λαβBezier曲线与3次B6zier曲线的拼接条件

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三次有理Bézier曲线的形状调整方法

三次有理Bézier曲线的形状调整方法
韩旭里;肖鸣宇
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2005(041)015
【摘要】给出了两类调整三次有理Bézier曲线形状的方法.一类方法是使曲线通过给定的插值点,从而实现曲线的形状调整.另一类方法是将曲线上的点作为控制多边形两边连线段上的分点,通过调整分线段的比例,实现对曲线的形状调整.针对不同情况,分别给出了权因子的计算公式.计算方法简单,使用方便,并使三次有理Bézier曲线的形状调整更加具体和明确.同时,由计算结果得到了任意三次有理Bézier曲线不相交的充分必要条件.
【总页数】4页(P70-72,119)
【作者】韩旭里;肖鸣宇
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.拟三次Bézier曲线的形状调整 [J], 韩西安;马逸尘;黄希利
2.四次有理Bézier曲线的形状调整 [J], 朱承学;李崧
3.空间有理三次Bēzier曲线参数化方法 [J], 卢红建
4.局部形状可调整的三次有理B样条插值曲线 [J], 韩旭里;李明珠;任叶庆
5.带一个形状参数的有理三次三角Bézier曲线 [J], 樊文;洪玲;邢燕
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试推导三次Bezier曲线的一阶几何连续的拼接条件

★★★★★
1、试推导三次Bezier曲线的一阶几何连续的拼接条件
答：
1）如图所示，设首段Bezier曲线由P0P1P2P3组成，第二段由Q0Q1Q2Q3组成
2）则两段曲线方程为：
3）满足零阶连续条件为：
4）满足一阶几何连续（光滑连续）的条件为：
，由此可得：
5）
2、计算由控制点P0（0，0，0）、P1（20，40，0）、P2（60，50，0）、P3（80，0，0）确定的三次Bezier曲线参数t＝0.5时曲线上点的值
答：
= [ 1/8 3/8 3/8 1/8 ] [ A B C D]T
将上式A、B、C、D以题目中P0、P1、P2、P3坐标代入，
得：[ x y z ] = [ 0，30，15 ]
3、如图所示形体，填写Brep表达的边表和环表，给出形体的点、边、环、面数目
注：只填写ABFE面上的边表
注：只填写ABFE 面和CDEF 面上的环表
该形体的顶点数为：，边数为：，环数为：，面数为：。

答案：
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三次TC-Bézier与H-Bézier曲线曲面的光滑拼接

（ａｃａｇＨｎｋｎｎｖｒｔ，ａｃａｇｆａｇｉ３０３ＣｉａＮｎｈｎａｇｏｇＵｉｓｙＮｎｈｎ，ｎｘ３；Ｈ —Ｂｚｅ；ｓａｅｐｒｍｅｅｓｍｏｔｏｎｃｉｎｙｗｏｄ：Ｃ６ｉｒ６ｉｒｈｐａａｔｒ；ｓｏｈｃｎｅｔｏＡｂｔａｔＴｉｐｐｒｓｄｅｈｅｈｉｕｆｓｏｏｎｃｉｎｅｗｅｎｃｂｃＴ — Ｂｚｅｕｖｓａｄｓｒｃｓｗｉｗｈｐａ－ｓｒｃ：ｈｓａｅｔｉｓｔｅｔｃｎｑｅｏｍｏｔｃｎｅｔｓｂｔｅｕｉＣ — ６ｉｒｃｒｅｎｕｆｅｔｔｏｓａｅｐ・ｕｈｏａｈｒｍｅｅｓａｄｃｂｃＨ —Ｂｚｅｕｖｓａｄｓｒｃｓａｅｎａｓｄｆｈｉｂｓｕｃｉｎ，ｅｄｏｎｒｐｒｉｓａｄｓａｅａａｙｉ，ａｔｒｎｕｉ６ｉｒＣｒｅｎｕａｅ．ＢｓｄｏｔｙｏｅｒａｉｆｎｔｓｎｐｉｔｐｏｅｔｎｈｐｌｓｓｆｕｔｓｏｅｎｗｒｓｎｃｎｉｕｔｏｎｃｉｎｃｎｉｏｓｂｔｅｎＴ —Ｂ６ｉｒａｄＨ —Ｂｚｅｕｖｓａｄｓｒｃｓｓｗｌａｏｔｕｔｏ－ｅｐｅｅｔＧ。ｏｔｉｃｎｅｔｏｄｔｎｅｗｅＣｎｙｏｉｚｅｎ６ｉｒｃｒｅｕａｅ．ａｅｌｓＧｃｎｉｉｃｎｎｆｎｙ
ｂｔｅｎｔｅｕｅｎｕｆｅａｅｅｅｔｅｙａｐｉｎｃｍｌａｄｃｒｅａｄｓｒｃｅｉｙａｊｓｎｅｓａｅｆｔｅｅｗｅｒｓａｄｓｒｃｓｃｂｆｃｖｌｐｌｄｉｏｐｉｔｕｖｕａｅｄｓｎｂｄｕｔｇｔｈｐｓｏｈｈｃｖａｎｉｅｃｅｎｆｇｉｈ

