8.2Bezier曲线拼接及升降阶
第10部分_计算机图形学_Bezier曲线
n 1
• 当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)， • 当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， • 说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的 第一条边及最后一条边的走向一致。
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第10部分 Bezier曲线
第11页
– 二阶导矢
P(t ) n(n 1) ( Pi 2 2 Pi 1 Pi ) Bi ,n 2 (t )
第10部分 Bezier曲线 第19页
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– 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线 Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合： P0n (1 t ) P0n 1 tPn 1 t [0,1] 1 – 由此得到Bezier曲线的递推计算公式
P0 P01
P1 P11
P02
P2
Bezier曲线上的点
2013-8-20 第10部分 Bezier曲线 第17页
P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
P1 (1 t ) P tP2 1 1 P02 (1 t ) P01 tP1 1
P2
P01
P0
P02
P02 (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P t 2 P2 1
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Bezier 曲线历史
– 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面 表示方法, 已不能满足用户的需求。 – 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种 以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用 这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
三次Bezier曲线的生成与拼接
三次Bezier曲线的生成与拼接李红林【摘要】本文利用VC++编程环境,生成两段三次Bezier曲线,并对曲线进行连续性条件讨论,且实现了曲线拼接.【期刊名称】《科技视界》【年(卷),期】2016(000)021【总页数】2页(P126,187)【关键词】三次;Bezier;连续性;曲线拼接【作者】李红林【作者单位】曲靖师范学院信息工程学院,云南曲靖655011【正文语种】中文Bezier曲线是由法国人Bezier于20世纪70年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表示方法[1]。
Bezier方法是曲线、曲面造型中的一个里程碑，它以逼近原理为基础，应用Bezier方法，可逼近数学曲线、曲面或设计师勾画的草图，起到辅助设计的作用[2-3]。
由于实际应用中的线和面形状复杂，用单一曲线、曲面无法表示，所以有必要对曲线、曲面进行拼接。
1.1 Bezier曲线的定义其中，t∈[0，1]，Pi是特征多边形第i个顶点的坐标（xi，yi）。
依次用线段连接Pi（i=0，1，…，n）中相邻两个向量的终点，组成的n边折线多边形称为Bezier多边形或特征多边形[4]。
Bi，n（t）是伯恩斯坦多项式。
1.2 三次Bezier曲线当n=3时，即为三次Bezier曲线。
三次Bezier曲线用矩阵表示如下：在VC++6.0环境下，新建一个基于MFC的单文档工程。
在工程View.cpp中添加Bezier曲线生成函数，当n＝3时，生成任意两条三次Bezier曲线，如图1所示。
样条曲线是由各个多项式曲线段连接而成，为了保证各个曲线段在连接点处是光滑的，需要满足各种连续性条件[5]。
连续性有参数连续性和几何连续性。
若两条相邻参数曲线段在连接点处具有n阶连续导矢，即n阶连续可微，则将这类连续性称为n阶参数连续性条件，记为Cn。
若只要求两条相邻参数曲线段在连接点处的n阶导矢成比例，而不要求必须相等，则将这类连续性称为n阶几何连续性，记为Gn。
Bezier曲线
x(t) a3xt 3 a2xt 2 a1xt a0x
y(t) a3yt3 a2yt2 a1yt a0y z(t) a3zt 3 a2zt 2 a1zt a0z
t [0,1]
• 矢量表示
P(t
)
a3t
3
a2t
2
a1t
a0
t [0,1]
• 已知P(0),P(1),P’(0),P’(1)
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(IV)
一次Bezier曲线的生成
二次Bezier曲线的生成
例子：n=3时，用de Casteljeu算法 求3次Bezier曲线上的点
当n=3时，de casteljau 算法递推出的Pki呈直 角三角形，对应结果 如右图所示。从左向 右递推，最右边点P30 即为曲线上的点。
• 这一算法可用简单的几何 作图来实现。给定参数t， 就把定义域分成长度为的 两段。依次对原始控制多 边形每一边执行同样的定 比t：(1-t)分割，所得分点 就是第一级递推生成的中 间顶点。
第四章 Bezier曲线曲面(下)
第四章 Bezier曲线曲面Ⅱ第三节 Bezier曲线的升阶与降阶2009-08-29 21、升阶的含义与目的：含义：Bezier曲线的升阶就是保持Bezier曲线的 形状与定向不变的条件下增加控制顶点的个数。
目的：增加对曲线形状控制的灵活性，同时在Bezier 曲线拼接或构造张量积Bezier曲面时也要经常涉及 到Bezier曲线的升阶，需要强调的是Bezier曲线的 升阶并没有影响曲线实际的次数。
2009-08-29 32009-08-2942、升阶公式, 0Bezier ()()nj j n j n p t b B t = = å r r设 次 曲线为： 升阶后变 为：1 (1),1 0()()n j j n j p t b B t + + = = å r r 1 (1),,1()() n n j j n j j n j j b B t b B t + + == = åå r r 令： 即：1 (1)1 1 0(1)(1) n n j jn j j j n jj n j n j j b C t t b C t t + -+- + == -=- åå r r2009-08-295[(1)](1)n j jn jj n j t t b C t t - = +-- å r 对上式左边乘以[t +(1-t )],得：11 0[(1)(1)]nj jn j j n jj n j b C t t t t +-+- = =-+- å r 1 (1)11 1 0(1)(1) n j j n j j n jj n j b C t t t t + +-+- + = -- å r 与 比较项前的系数，可得： (1)111 j j j j n j n j nb C b C b C - +- =+ r r r2009-08-296注：1）从上式可以看出升阶后的控制顶点是升阶前控 制顶点的凸组合，新控制多边形一定在旧控制多 边形的凸包内。
Bézier曲线的升阶
第五章
逆向建ห้องสมุดไป่ตู้曲线构建技术
5.1 模型重构技术概述
5.2 曲线拟合概念
5.3参数曲线、曲面插值与逼近
5.4 样条曲线插值与逼近
5.5 样条曲线的升阶与降阶 5.6 逆向建模曲线构建实例
5.1 模型重构技术概述
5.1.1 模型重建方法分类
（1）按数据类型，可分为有序点和散乱点的 重建； （2）按测量机的类型，可分为基于CMM、激 光点云、CT数据和其他测量数据的重建； （3）按造型方式，可分为基于曲线的模型重 建和基于曲面的直接拟合； （4）按曲面表示方法，分为边界表示、四边B 样条表示、三角面片（B样条，Bezier） 和 三角网格（平面）表示的模型重建等。
pi
（i=0,1,…，n）的参数插值或逼近曲线 ， 必须先给 pi
以相应的称为节点的参数值,使其成为一个严格递增的序列
u
u ＜ ， 0
u1
＜…＜
un
称之为对这组数据实行参数化 ，
un
称为关于参数的一个分割。
其中，每个参数值称为节点或断点。
常用的数据点参数化方法
1)均匀参数化
u0 0 ui ui 1 Pi 1 i 1, 2,, n
的那段曲线则膨得厉害，甚至出现 尖点或打圈自交的情况 。
常用的数据点参数化方法
2）积累弦长参数化（简称弦长参数化）
u0 0 i 1, 2,, n i 1 ui ui 1 P
这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布 情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况 下采用均匀参数化所出现的问题 。 被认为是最佳的参数化方法 。
Bézier曲线到AH-Bézier曲线的升阶算法
Bézier曲线到AH-Bézier曲线的升阶算法沈莞蔷;汪国昭【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)017【摘要】The existing results about curve degree elevation are mainly limited to the same type of curves. In order to push the limit and consider degree elevation between different types of curves, this paper focuses on degree elevation algo-rithm from Bézier curve, defined on algebraic polynomial space, to AH-Bézier curve, defined on algebraic and hyperbolic polynomial space. The study begins with basis functions. Firstly, the transformation matrix from AH-Bézier basis to Bern-stein basis is built by using the block matrix idea and the same property of Bézier and AH-Bézier that the order of basis is reduced for derivative. Secondly, the degree elevation formula of control points is obtained. Lastly, the degree elevation algorithm is given. Results show that any Bézier curve of degree n can be turned into an AH-Bézier curve of order n+3(i.e. degree n+2)by using this algorithm. The algorithm gives an accurate transformation from Bézier to AH-Bézier curve model.%关于曲线升阶，已有的结论往往限于同类曲线之间。
第4讲-贝齐尔曲线
t ∈ [0,1]
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
Pi ⎧ Pi = ⎨ k −1 k −1 ( 1 t ) P tP − + i i +1 ⎩
k
k =0 k = 1,2,..., n,i = 0,1,..., n − k
这便是著名的 de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参 数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
