Bezier曲线的拼接及其连续性

［)］ 有关几何连续性和参数连续性的定义见文献 。
’+)
［’］ !"%*+,"$* 基函数的性质 （’）正性
（ )% ， # ’）
{
收稿日期： )((3 2 (1 2 ’4
当 ’ L (， (， ’， （ % L (， …， ’， # 2 ’） {L 当 ’# （(， M (， ’） 当 ’# （(， ’）
［$， ’］ 为两曲线不仅在连接点处达到 1" 和 1# 连续， 还要求密切平面重合， （$）1 ! 级连续的充要条件 ! 副法线向量同向且曲率连续， 更确切地说是曲率矢连续， 即1。
从 +,-.,/ 曲线的端点性质知道， （ %） 在终点的副法线向量和 （ %） 在起点的副法线向量分别是： (
万方数据 图 #
1" 连续示意
图!
1# 连续示意
青海大学学报 第 %% 卷 13 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
!"##$%&’"# (#) %"#&’#*’&+ ", &-$ .$/’$0 %*01$
23 4’(#56*# （5"67%,8"*, 9: ;7,<"87,$=+， >$*?<7$ @9%87A B*$C"%+$,D， E$*$*? &’(((&， F<$*7） 789&0(%&： !D +,GHD$*? ,<" ?"98"*,%$= =9*,$*G$,D 7*H 67%78",%$= =9*,$*G$,D 9: ,<" =9**"=,"H !"#$"% =G%C"， ,<" 676"% ?$C"+ ,<" ?"98",%$= 8"7*$*? 9: ,<" =9*,$*G$,D 9: ,<" !( ， !’， !) 7*H "( ， "’ ， ") 7*H $86%9C"+ ,<" I9G*H"H =9*H$,$9*+ 9: ,<" ") =9*,$*G$,D J :$+ ;"0)9： !"#$"% +G%C"； !"%*+,"$* I7+$= :G*=,$9*； 67%78",%$= =9*,$*G$,D； ?"98"*,%$= =9*,$*G$,D
!! （!）" !% （!）"
% #（ # $# & ! ’ $# # # & !） # $# & ! ’ $# # （ # & !） #!! （!）# " " $ $ （!） # !" # #$# # # # # $# # $

% #!% &（ # ’! ’ ’% # & & !） # ’ ! ’ ’ % # （ & & !） （!）# " $ " （(） # %" # # &’ ! # $ & # ’! # $ 如图 $ 所示设矢量 $# & ! 和 $# 之间夹角为"， ’ ! 和 ’ % 之间的夹角为 #， (!， ( % 分别为 )# & % 和 %% 到 公切线的距离。则有：
［!］苏步青 5 计算几何 ［6］ 上海科学技术出版社， 5 上海： !41! 5 !(% & !(7 5 ［%］王 飞 5 计算机图形学基础 ［6］ 北京邮电大学出版社， 5 北京： %((( 5 1% & 1$ 5 勇， 陈 铁 5 给定两端点及端点处切矢方向和曲率的空间 -89*8: 曲线的插值问题 ［ ;］ 5 数值计算与计算机应用， %((!， % ［$］孙家广 5 计算机图形学 （第三版） ［6］ 清华大学出版社， 5 北京： !441 5 $(3 & $(0 5 ［7］徐良宏 5 孟 （3） ： 1! & 17 5
（ #） （ （!）1 # 级连续的充要条件为两段曲线在连接点处不仅达到 1" 级连续， 且 -& （ "） (& %" " 1 "） 根据端点性质： （#） （"） (& % !*! ， -& % /0 # ! （)） 即 0 # %" ・ *! %"&・*（ & 1 "） ! " / 这意味着 (! & # ， 此时不仅具有上述性 (! % - " ， -# 三点共线且顺序排列。当"& % # 时达到 2# 连续， 质， 而且 (! 为 (! & # 和 - " 两点连线的中点。如图 ! 所示该线就是公共连接点 (! % -" 处的切线。
还需要满足的条件是曲率相等。 对于 ! （ 1） 和% （ 1） 说来， 如要达到 -% 连续， （ # & !） & 即： ・. （4） .! " $ " !， （ & & !） % # $ ( ! % （ !） 若 & " #， 则 .! " .% " . 或 # " ’! (% 欲使公共点有相同的曲率矢， 不仅曲率值应该相同， 还应有公共的密切平面， 这将导致 !# & % ， !# & ! ， 且 !# & % ， %!， %% 五个顶点必须公面， %% 在另外三个顶点所在公切线的同侧。 !# " % ( ， 参考文献：
% #2 % （ （ ， )% ， L " %#’ ’ 2 ’） " %# L # ’）
［’］ 边形称为 !"#$"% 多边形， 或特征多边形 。
上单参数的 # 次代数多项式全体组成 # K ’ 维线性空间 *# 。因为 （ )） 式中的 # K ’ 个 在区间 ［(， ’］ # 函数 )% ， （ （ % L (， …， 是线性无关的， 所以它们恰好构成空间 * 的一组基底， 每个函数 )% ， （ 叫 ’， #） # ’） # ’） 做 !"%*+,"$* 基函数。
（ （ )(， L )# ， L’ # (） # ’） （ （ )(， L )# ， L( # ’） # (） （ ， （ ( N )(， )# ， N’ # ’） # ’）
万方数据 作者简介： 芦殿军 （’.O(—） ， 男， 甘肃永昌人， 讲师。
第)期 芦殿军： +,-.,/ 曲线的拼接及其连续性 2( $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $
’
’J’
定义及性质
定义 给定 # K ’ 个空间向量 $ （ …， ， 称 # 次参数曲线段为 !"#$"% 曲线。 ’， #） % % L (，
#
（ ’） & L 其中
! %((
（ $%)% ， # ’）
(" ’ "’
（’）
#！ （ % L (， …， （)） ’， #） （ # 2 %） ！ %！ 依次用线段连接 $ （ …， 中相邻两个向量的终点， 组成的 # 边折线多 在取定原点 ( 以后， ’， #） % % L (，
!
（!）权性 （$）对称性 （’）导函数 （(）最大值
! "#"
（ $" ， "#， ! %）
［"， %# #］ （$）
（ （ （ " % "， …， % $! & " ， #， ! & #） $" ， ! %） ! # & %） （ ｝ （ " % "， …， $& " ， % !｛$" & #， & $" ， #， !） ! %） ! &（ # %） ! &（ # %） （ 在 %% $" ， ! %）
第 )) 卷
第1期
青海大学学报 （自然科学版）
Q9AR)) @9R1
)((3 年 ’) 月 P9G%*7A 9: >$*?<7$ B*$C"%+$,D 5"=R)((3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $