第五章：一阶逻辑的语法和语义

一阶谓词逻辑部分——一阶语法：1定义字母表的定义一个一阶语言L的字母表由以下符号组成：1）一组非逻辑符号，其中包含：i）一个（可能空的）个体常项集；{a1,a2,…}ii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元谓词集；{F11,F12,…,F21,F22,…,F n1,F n2,…,…}iii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元函数符号集{f11,f12,…,f21,f22,…,f n1,f n2,…,…}2）一组固定的逻辑符号，其中包含：i）个体变项x0, x1, x2,…（可数无穷多）；ii）量词∀，[∃]；iii）联结词⌝，→，[∧，∨，↔]；iv）等词[≡]；v）括号)，(。

注1：我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。

形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。

这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。

注2：所有一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号集。

注3：一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。

注4：在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。

我们约定，在元语言中用x, y, z等代表一阶语言的个体变项；c, d, e等代表一阶语言的个体常项；P, Q, R等代表一阶语言的谓词；f, g, h等代表一阶语言的函数符号。

2 项的归纳定义下一步我们要从字母表中构造一阶语言的词项（以下简称项）。

项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f(x) = x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。

现在的问题是：到底哪些东西是项，或者，我们如何确切定义项的集合？设L为一阶语言。

L-项定义为：1）基始条件：i）L字母表中的每个个体常项是L-项。

ii）每个个体变项是L-项。

2）归纳条件：对任意n 1，若f是L的n元函数符号，且符号串t1,…, t n是n个L-项，则它们的连接ft1…t n也是L-项。

3）封闭条件：没有其他东西是L-项。

注1：叙述这个定义时，我们用到了新的元语言变项t。

以后我们就用r，s，t等代表项。

注2：如此定义的L中的项具有可判定性，具体的判定步骤我们省略。

项的长度是有穷的，但是项的集合可以是可数无穷的。

3 公式的归纳定义语言中有了项，我们便可以用不同的方式指称结构中的个体。

但是，仅能指称个体，还不足以描述结构。

我们还需要语言中其他的表达式，来表达个体具有什么性质（属于什么集合）以及个体间具有什么关系（个体的有序组属于什么集合），或者说，表达关于结构的一阶命题。

这种表达式，叫做公式。

公式与项类似，也是字母表中的符号组成的符号串，也能用归纳定义把它确定下来。

定义设L为任意一阶语言。

L的公式（或L-公式）定义为：1）基始条件：i）对L的任意n（n ≥ 1）元谓词P和任意n个L-项t1, t2,…, t n，Pt1…t n是L-公式；2）归纳条件：ⅰ）如果A是L-公式，则⌝A也是L-公式；ⅱ）如果A，B是L-公式，则(A → B)也是L-公式；ⅲ）如果A是L-公式，x是个体变项，则∀x A也是L-公式；3）封闭条件：没有其他东西是L-公式。

注1：可以看出，这里定义的还是L-串的某种连接形成的L-串。

基始条件确定的公式，称为原子公式。

原子公式由谓词和项直接连接而成。

其他非原子公式都是从原子公式出发，添加真值联结词或量词形成的。

归纳条件确定的公式ⅰ）ⅱ）ⅲ)分别称为否定式、蕴涵式、全称式。

注意，∀x或∃x放在一个公式A之前形成新公式的时候，并不要求A中出现x。

注2：定义中出现了元语言变项A和B，我们约定以后就用它们代表公式。

注意，象Pt1…t n、A、(A ∧ B)、∀x A等等的，有元语言变项出现于其中的，本身作为符号串都不是公式（公式只由对象语言中的符号组成），它们称为公式模式。

每个公式模式都代表形如自身的一切公式。

显然，与L-项的情形一样，每个L-公式也是有穷长的。

公式的集合可以是可数无穷的。

注3：对于一个符号串是否是公式，我们也有能行的可判定程序。

4自由和约束、代入4.1 定义对一个量化式∀x A（或∃x A），称其子公式A是量词∀x（或∃x）的辖域。

一般而言，如果∀x A（或∃x A）作为子公式出现在公式B中，则称A是这个量词在B中的辖域。

直观上看，一个量词的辖域就是紧跟着它的最短公式。

比如，在L1st-公式∀x1(P01c1→ (P01c1∧P11x1)) 中，∀x1的辖域就是(P01c1→ (P01c1∧P11x1))；而在(P01c1→∀x1 (P01c1∧P11x1))中，∀x1的辖域则是(P01c1∧P11x1)。

一个量词在一个公式中可能有多次出现，此时它的每一次出现都有一个辖域。

例如，在∀x1 (P01c1→∀x1 (P01c1∧P11x1))中，∀x1的第一次出现的辖域是(P01c1→∀x1 (P01c1∧P11x1))，而第二次出现的辖域则是(P01c1∧P11x1)。