（5）变差缩减性。
若Bezier曲线的特征多边形
P0 P 1LP n
是一个平面
图形， 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直 线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性 质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还 小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。
12
3. Bezier 曲线---性质
22
3. Bezier 曲线---递推(de Casteljau)算法
else {
}
::Sleep(5); ddaline (a.x, a.y, t1.x, t1.y, COLOR); ddaline (t1.x, t1.y, t4.x, t4.y, COLOR); ddaline (t4.x, t4.y, t2.x, t2.y, COLOR);
（6）交互能力 改变曲线的形式，只需改变控制点Pi 。 （7）可分割性
2 P 1
2 0
P
P 1
P
1 1
P2
P21
P01
P0
P03 = P(1 / 3)
P3
13
3. Bezier 曲线---递推(de Casteljau)算法
解析几何中抛物线的三切线定理 设A,B,C是抛物线上顺序的三点，A点和C点的两切线交与 D点，在B点的切线分别交AD 和CD与E和F，则：
Bezier曲线曲面的拼接
Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造方法。
其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。
在实际应用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。
本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。
一、Bezier曲线曲面的构造Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲线方程即可。
其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲线方程则用于描述控制点间的线段的形状。
对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$这个公式包含两个部分。
第一部分是二项式系数$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组合数。
第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲线上占据的位置和弧长。
通过这两部分的组合，我们可以得到一个平滑连续的Bezier曲线。
对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)P_{ij}$$其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。
这个方程就是通过控制点的二维数组来描述空间中的三维曲面的。
二、Bezier曲线曲面的拼接当需要在一个三维场景中绘制复杂的曲面形状时，往往需要将不同的曲面拼接起来。
Bezier曲线曲面的拼接可以通过各种方法实现。
以下介绍两种常用的拼接方法。
1. 曲面连接法曲面连接法需要将拼接曲面共享一个相邻控制点，从而使得两个曲面连接处的网格点重合。
基于遗传算法的Bézier曲线降多阶逼近
基于遗传算法的Bézier曲线降多阶逼近【摘要】为了减少曲线表示的存储量，实现高低阶曲线数据传递的有效性，应用Bézier曲线的基本性质，基于遗传算法，提出了Bézier曲线降阶算法，实现了Bézier曲线的一次降多阶，降阶后的曲线直接以显式给出，操作简单，直观性强。
【关键词】Bézier曲线；降阶；遗传算法1.引言参数曲线曲面在许多造型系统中都有重要的应用，不同的造型系统中多项式基的次数是不同的，如果在系统间进行数据传递[1]，就需要将参数曲线曲面的阶数统一起来。
由于高阶曲线可以精确的表示低阶曲线，一般来讲，低阶曲线却不能精确表示高阶曲线，近年来，参数曲线曲面的降阶问题引起了国内外许多学者的兴趣。
同时，降阶曲线可以减少数据的存储量，提高了造型系统的效率。
此外，降阶处理也应用在曲线的光顺处理过程中[2]。
Bézier曲线由于本身具有的良好的性质，被广泛应用于计算机辅助设计和制造，国内外许多学者研究了Bézier曲线的降阶问题[3-6]。
Hoschek[3]首先对原曲线进行离散，然后利用原曲线的几何信息，通过多段低阶曲线来插值逼近原曲线；Worsey[4]，Lachance[5]及Eck[6]利用Chebyshev多项式理论，对降阶进行了研究；胡事民[7]提出了B网扰动和约束优化的方法等。
这些方法只进行了一次降阶，如需多次降阶，则要循环运用算法，这样一方面是计算繁琐耗时大，另一方面是误差有可能会很大。
2002年陈国栋和王国瑾[8]给出了带端点插值条件的Bézier 曲线一次降多阶逼近方法；郑建民和汪国昭[9]着眼于几何逼近技术，对原曲线控制顶点作最小扰动来得到约束降多阶曲线。
这些研究或者计算繁琐，或者没有很好的误差估计，逼近精度未必最佳，或者没有降阶后曲线的显式表示。
本文在上述研究的基础上，应用遗传算法的性质特点，与Bézier曲线降阶相结合，运用matlab工具箱实现了多次降阶。
有理Bezier曲线的拼接
严兰兰 ! 宋来忠 ! 李军成
! 三峡大学 理学院 " 湖北 宜昌 !+ # + , " " ! 摘要 ! 有理 . 正 得 到 越 来 越 多 的 研 究! 并在 6 " @ c > @ Q曲线作为有理 . 样 条 曲 线 的 特 例 ! : 4 6 :5 领 域中得到越来越广泛的应用 * 依据 . 研究了有理 . 给出了两 @ c > @ Q曲线理论 ! @ c > @ Q曲线的拼接问题 !
