第五章：一阶逻辑的语法和语义

一阶谓词逻辑部分——一阶语法：

1定义字母表的定义

一个一阶语言L的字母表由以下符号组成：

1）一组非逻辑符号，其中包含：

i）一个（可能空的）个体常项集；{a1,a2,…}

ii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元谓词集；

{F11,F12,…,F21,F22,…,F n1,F n2,…,…}

iii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元函数符号集{f11,f12,…,f21,f22,…,f n1,f n2,…,…}

2）一组固定的逻辑符号，其中包含：

i）个体变项x0, x1, x2,…（可数无穷多）；

ii）量词∀，[∃]；

iii）联结词⌝，→，[∧，∨，↔]；

iv）等词[≡]；

v）括号)，(。

注1：我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。

注2：所有一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号

集。

注3：一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。

注4：在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。我们约定，在元语言中用

x, y, z等代表一阶语言的个体变项；

c, d, e等代表一阶语言的个体常项；

P, Q, R等代表一阶语言的谓词；

f, g, h等代表一阶语言的函数符号。

2 项的归纳定义

下一步我们要从字母表中构造一阶语言的词项（以下简称项）。项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f(x) = x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。现在的问题是：到底哪些东西是项，或者，我们如何确切定义项的集合？

设L为一阶语言。L-项定义为：

1）基始条件：

i）L字母表中的每个个体常项是L-项。

ii）每个个体变项是L-项。

2）归纳条件：对任意n 1，若f是L的n元函数符号，且符号串t1,…, t n是n个L-项，则它们的连接ft1…t n也是L-项。

3）封闭条件：没有其他东西是L-项。

注1：叙述这个定义时，我们用到了新的元语言变项t。以后我们就用r，s，t等代表项。

注2：如此定义的L中的项具有可判定性，具体的判定步骤我们省略。项的长度是有穷的，但是项的集合可以是可数无穷的。

3 公式的归纳定义

语言中有了项，我们便可以用不同的方式指称结构中的个体。但是，仅能指称个体，还不足以描述结构。我们还需要语言中其他的表达式，来表达个体具有什么性质（属于什么集合）以及个体间具有什么关系（个体的有序组属于什么集合），或者说，表达关于结构的一阶命题。这种表达式，叫做公式。

公式与项类似，也是字母表中的符号组成的符号串，也能用归纳定义把它确定下来。

定义设L为任意一阶语言。L的公式（或L-公式）定义为：

1）基始条件：

i）对L的任意n（n ≥ 1）元谓词P和任意n个L-项t1, t2,…, t n，Pt1…t n是L-公式；

2）归纳条件：

ⅰ）如果A是L-公式，则⌝A也是L-公式；

ⅱ）如果A，B是L-公式，则(A → B)也是L-公式；

ⅲ）如果A是L-公式，x是个体变项，则∀x A也是L-公式；

3）封闭条件：没有其他东西是L-公式。

注1：可以看出，这里定义的还是L-串的某种连接形成的L-串。基始条件确定的公式，称为原子公式。原子公式由谓词和项直接连接而成。其他非原子公式都是从原子公式出发，添加真值联结词或量词形成的。归纳条件确定的公式ⅰ）ⅱ）ⅲ)分别称为否定式、蕴涵式、全称式。注意，∀x或∃x放在一个公式A之前形成新公式的时候，并不要求A中出现x。注2：定义中出现了元语言变项A和B，我们约定以后就用它们代表公式。注意，象Pt1…t n、A、(A ∧ B)、∀x A等等的，有元语言变项出现于其中的，本身作为符号串都不是公式（公式只由对象语言中的符号组成），它们称为公式模式。每个公式模式都代表形如自身的一切公式。显然，与L-项的情形一样，每个L-公式也是有穷长的。公式的集合可以是可数无穷的。

注3：对于一个符号串是否是公式，我们也有能行的可判定

程序。

4自由和约束、代入

4.1 定义对一个量化式∀x A（或∃x A），称其子公式A是量词∀x（或∃x）的辖域。一般而言，如果∀x A（或∃x A）作为子公式出现在公式B中，则称A是这个量词在B中的辖域。

直观上看，一个量词的辖域就是紧跟着它的最短公式。比如，在L1st-公式∀x1(P01c1→ (P01c1∧P11x1)) 中，∀x1的辖域就是(P01c1→ (P01c1∧P11x1))；而在(P01c1→∀x1 (P01c1∧P11x1))中，∀x1的辖域则是(P01c1∧P11x1)。一个量词在一个公式中可能有多次出现，此时它的每一次出现都有一个辖域。例如，在∀x1 (P01c1→∀x1 (P01c1∧P11x1))中，∀x1的第一次出现的辖域是(P01c1→∀x1 (P01c1∧P11x1))，而第二次出现的辖域则是(P01c1∧P11x1)。

4.2 定义在公式ϕ中，一个变项x如果出现在某个形如∀x （或∃x）的量词的辖域中，或它就紧跟在∀（或∃）后面，则称x在A中的这处出现是约束的。变项的非约束的出现，称为自由出现。

如果x在A中有一处自由出现，则称x是A中的自由变项。如果x在A中的所有出现都是约束的，则x是A中的约束变项。

4.3 例考虑以下L ord-公式：