这样推导出最终的递归公式为：三、代码实现（C++）：[cpp]view plaincopyprint?1.//最优二叉查找树2.3.#include <iostream>4.ing namespace std;6.7.const int MaxVal = 9999;8.9.const int n = 5;10.//搜索到根节点和虚拟键的概率11.double p[n + 1] = {-1,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2};12.double q[n + 1] = {0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1};13.14.int root[n + 1][n + 1];//记录根节点15.double w[n + 2][n + 2];//子树概率总和16.double e[n + 2][n + 2];//子树期望代价17.18.void optimalBST(double *p,double *q,int n)19.{20.//初始化只包括虚拟键的子树21.for (int i = 1;i <= n + 1;++i)22. {23. w[i][i - 1] = q[i - 1];24. e[i][i - 1] = q[i - 1];25. }26.27.//由下到上，由左到右逐步计算28.for (int len = 1;len <= n;++len)29. {30.for (int i = 1;i <= n - len + 1;++i)31. {32.int j = i + len - 1;33. e[i][j] = MaxVal;34. w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j] + q[j];35.//求取最小代价的子树的根36.for (int k = i;k <= j;++k)37. {38.double temp = e[i][k - 1] + e[k + 1][j] + w[i][j];39.if (temp < e[i][j])40. {41. e[i][j] = temp;42. root[i][j] = k;43. }44. }45. }46. }47.}48.49.//输出最优二叉查找树所有子树的根50.void printRoot()51.{52. cout << "各子树的根：" << endl;53.for (int i = 1;i <= n;++i)54. {55.for (int j = 1;j <= n;++j)56. {57. cout << root[i][j] << " ";58. }59. cout << endl;60. }61. cout << endl;62.}63.64.//打印最优二叉查找树的结构65.//打印出[i,j]子树，它是根r的左子树和右子树66.void printOptimalBST(int i,int j,int r)67.{68.int rootChild = root[i][j];//子树根节点69.if (rootChild == root[1][n])70. {71.//输出整棵树的根72. cout << "k" << rootChild << "是根" << endl;73. printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);74. printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);75.return;76. }77.78.if (j < i - 1)79. {80.return;81. }82.else if (j == i - 1)//遇到虚拟键83. {84.if (j < r)85. {86. cout << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩子" << endl;87. }88.else89. cout << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩子" << endl;90.return;91. }92.else//遇到内部结点93. {94.if (rootChild < r)95. {96. cout << "k" << rootChild << "是" << "k" << r << "的左孩子" << endl;97. }98.else99. cout << "k" << rootChild << "是" << "k" << r << "的右孩子" << endl;100. }101.102. printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);103. printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);104.}105.106.int main()107.{108. optimalBST(p,q,n);109. printRoot();110. cout << "最优二叉树结构：" << endl;111. printOptimalBST(1,n,-1);112.}我们将表e、w以及root旋转45°，便于查看上述程序的计算过程。
上述代码核心在于函数optimalBST，其计算顺序是从下到上、从左到右。
首先是依据概率数组pi、qi初始化：给最下面的一行赋值。
然后是三个for循环：从下到上计算表中每一行的值，可以充分利用前面计算出来的结果。
如果每当计算e[i][j]的时候都从头开始计算w[i][j]，那么需要O(j-i)步加法，但是将这些值保存在表w[1...n+1][0...n]中，就避免这些复杂的计算。
输出结果：。