+# 有理 . 末边相切 ! 且" @ c > @ Q曲线和特征多边形的首 ’
切矢方向 * 亦即应满足如下条件 * %*’ % @$ " ! @$ ’ # 式中 ! ’ 为一正常数 * $ % %
<’ $ %* ! ! @$ " "’ +""% <" , <!+’ $ . %* ! ! @$ ’ "! +"!+’% <! 有理 . 末端点的二阶导矢为 @ c > @ Q曲线首 ’ $ % ! ! <’ ( %* ! !+’ <! $ ! A$ " "! +""% 0 <" <"
’ 为使其达到 : 连续 ! 顶点 !C+’ 和 # ’ 必须共线 *
#! 有理 ! . H ; . 7曲线的拼接
万方数据 在设计复杂的 自 由 曲 线 ’ 曲 面 时! 人们经常应用 分段 ’ 分片技术 * 对于有理 . 两段 @ c > @ Q曲线亦不例外 * 有理 . 在连接点处应满足指定的连 @ c > @ Q曲线拼接时 ! ’ ! 续性要求 * 若仅要求达到 : 和: 连续则可方便地用 图解方法实现 * 令 !$ 和 #$ 为两条有理 . =% B% @ c > @ Q曲 线 ! !$ =% 由! ) 定义 ! $ % 由 ) 定 义 ! $ % ! !C != 和 #B # # # " ’ " ’ ! 具 有 公 共 连 接 点! 也 就 是 这 里 !C 1# 如图’ B% #$ "* 所示 *
贝塞尔曲线
8.4 Bezier曲面
利用Bezier曲线的性质，张量积形式的Bezier曲面的定 义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点 可作为矩形网格。设Pij (i=0,…,n; j=0,…,m)为空间点列， 这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格， 其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的m×n次张量 积形式的Bezier曲线为
4、仿射不变性 Bezier曲线的形状和位置仅与控制点的位置有关。这 是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点 Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择 5、凸包性 由于Ｂernstein多项式的性质， Bezier曲线落在控制点 的凸包内 6、交互能力 移动第k个结点，对Bezier曲线在t=k/n处的影响最大．
13 23
P03 P(u,1) P33
P02
P12
P22 P32
P(0,v)
P11
P21 P31
P(1,v)
P01 P10 P20
P(u,0) P00 P30
是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中，n,m不大于4。 Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是，其它许 多性质可推广到Bezier曲面。
根据上述定义， 1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点，而与坐标系 无关（几何不变性）； 2.Bezier曲面有关于参数的对称性； 3.Bezier曲面有凸包性。 P P
证明：
k (1 − t ) Bk ,n (t ) = Cn t k (1 − t ) n+1−k =
n + 1 − k ( n + 1)! k t k (1 − t ) n+1−k = 1 − Bk ,n+1 (t ) n + 1 k!( n + 1 − k )! n +1
bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接
bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面的拼接摘要曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之1，Bézier曲线曲面又是计算机图形学中常用的曲线曲面，它采用分段和分片参数多项式的形式。
Bézier曲线曲面之所以被广泛使用是因为它有许多特别适合计算机图形学和计算机辅助几何设计的特点。
本文依次详细论述了Bézier曲线的定义和性质、Bernstein基函数性质、介绍了双3次Bézier曲面、递推算法、构图法及其应用、Bézier曲线曲面的拼接。
通过对Bézier曲线曲面的论述，阐述了Bézier曲线曲面的原理及其特性，研究Bézier曲线拼接的几何连续性及参数连续性,总结出G ,G 及C ,C 连续的几何意义。
最后研究了Bézier曲面拼接的几何连续性。
关键词： C 连续;G 连续;Bernstein基函数;参数连续性;几何连续性Abstract The curve curved surface expression is one of computer graphics important research contents, Bézier the curv e curved surface also is in the computer graphics the commonly used curve curved surface, it uses the partition and the lamination parameter multinomial form. Bézier the curve curved surface the reason that by the widespread use is because it has many suits the computer graphics and the computer assistance geometry design characteristic specially. This article in detail elaborated Bézier the curve definition