n次有理Bézier曲线与C-B样条曲线的连续性条件

Ｂ条曲线和Ｂ６ｉ曲线在计算机辅助几何设计和工程设计中都有着十分重要的作用，样ｅｚｒ但是他们都不能精确地表示
二次曲线（圆锥曲线）人们随即又提出了有理Ｂ样条曲线和有理Ｂ６ｉ曲线，且很好的解决了这个问题，，ｚｒｅ并大多数的规则二次曲线都能够得到精确地表示，但是有理Ｂ条曲线和有理Ｂ６ｉ曲线不含有参数因子，样ｅｚｒ制约了调整曲线的灵活性，继而又将其推广到ＮＲＳＵＢ曲线，然ＮＲＳ曲线自身带有参数因子，虽ＵＢ在工程应用中灵活性比较大，但是ＮＲＳ曲线的计算ＵＢ量比较大，因此在计算机辅助几何设计的应用中受到了很大的限制．为此张继文 “等用三角基函数替换了多项式基函数，提出了一条带参数的新曲线——ｃ曲线，一这种曲线解决了ＮＲＳ曲线的计算量大的问题，ＵＢ并且还具有许多良好的性质。
但是ＣＢ样条曲线和Ｂ样条曲线有许多相似的性质，如都不能精确表示ＣＤＣＭ中常用的半圆弧等，此刘飞等提 — 例Ａ／Ａ为
出了ｃＢ样条曲线和有理三次Ｂ６ｚｒ — ｉ曲线的Ｇ拼接条件，ｅ。较好的解决了这个问题，但是在一般的工程设计中，不可能仅用到有理三次Ｂ６ｚｒｉ曲线，ｅ而是可以使用任意次的有理曲线，于此类情况本文给出了ＣＢ条曲线和Ｉ鉴 —样ｔ次有理Ｂ６ｉ曲ｚｒｅ线的光滑拼接条件，也即是在文献［］６的基础上做了推广，这样可以满足工程上的一些需要．

2条有理三次Bézier曲线的部分重合条件

2条有理三次Bézier曲线的部分重合条件提纲：第一章：绪论介绍Bézier曲线的基本概念及其应用，以及本文将要讨论的问题——如何判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合。

第二章：有理三次Bézier曲线的表示方式介绍有理三次Bézier曲线的数学表达式和几何表达式，并分析其性质和特点。

第三章：判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合的方法介绍几种判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合的方法，包括几何方法和代数方法，并分析它们的优缺点。

第四章：两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件的推导以代数方法为例，推导出两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件，并给出其具体的计算公式。

第五章：实验验证与结论通过实验验证上一章节推导出的两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件，并结合实际应用场景，得出结论和建议。