4.2 定义在公式ϕ中，一个变项x如果出现在某个形如∀x （或∃x）的量词的辖域中，或它就紧跟在∀（或∃）后面，则称x在A中的这处出现是约束的。

变项的非约束的出现，称为自由出现。

如果x在A中有一处自由出现，则称x是A中的自由变项。

如果x在A中的所有出现都是约束的，则x是A中的约束变项。

4.3 例考虑以下L ord-公式：⌝ x0≡x1；∀x0(⌝ x0≡x1∧≤x0x1)∀x0(⌝ x0≡x1∧∃x1≤x0x1)在第一个公式中，所有变项的所有出现都是自由的，因此两个变项都是自由变项。

第二个公式中，x0的三处出现都是约束的，因此是约束变项，而x1的两处出现都是自由的，所以x1是自由变项。

第三个公式中，x1的第一处出现是自由的，第二处出现是约束的，但既然x1有自由出现，它就是这个公式中的自由变项。

4.4 定义设L是一个一阶语言，s是一个L-项。

对任意变项x和L-项t，我们如下递归定义t在s中对x的代入，记为s[x/t]：1）若s为个体常项，则s[x/t] = s。

2）若s为个体变项y，则s[x/t]=y 若y≠x；否则t若y = x。

3）若s为ft1…t n，则s[x/t]=ft1[x/t]…t n[x/t]。

容易归纳证明，s[x/t]仍然是L-项。

4.5 定义设L是一个一阶语言，A是一个L-公式。

对任意变项x和L-项t，我们如下递归定义t在A中对x的代入，记为A[x/t]：容易归纳证明，A [x/t]仍然是L-公式。

4.6 定义 设L 是一个一阶语言，A 是一个L-公式。

对任意变项x 和L-项t ，称t 在A 中对x 可代入，如果x 在A 中不自由地出现于某个∀y （或∃y ）的辖域中，这里的y 是出现于t 中的一个变项。

t 在A 中对x 可代入也称为t 在A 中对x 是替换自由的。

4.7 举例及练习（1） x 3对公式 中的x 2是自由的，而x 1对公式中的x 2则是不自由的。

因为x 2自由地出现在∀x 1的辖域中，而x 2并没有自由地出现在∀x 3的辖域中（在这里有两个意思：或者x 2没有出现在∀x 3的辖域中，或者 x 2出现在∀x 3的辖域中，但是x 2的出现是不自由的）。

对于（1）1112()x A x ∀11111111111111,...,,...,(/,...,/),...,,...,(,...,),(/,...,/)(/,...,/,...,/,...,/),n n n n n n n n n n n n n n x x t t A A x t x t t t A x x A P u u A x t x t P u x t x t u x t x t A B ⌝ 令两两不同，令是项，且令是公式。

我们用表示用同时替换中的所有自由出现而得到的结果。

（1）若＝则＝ （）（） （2）若＝111111111111(/,...,/)(/,...,/).,{,...,},(/,...,/)/,...,/(1),{,...,},(/,...,/)n n n n n n n n n i i n n n A x t x t B x t x t A B C A xB x x x A x t x t xB x t x t A x B i n x x x A x t x t ⌝→∀∉∀∀≤≤∈∀则＝＝的情况也是如此。

（3）若＝且则 ＝（）. （4）若＝即则 ＝111111/,...,/,,/,...,/i i i i i n n i i x B x t x t x t x t x B x --++∀（）(也就是说，对公式中出现的地方不进行替换)。

中所举的例子来说，是因为x 2没有出现在∀x 3的辖域中。

（2）也有可能出现x 2约束地出现在∀x 3的辖域中的情况，例如x 3对公式 中的x 2是自由的。

因为在这个公式中没有x 2的自由出现。

由上不难看出，项t 对公式A 中的变元x 是自由的，主要是看t 对x 在A 中的自由出现进行代入是不是自由的。

而对x 的约束出现进行代入则没有太多的意义。

就好像这个例子所看到的那样。

（3）（4）课堂练习13212()x x A x ∀∃2211123231211422121141222322232223122113131(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)A x A x x x A x x f x x x x x f x x x f x x x x x x f x x x x x x f x x x ∀→∀∀∀∀令＝则对是不自由的（自由地出现在的辖域中）对是自由的；对是自由的（没有自由地出现在或的辖域中）对是不自由的；对是自由的（注意仅自由出现一次）；对是不自由的。

12221121211313121121121112112222221112112321221132((,)(,)).()(,,).()(,).(4)(((,),)(,(,))).(,)i x x A x x A x a A x x x A x x a x A x x A x x x A f x x x x A x f x x f x x x A x ∀→→⌝∀∀∀→∀∀→∀1.下列公式中的哪些出现是自由的，哪些是约束的。

（1）(2)(3)项对哪些公式中的是自由的。

2.令()是L i j i j i i i j j j i i j x x A x x A x x x A x x A x A x x x 中一公式，其中自由出现，令是在公式()中并不自由出现的一变元。