and the nature, the Bernstein primary function nature in turn, introduced a pair of three Bézier cu rved surface, the recursion algorithm, the composition law and the application, Bézier curve curved surface splicing. Through to Bézier the curve curved surface elaboration, elaborated Bézier the curve curved surface principle and the characteristic, the r esearch Bézier curve splicing geometrycontinuity and the parameter continuity,Summarizes G,G and C,C continual geometry significance. Finally has studied Bézier thecurved surface splicing geometry continuity.Key words： C continuity ; G continuity; Bernstein basic function ; parametric continuity ; geometric continuity。
Bezier曲线的拼接及其连续性
1．一次Bezier曲线(n=1)
一次多项式，两个控制点
Q(t ) Pi Bi ,1 (t ) (1 t ) P0 tP 1
i 0
1
t [0,1]
这是一条连接起点和终点的直线段
2．二次Bezier曲线(n=2)
二次多项式，三个控制点
( P B (t ))
i 0 i i i
4
2
最小，需要求每一段Bezier曲线的控制点。 按照这种算法需要反求控制顶点，随着数据采集量的增大， 2 计算量成 n 倍增长，且反求控制点的矩阵若为病态矩阵， 则求解更耗时间，拼接的结果也不尽人意。
4.C1的二次B样条闭曲线
馒头
B样条曲线代码：
Q(t ) at bt c
2
Q (t ) t
2
1 2 1 P0 2 2 0 P t 1 1 1 0 0 P2
说明二次Bezier曲线为抛物线。
二次Bézier曲线图示
二次Bezier曲线的三条调和函数
B0, 2 B2, 2
P0 , P , P2 ,..., Pn ，拼接的Bezier曲线为 1
B(t ), t [0,1]
P0 , P , P2 ,..., Pn 参数化到[0,1]区间上的值，即求 1
。常采用弦长参数法
t0 , t1 , t2 ,..., tn ti [0,1]
Step 2： 对每一段三次的Bezier曲线，有
i 1 n
起始点： 终止点：
Q(0) n( P P0 ) 1
Q(1) n( Pn Pn1 )
（3）对称性
bezier曲线
n
n
P * (t) Pi*Bi,n (t) PniBi,n (t)
i0
i0
n
n
PniBni,n (1 t) PiBi,n (1 t)
i0
i0
P(1 t) , t 0,1
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(3) 凸包性
n
由于
Bi,n (t) 1,
(7) 最大值
Bi,n ( t ) 在 t=i/n 处达到最大值。
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(1) 端点性质
曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得： 当t=0时，P(0)=P0 ； 当t=1时，P(1)=Pn ;
由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终 点重合。
4.2 Bézier曲线
Bézier Curves
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近 为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成 了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该 系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心 应手。
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2,,n 1)
(2) 端点性质
Bi,n(0)=
1, i=0 0, i≠0
Bi,n(1)=
1, i=n 0, i≠n
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
n
Bi,n (t) 1, t 0,1
Bezier曲线的绘制和拼接实验报告
Bezier曲线的绘制实验报告一、程序实现环境1操作系统：Windows XP 、Windows72.编程语言：C++3.程序实现环境：Visual C++ 6.0二、算法思想三、使用说明程序界面如下图：用户可以在编辑框中输入4个控制点的坐标，也可以通过在绘图区内直接通过鼠标的单击指定4个控制点的位置，输入4个控制端点后，单击“画Bezier曲线”按钮即可绘制Bezier曲线。