结论：本文提出了几种判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合的方法，并以代数方法为例，推导出了两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件及其计算公式。

这些方法和条件对于计算机图形学、CAD、动画制作等领域具有重要的理论和实际意义。

第一章：绪论在计算机图形学、CAD、动画制作等领域中，Bézier曲线是一种非常重要的数学工具，它可以用来描述二维或三维的几何形状，而且在绘制平滑曲线等领域应用广泛。

其中，有理三次Bézier曲线是最常见的一种曲线，因为它可以用一条线段连接多个控制点，从而方便地描绘复杂形状。

然而，在实际应用中，有时需要判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合，以便进行合并、分割、编辑等操作，这就需要针对有理三次Bézier曲线设计合理的判断方法和条件。

因此，本文将讨论如何判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合，为后续应用提供基础理论支持。

三次Bezier曲线的实现方法

Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年.由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表.他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发.以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线给定点P0、P1.线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于 P0走向 P1.并从 P2的方向来到 P3。

一般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。

P0和 P1之间的间距.决定了曲线在转而趋进 P3之前.走向 P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：。

现代的成象系统.如PostScript、Asymptote和Metafont.运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线.用来描绘曲线轮廓。

一般化P0、P1、…、P n.其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：用表示由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则用平常话来说. 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语.有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式.定义 00 = 1。

点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。

多边形以带有线的贝塞尔点连接而成.起始于 P0并以 P n 终止.称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的t 会经过由 P0至P1的 B(t) 所描述的曲线。

例如当t=0.25时.B(t) 即一条由点 P0至 P1路径的四分之一处。

就像由 0 至 1 的连续t.B(t) 描述一条由 P0至 P1的直线。

拟三次Bézier曲线曲面的拼接技术

ＣｏｔｕｔｏｄｔｎｏｕｉＱｕｓＢｚｅｕｖｓａｄＳｒａｅｎｉｉＣｎｉｏｓｆｒＣｂｃａｉ６ｉｒＣｒｅｎｕｆｃｓｎｙｉ－
ＨＵｎＱＩＸｉｑａｇ，ＨＡＮｎ，ＤＵＡＮａｂｏＧａｇ，ＮｎｉｎＸｉａＸｉｎａ
ｔｎＣｃｎｉｕｔｅｗｅｎｔｄａｅｔｕｉＱＢｚｅｕｖｓａｅｐｏｏｅ．ＡｎｈｎｔｅｙａｄＣ，ｏｔｉｂｔｅｎｙｗｏａｊｃｎｂｃ－ｆｉｃｒｅｒｒｐｓｄｃｒｄｔｅ，ｈ
ｇｏｔｉｄｌｆｔｅｃｂｃＱ－６ｉｒｓｒａｅｓｃｎｔｕｔｄａｄｔｅｃｎｉｏｆＧｃｎｉｕｔｅｍｅｒｃｍｏｅｈｕｉＢｚｅｕｆｃｓｉｏｓｒｃｅｎｈｏｄｔｎｏｏｉｏｔｎｉｙ
ＸｎＪａｔｎｉｒｉ，ｎ７０４，ｈｎ）ｉｉｏｇＵｎｖｓｙＸｉ１０９Ｃｉａａｏｅｔａ
ＡｂｔａｔＦｏｕｉｇｏｈａｔｔａｈｎｉｅｒｎｏｌｘｃｒｅｒｓｒａｅａｏｅｄቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－ｓｒｃ￣ｃｓｎｎｔｅｆｃｈｔｔｅｅｇｎｅｉｇｃｍｐｅｕｖｓｏｕｆｃｓｃｎｎｔｂｅ
（．ｃｏｌｆＳｃｅｅ１Ｓｈｏｉｎｃ，ＸｉａｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｘｉａ０４ｏｎＵｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｎ７１０８．Ｃｈｎ；２ＳｈｏｆＳｉｎｅｉａ．ｃｏｌｏｃｅｃｓ

二次Bezier曲线与三次非均匀B样条曲线的拼接

化为二次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与三次１３￣ｚｉｅｒ曲线之间的拼接问题，并分别给出了二次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线与三次非均
匀Ｂ样条曲线的拼接的，Ｇ１，Ｇ２光滑拼接条件．
关键词：Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线，Ｂ样条曲线；Ｂｏ，ｉｅｒ构造方法；光滑拼接；中图分类号：ＴＰ３９１
第３２卷第１１期
２０１３年１１月
数学教学研究
６３
二次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线与三次非均匀Ｂ样条曲线的拼接
赵
摘
菲，张贵仓，葸海英
（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００７０）
要：利用Ｂ样条曲线的Ｂ￣ｚｉｅｒ构造方法，把二次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与三次非均匀Ｂ样条曲线的拼接转
＝
（
＋
＋
，
，
６４
数学教学研究
第３２卷第１１期
２０１３年１１月
ｗ，ｗ，＋南），
其中
（口，ｂ，Ｃ，）
＝
这里有
一
一
” ＋１一 ‰
（Ｒ０，Ｒ１，Ｒ２，Ｒ３）一（（１－ｌ１）一３＋１１一２，Ｚ２一２＋（１一２）ｒｎ一１，ｒｎ一１，￡３ｒ一１＋（１ — — ｌ３）ｒ），
（ｌ —Ｕｔｒ－１，ｒｒ｝１一，
科２一“ ” ＋１，，ｒ卜３一ｚ ‘ ２），

第4讲-贝齐尔曲线

t ∈ [0,1]
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
Pi ⎧ Pi = ⎨ k −1 k −1 ( 1 t ) P tP − + i i +1 ⎩
k
k =0 k = 1,2,..., n,i = 0,1,..., n − k
这便是著名的 de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
（5）变差缩减性。
若Bezier曲线的特征多边形
P0 P 1LP n
是一个平面
图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。
12
3. Bezier 曲线---性质
22
3. Bezier 曲线---递推(de Casteljau)算法
else {
}
::Sleep(5); ddaline (a.x, a.y, t1.x, t1.y, COLOR); ddaline (t1.x, t1.y, t4.x, t4.y, COLOR); ddaline (t4.x, t4.y, t2.x, t2.y, COLOR);
（6）交互能力改变曲线的形式，只需改变控制点Pi 。（7）可分割性
2 P 1
2 0
P
P 1
P
1 1
P2
P21
P01
P0
P03 = P(1 / 3)
P3
13
3. Bezier 曲线---递推(de Casteljau)算法
解析几何中抛物线的三切线定理设A,B,C是抛物线上顺序的三点，A点和C点的两切线交与 D点，在B点的切线分别交AD 和CD与E和F，则：

Bezier曲线曲面的拼接

Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造方法。

其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。

在实际应用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。

本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。

一、Bezier曲线曲面的构造Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲线方程即可。

其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲线方程则用于描述控制点间的线段的形状。

对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$这个公式包含两个部分。

第一部分是二项式系数$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组合数。

第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲线上占据的位置和弧长。

通过这两部分的组合，我们可以得到一个平滑连续的Bezier曲线。

对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)P_{ij}$$其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。

这个方程就是通过控制点的二维数组来描述空间中的三维曲面的。

二、Bezier曲线曲面的拼接当需要在一个三维场景中绘制复杂的曲面形状时，往往需要将不同的曲面拼接起来。

Bezier曲线曲面的拼接可以通过各种方法实现。

以下介绍两种常用的拼接方法。

1. 曲面连接法曲面连接法需要将拼接曲面共享一个相邻控制点，从而使得两个曲面连接处的网格点重合。

bezier曲线的拼接及其连续性

bezier曲线的拼接及其连续性
贝塞尔曲线是一种二次多项式曲线，它可以表示物体在三维空间中的运动状态，从而可以以精确的方式模拟物体的运动轨迹。

贝塞尔曲线可以非常精准地模拟物体的移动，如自然界中物体的运动曲线，如果使用椭圆形或抛物线，无论是位移还是移动的加速度都可以被精确地模拟出来。

这些特性决定了贝塞尔曲线在各种科学，工程和艺术领域的广泛应用，例如城市设计，动画，建筑，电影制作，图形设计，工业设计，舞蹈，等等。

因为它可以表达丰富多样，复杂形式、自然运动状态，更容易处理处理复杂动画和游戏平台中的小游戏功能。

贝塞尔曲线一般被研究为一簇控制点，通过理论分析可以证明，连接控制点的位置及其特性关系，可以用来提取参数表达的曲线。

为了确保曲线的连续性，贝塞尔曲线可以像串联火柴一样，用控制点和节点来表达曲线，控制点是具有控制功能的点，它控制曲线的变化，节点是分别由控件点定义的点，通过节点的相互连接，可以有条理的拼接出贝塞尔曲线，从而保证曲线的连续性。

贝塞尔曲线的连续性是贝塞尔曲线的重要特性之一，它决定了贝塞尔曲线的控制精度和平滑度。

也就是说，连续性是控制贝塞尔曲线的重要条件之一。

建立贝塞尔曲线的前提是形成一簇连续性好的控制点，然后，通过各个控制点将贝塞尔曲线拼接起来，最终形成具有良好连续性的曲线。

因此，要想实现质量不变的曲线，而且满足曲线连续性的要求，节点和控制点之间的位置及其特性关系对其求出来的曲线拼接结果至关重要。

贝塞尔曲线的拼接及其连续性是重要的，因为它可以表示物体的精确运动轨迹。

正是贝塞尔曲线的控制精度和平滑度，才有可能表达丰。

实验报告(贝塞尔曲线生成算法的设计与调试)

实验报告贝塞尔曲线生成算法的设计与调试一、实验目的在掌握曲线、曲面数学理论的基础上，通过调试，绘制Bezier 曲线。

加深同学对数学理论的理解。

通过二条Bezier曲线的拼接设计，掌握自由曲线的拟合方法。

二、实验原理1、由三次Bezier曲线的公式：P（t）=∑P i B i,3(t) 出发，编写生成Bezier曲线的程序，要求如下：（1）用鼠标输入特征多边形的四点。

然后调用Bezier曲线生成算法绘出曲线。

（2）重复上步3—4遍，验证编写的算法的正确性。

2、将特征多边形改为五个控制点，修改程序后绘出四次曲线。

3、实现二条三次Bezier的拼接，并使连接点处保持一阶连续。

三、实验程序typedef cptype float[4][4];float cc (int n,int i) //计算n!/（i!(n-i)!）{int j;float a;a=1;for(j=i+1;j<=n;j++) a*=j;for(j=2;j<=n-i;j++) a/=j;return a;}float b_lend(Int i,int n,float t2) //计算B i,n(t){float v;v=cc(n,i);for(j= 1;j<=i;j++) v*=t2;for(j=1;j<=n-i;j++) v*=(1-t2);return v;}void bezier(float x0,float y0,float z0,float t0,int n,cptype cp2)//给定t0,计算f(t0){int i;float b1,g;for(i=0;i<=n;i++){b1=b_lend(i,n,t0);x0=x0+cp2[i,1]*b1;y0=y0+cp2[i,2]*b1;z0=z0+cp2[i,3]*b1;}}void draw_curv(int k,cptype cp1)//将t分成k等份,循环迭代，绘出曲线。