四、实验结果五、程序代码（关键代码）void CMFC_BezierCurve2Dlg::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) {if(pointOrd==1) //原点(490,270){m_p1_x = point.x - 490;m_p1_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==2){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p1_x, 270-m_p1_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p2_x = point.x - 490;m_p2_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==3){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p2_x, 270-m_p2_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p3_x = point.x - 490;m_p3_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==4){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p3_x, 270-m_p3_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p4_x = point.x - 490;m_p4_y = 270 - point.y;}pointOrd++;UpdateData(FALSE);CDialog::OnLButtonDown(nFlags, point);}voidGetCnk (int n, int *c){inti,k;for(k=0; k<=n; k++){c[k]=1;for(i=n; i>=k+1; i--) c[k]=c[k]*i;for(i=n-k; i>=2; i--) c[k]=c[k]/i;}}void CMFC_BezierCurve2Dlg::GetPointPos(intControlN, double t, int *c) {int k, n=ControlN-1;double Bernstein;Pt.x=0.0; Pt.y=0.0;for(k=0; k<ControlN; k++){Bernstein=c[k]*pow(t,k)*pow(1-t,n-k);Pt.x += ControlP[0][k].x * Bernstein;Pt.y += ControlP[0][k].y * Bernstein;}}void CMFC_BezierCurve2Dlg::OnButtonDrawBeziercurve(){UpdateData();pointOrd=1;CDC *pDC=GetDC();ControlP[0][0].x=m_p1_x;ControlP[0][0].y=m_p1_y;ControlP[0][1].x=m_p2_x;ControlP[0][1].y=m_p2_y;ControlP[0][2].x=m_p3_x;ControlP[0][2].y=m_p3_y;ControlP[0][3].x=m_p4_x;ControlP[0][3].y=m_p4_y;pDC->MoveTo(490+m_p1_x, 270-m_p1_y);pDC->LineTo(490+m_p2_x, 270-m_p2_y);pDC->LineTo(490+m_p3_x, 270-m_p3_y);pDC->LineTo(490+m_p4_x, 270-m_p4_y);int *C, i;intControlN=4, m=500;C=new int[ControlN];GetCnk (ControlN-1, C);for(i=0; i<=m; i++){GetPointPos(ControlN, (double)i/(double)m, C);pDC->SetPixel(490+Pt.x, 270-Pt.y, 255);}}两段Bezier曲线的拼接实验报告一、程序实现环境1操作系统：Windows XP 、Windows72.编程语言：C++3.程序实现环境：Visual C++ 6.0二、算法思想三、使用说明程序界面如下图：用户可以在编辑框中输入4个控制点的坐标，也可以通过在绘图区内直接通过鼠标的单击指定4个控制点的位置，输入4个控制端点后，单击“画Bezier曲线”按钮即可绘制Bezier曲线。
Bezier曲线曲面
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示 方法, 已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的 P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计 方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数 逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用 作图工具一样得心应手。
– GC2条件？
8/12/2020
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拼接命题
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n) 和Qj(j=0,1,..., m)，且令 ai Pi Pi1,bj Qj Qj1，如图3.1.13所示，我们现 在把两条曲线连接起来。
Pn-2
Pn-1
an
形顶点 Q2，而顶点
、 已被 Q0
Q1
G1连续条件所确定。要达到 连 G2
续的话，只剩下顶点 Q2 可以自由选取。
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连接条件
如果从上式的两边都减去 Pn ，则等式右边可以表示为 和 (Pn Pn1) 的 线性组合： (Pn1 Pn2)
Q2
Pn
2
2
n
1
(
Pn
Pn1) 2 (Pn1
并满足方程
。 Q"(0) 2P"(1) P'(1)
我们将 、 和 Q"(0) P"(1)
P' (1)
可以得到：
， Q0 Pn