三次HC-Bézier曲线的分割算法和拼接条件

ａｎｄｓｕｒｆａｃｅｓ．ＡｆａｍｉｌｙｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＢ６ｚｉｅｒｃｕｖｅｒｓｉｎｔｈｅｓｐａｃｅｏｆｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｗｉｔｈａｓｈａｐｅｐａｒａｍｅｔｅｒｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｔｈｅｓｅｃｕｒｖｅｓａｒｅｃａｌｌｅｄａｓＨＣ－Ｂ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅｓ．ＴｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｃｕｂｉｃＨＣ・・Ｂ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆＨＣ－－Ｂ６ｚｉｅｒｂａｓｉｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｅｒｍｉｎａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｕｓｅｆｕｌｆｏｒｔｈｅｓｈａｐｅｍｏｄｉｉｃｆａｔｉｏｎａｎｄｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆＨＣ— Ｂ６ｚｉｅｒｃｕｖｅｒｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＨＣ－Ｂ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅｓ；Ｂ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅｓ；ｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎ

6.Bezier曲线曲面解析

2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性权性对称性导函数递推性
Jn,n-i(u)= Jn,i(1-u)
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性权性对称性导函数 J’n,i(u)=n{Jn-1,i-1(u)- Jn-1,i(u)} 递推性Jn,i(u)=(1-u)Jn-1,i(u)- uJn-1,i-1(u)
•不适合于外形设计

xj
1.2 提出Bezier曲线的理由
• 参数样条曲线不适合于外形设计 • 三次样条曲线采用Hermit基函数，如果用其他基函数，就可以得到另外的曲线。
1.3 Bezier曲线的产生和发展
• Peire.Bezier(1910~2000)23岁进入法国雷诺汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线和数控钻床、铣床的组装调试。50岁开始研究集合化的曲面构造方法。1962年、 1968年研制成功UNISURF和SURFAPT原型系统。 • De Casteljau工作于Citroen公司，1959年提出了Bezier方法。但未象Bezier一样公开发表。所以曲线称为Bezier曲线。
i=0: Jn-1,i-1(u)=0 i=n: Jn-1,i(u)=0
2.2 Bezier曲线的几何性质
n 由r (u ) J n ,i (u )Vi , 0 u 1 有 i 0
' r (0) n(V 1 V 0 )
同理可得，当 u=1 时
' r (1) n(V n V n1 )
r (u ) J n ,i (u )Vi 0 u 1
i 0
n
i i J n,i (u) Cn u (1 u)ni

bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接

bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面的拼接摘要曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之1，Bézier曲线曲面又是计算机图形学中常用的曲线曲面，它采用分段和分片参数多项式的形式。

Bézier曲线曲面之所以被广泛使用是因为它有许多特别适合计算机图形学和计算机辅助几何设计的特点。

本文依次详细论述了Bézier曲线的定义和性质、Bernstein基函数性质、介绍了双3次Bézier曲面、递推算法、构图法及其应用、Bézier曲线曲面的拼接。

通过对Bézier曲线曲面的论述，阐述了Bézier曲线曲面的原理及其特性，研究Bézier曲线拼接的几何连续性及参数连续性,总结出G ,G 及C ,C 连续的几何意义。

最后研究了Bézier曲面拼接的几何连续性。

关键词： C 连续;G 连续;Bernstein基函数;参数连续性;几何连续性Abstract The curve curved surface expression is one of computer graphics important research contents, Bézier the curv e curved surface also is in the computer graphics the commonly used curve curved surface, it uses the partition and the lamination parameter multinomial form. Bézier the curve curved surface the reason that by the widespread use is because it has many suits the computer graphics and the computer assistance geometry design characteristic specially. This article in detail elaborated Bézier the curve definition and the nature, the Bernstein primary function nature in turn, introduced a pair of three Bézier cu rved surface, the recursion algorithm, the composition law and the application, Bézier curve curved surface splicing. Through to Bézier the curve curved surface elaboration, elaborated Bézier the curve curved surface principle and the characteristic, the r esearch Bézier curve splicing geometrycontinuity and the parameter continuity,Summarizes G,G and C,C continual geometry significance. Finally has studied Bézier thecurved surface splicing geometry continuity.Key words： C continuity ; G continuity; Bernstein basic function ; parametric continuity ; geometric continuity。

Bezier曲线的拼接及其连续性

注意：当i=0，t=0时，ti=1，i!=1。
1．一次Bezier曲线(n=1)
一次多项式，两个控制点
Q(t ) Pi Bi ,1 (t ) (1 t ) P0 tP 1
i 0
1
t [0,1]
这是一条连接起点和终点的直线段
2．二次Bezier曲线(n=2)
二次多项式，三个控制点
( P B (t ))
i 0 i i i
4
2
最小，需要求每一段Bezier曲线的控制点。按照这种算法需要反求控制顶点，随着数据采集量的增大， 2 计算量成 n 倍增长，且反求控制点的矩阵若为病态矩阵，则求解更耗时间，拼接的结果也不尽人意。
4.C1的二次B样条闭曲线
馒头
B样条曲线代码：
Q(t ) at bt c
2
Q (t ) t

2
1 2 1 P0 2 2 0 P t 1 1 1 0 0 P2

说明二次Bezier曲线为抛物线。
二次Bézier曲线图示
二次Bezier曲线的三条调和函数
B0, 2 B2, 2
P0 , P , P2 ,..., Pn ，拼接的Bezier曲线为 1
B(t ), t [0,1]
P0 , P , P2 ,..., Pn 参数化到[0,1]区间上的值，即求 1
。常采用弦长参数法
t0 , t1 , t2 ,..., tn ti [0,1]
Step 2：对每一段三次的Bezier曲线，有
i 1 n
起始点：终止点：
Q(0) n( P P0 ) 1
Q(1) n( Pn Pn1 )
（3）对称性