、Q1 Q2 (Pn Pn1)
代入，并整理，
Q2
2
2
n 1
1
Pn
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2、Bezier曲线的降阶 降阶是升阶的逆过程
a 0 + a1t + a 2 t 2 + a 3t 3 = b0 + b1t + b2 t 2
如果a3不等于0，想找一个二次多项式精确等于它是不可 能的。如果一定要降下来，那只能近似逼近
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五、Bezier曲线的升阶与降阶
假设有一个二次多项式：
a 0 + a 1t + a 2 t = 0
能否找一个三次多项式近似逼近这个二次多项式，或精 确地转成一个三次多项式？
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a 0 + a 1t + a 2 t 2 = 0 a 0 + a 1t + a 2 t 2 + 0 ∗ t 3 = 0
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（1）要使它们达到 G0连续，则：Pn= Q0
（2）要使它们达到G1连续，只要保证Pn-1，Pn=Q，Q1三点共 线就行了 Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第 一条边及最后一条边的走向一致
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∑
i=0
n
C Pi t (1 − t )
i n i
n −i
=
i * i n +1− i − C P t ( 1 t ) ∑ n +1 i i=0
n +1
i i i −1 Pi * C n = P C + P C +1 i n i −1 n
* P 化简即得： i =
i i Pi −1 + 1 − Pi n +1 n +1
Bezier曲线曲面升降阶的重要性 第一 它是CAD系统之间数据传递与交换的需要 第二 它是系统中分段(片)线性逼近的需要．通过逐次降 阶，把曲面化为直线平面，便于求交和曲面绘制 第三 它是外形信息压缩的需要。降阶处理以后可以减少 存储的信息量
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所谓升阶就是保证曲线的形状和定向保持不变，但是要增加 顶点个数 伯恩斯坦基函数不是简单的t2、t3，2次Bezier基函数是Bi,2 ，3次是Bi,3，如何从Bi,2转化成Bi,3的形式？
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1、Bezier曲线的升阶 所谓升阶是指保持Bezier曲线的形状与方向不变，增加定义 它的控制顶点数，即提高该Bezier曲线的次数 设给定原始控制顶点p0,p1..pn，定义一条n次Bezier曲线
(i = 0,1, L , n + 1)
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三次Bezier曲线的升阶实例如下图所示：
P
* 1
P 1
P2*
P2 P
* 3 * = P3 P4
* = P0 P0
新的多边形更加靠近曲线。在80年代初，有人证明如果 一直升阶升下去的话，控制多边形收敛于这条曲线
如果把a3t3扔掉，也不是不可以，但误差太大。必须想办 法找到一个二次多项式，尽量逼近这个三次多项式
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假定Pi是由Pi*升阶得到，则由升阶公式有：
Pi n − i i * Pi + = Pi* −1 n n
四、Bezier曲线的拼接 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形 状。这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲 线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难
p (t ) =
∑
n
i=0
Pi B i , n ( t )
i i n −i t ( 1 − t ) n
t ∈ [ 0 ,1 ] ( i = 0 ,1 ,.... n )
从这个方程可以导出两个递推公式：
nPi − iPi * −1 Pi = n−i
*
i = 0,1, L , n( n − i ) Pi * = i
i = n , n − 1, L ,1
可以综合利用上面两个式子进行降解，但仍然不精确
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P (t ) =
∑ PB
i=0 i
n
i ,n
(t )
t ∈ [ 0 ,1]
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增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为 P0*,P1*,...,Pn+1*，则有：
P
* 1
P 1
P2*
P2 P
* 3 * = P3 P4
* = P0 P0
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B i ,n ( t ) =
C
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采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来， 并在接合处保持一定的连续条件
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给定两条Bezier曲线 P(t)和 Q(t)，相应控制点为 Pi(i =0,1,...,n)和 Qi(i=0,1,...,m)