三次有理Bézier曲线与HC-Bézier曲线的拼接

三次有理Bézier曲线与HC-Bézier曲线的拼接
张丹丹;吴欢欢
【期刊名称】《成都大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(035)001
【摘要】讨论了三次有理Bézier曲线与带一个形状参数的HC-Bézier曲线的光滑拼接问题,并给出了三次有理Bézier曲线与HC-Bézier曲线的G0、G1和G2光滑拼接的几何条件.
【总页数】3页(P41-43)
【作者】张丹丹;吴欢欢
【作者单位】安徽广播电视大学安庆分校,安徽安庆246001;安徽广播电视大学安庆分校,安徽安庆246001
【正文语种】中文
【中图分类】TF391.72
【相关文献】
1.有理二次Bézier曲线与带调节参数的三次Bézier曲线的比较 [J], 王晶昕;李倩
2.三次有理Bézier样条曲线G2光滑拼接条件 [J], 程永福;朱功勤
3.三次TC-Bézier与H-Bézier曲线曲面的光滑拼接 [J], 喻德生;刘烨
4.三次HC-Bézier曲线的分割算法和拼接条件 [J], 唐桂林;陈明武;李转运
5.二次Bézier曲线与三次非均匀B样条曲线的拼接 [J], 赵菲;张贵仓;葸海英
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由于（）１式是对２次Ｂｒｓｉ基函数的推广，且带有ｅｎｔｎｅ
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第３卷第６期５
２１年１月０１１
江西师范大学学报（自然科学版）
ＪＵＮＬＦＪＮＸＯＭＡＮＶＲＩＹ（ＡＵＡＣＥＣ）ＯＲＡＡＧＩＲＬＵＩＥＳＴＮＴＲＬＳＩＮＥＯＩＮ
Ｖｂ１３５Ｎｏ．．６
摘要：利用Ｂｚｒ６ｉ样条曲线光滑拼接的方法，ｅ研究了带形状参数的Ｂｚｒ６ｉ曲线与Ｂｚｒｅ６ｉ曲线的拼接问题，ｅ得
出了Ｂ６ｉｒ曲线与ｚｅＢｚｒＧ、Ｇ、Ｇ光滑拼接条件，￣ｆＴ２ｆＢｚｅ６ｉ的Ｏｅｔ－ａ－６ｉｉｌｒ曲线的应用．
数的曲线的讨论［．本文给出了Ｂｚｅ曲线与９】６ｉｒＡｆＢｚｒａ－６ｉ曲线的Ｇ、Ｇ、Ｇ光滑拼接条件．ｌｅ。
（）４
３Ａ一２６＋２２＋２＋１２）（ｆ３）．ｌＰ
６ｉｒ曲线的构造和简单几何性质１ＡｆＢｚｅａ－６ｉｒ曲线的定义和简单几何２Ｂｚｅｌ
关键词：ａ－６ｉ曲线；６ｉ曲线；ＡｆＢｚｒｌｅＢｚｅｒＧ光滑拼接中图分类号：Ｐ９Ｔ１３文献标识码：Ａ ’
Ｂｚｅ６ｉｒ曲线具有良好的几何性质，因此在代数曲线的近似表示中有广泛地应用［】１．文献【—］曲。４５对
３一１１ｆ，２Ｐ＋２－）２）（１ＰＢ（２１１（）２ａ（一）０一一尸＋＋２
＝一
一
滑拼接就成为了表示复杂组合曲线的关键所在．但在曲线光滑拼接的研究中，往往都是对不带形状参
１
Ｑ３
其中Ｂ．）卢０１，为Ｂｒｓｉ函数，该３次３（，，３２）ｅｎｔｎ基ｅ
收稿日期：２１．０１０１１．５
基金项目：甘肃省自然科学基金（８３ＪＡ１９和甘肃省科技攻关（Ｇ０５Ａ５－ｌ）００ＲＺ０）２Ｓ３－０２Ｏ１资助项目．作者简介：张贵仓（９４）男，肃天水人，教授，士，１６．，甘博主要从事计算机辅助几何设计、图形学、数字水印等方面的研究
基函数的扩展，它不仅保留了Ｂｚｅ６ｉｒ曲线的一些实
）∑ ，）＝２，
称上式所定义的曲线为带有形状参数、、的２
次Ｂｚｅ曲线，简称为ＡｆＢ曲线．６ｉｒａ－ｌ该ＡｆＢ曲线端点及端点切矢为ａ－ｌ
ｊ（＝Ｐ０（一，Ｉ０Ｐ（２一）１＝十ｏ）十Ｐ）２Ｐ
０＝（＋＋）０））３２（一，尸
（２１、
（）３
Ｉ１＝３＋２（一，（（Ａ＋）））
Ｂ（）（Ａ＋ａ＋１＋２２一０＝２３２）（ｆｌ
形状参数，所以称它为２次２ｆＢ基函数．ａ－ｌ
给定３个控制顶点Ｐ（０１）Ｕ０１定义ｆ＝，，，对 ∈［，ｆ２］
曲线为
面问题做了相关研究．文献【】造出了一种６构２ｆＢｚｒ曲线．ａ－６ｉａ－６ｉｌｅ２ｆＢｚｅｌｒ曲线是２次Ｂｅｓｉｒｔｎｎｅ
ＮＯＶ．２０１１
文章编号：００５６（００ —６１０１０－８２２１）６０２ —３１
Ａ￣Ｂｚｒ曲线与３次Ｂｚｅａ－６ｉｅ６ｉｒ曲线的拼接条件
杨林英，张贵仓
ｆ北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州７０７）西３００
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２）１）＋１）１ａ）１，＝（（一ｕ（一１
，
Ｊ２）（（（＝一）１），一＋
ｌ
（２＋２ａｕ１ｕ一３＋）（－），
（１）
用的几何性质，而且在形状参数、、的允许取值
范围内，选择不同的参数值，可生成逼近统一控制
多边形的不同曲线，从而更精确方便地设计所需要
的曲线．文献［］７研究了３Ｔ．６ｉｒ次ＣＢｚｅ曲线的一种新的扩展．文献［］８研究了ｃＢ样条曲线的分割和拼接． — 满足一定连续条件拼接而成的复杂曲线在ＣＤ中应用更加广泛．因此，如何对曲线进行光ＡＧ