Bezier曲线的拼接及其连续性
第10部分_计算机图形学_Bezier曲线
n 1
• 当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)， • 当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， • 说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的 第一条边及最后一条边的走向一致。
2013-8-20
第10部分 Bezier曲线
第11页
– 二阶导矢
P(t ) n(n 1) ( Pi 2 2 Pi 1 Pi ) Bi ,n 2 (t )
第10部分 Bezier曲线 第19页
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– 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线 Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合： P0n (1 t ) P0n 1 tPn 1 t [0,1] 1 – 由此得到Bezier曲线的递推计算公式
P0 P01
P1 P11
P02
P2
Bezier曲线上的点
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P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
P1 (1 t ) P tP2 1 1 P02 (1 t ) P01 tP1 1
P2
P01
P0
P02
P02 (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P t 2 P2 1
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Bezier 曲线历史
– 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面 表示方法, 已不能满足用户的需求。 – 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种 以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用 这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
bezier曲线
Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
试推导三次Bezier曲线的一阶几何连续的拼接条件
★★★★★
1、试推导三次Bezier曲线的一阶几何连续的拼接条件
答：
1）如图所示，设首段Bezier曲线由P0P1P2P3组成，第二段由Q0Q1Q2Q3组成
2）则两段曲线方程为：
3）满足零阶连续条件为：
4）满足一阶几何连续（光滑连续）的条件为：
，由此可得：
5）
2、计算由控制点P0（0，0，0）、P1（20，40，0）、P2（60，50，0）、P3（80，0，0）确定的三次Bezier曲线参数t＝0.5时曲线上点的值
答：
= [ 1/8 3/8 3/8 1/8 ] [ A B C D]T
将上式A、B、C、D以题目中P0、P1、P2、P3坐标代入，
得：[ x y z ] = [ 0，30，15 ]
3、如图所示形体，填写Brep表达的边表和环表，给出形体的点、边、环、面数目
注：只填写ABFE面上的边表
注：只填写ABFE 面和CDEF 面上的环表
该形体的顶点数为： ，边数为： ，环数为： ，面数为： 。
答案：
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计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线
任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。
◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。
多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。
6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
第二章 Bézier曲线
§1.一般介绍 §2.Bézier曲线的定义及性质 §3.de Casteljau算法 §4.Bézier曲线的其它表示形式及导数 §5.组合Bézier曲线和几何连续性 §6.Bézier曲线修形及升阶
§1.一般介绍
Bézier曲线是分别由法国 Citroën 汽车公司的de Casteljau大约于1959年 和法国Renault汽车公司的Bézier大约 于 1962 年独立研制的.由于以Bézier 方法为基础的 UNISURF 系统首先公开 发表,所以现在这一方法冠以Bézier的 名字.
升阶图例2
形状修改图例
de Casteljau算法图例2
de Casteljau算法图例3
de Casteljau算法图例4
§4.Bézier曲线的其它 表示形式及其导数
用边向量表示的Bézier曲线
Bézier曲线的导数
Bézier曲线的差分表示形式
用边向量表示的Bézier曲线(证明)
Bézier曲线的导数1
图例：三次Bézier曲线
Bézier曲线的定义(现在)
Bernstein多项式的性质(1)
1.单位分解性
2.非负性 3.端点性质
Bernstein多项式的性质(2)
4.对称性
5.递推公式 6.导函数 7.最大值
Bernstein多项式的性质(3)
8.升阶公式 9.分割公式 10.积分公式 11.与幂基的转换公式
P
0 1
P
1 1
P
2 0
P
3 0
P
0 2
P
2 1
P
1 0
P
1 2
n次有理Bézier曲线与C-B样条曲线的连续性条件
Ｂ 条曲线和 Ｂ６ ｉ 曲线在计算机 辅助几何设计 和工程设计 中都有着 十分重要 的作 用 ， 样 ｅ ｚｒ 但是他 们都不能精确地表示
二次曲线（ 圆锥 曲线 ）人们随 即又提 出了有理 Ｂ样条曲线和有理 Ｂ６ ｉ 曲线 ， 且很 好的解决 了这个 问题 ， ， ｚ ｒ ｅ 并 大多数 的规则 二次曲线都能够得到精确地表 示 ， 但是有 理 Ｂ 条曲线和有理 Ｂ６ ｉ 曲线不 含有参数 因子 ， 样 ｅ ｚｒ 制约 了调整 曲线 的灵活性 ， 继 而又将 其推广到 Ｎ Ｒ Ｓ Ｕ Ｂ 曲线 ， 然 Ｎ Ｒ Ｓ曲线 自身带有参数 因子 ， 虽 Ｕ Ｂ 在工 程应 用 中灵活性 比较大 ， 但是 Ｎ Ｒ Ｓ曲线 的计算 Ｕ Ｂ 量 比较大 ， 因此在计算 机辅助几 何设计 的应用 中受 到 了很 大的限制． 为此张继文 “等用三角基 函数替换 了多项式基 函数 ， 提 出了一条带参 数 的新 曲线——ｃ 曲线 ， 一 这种 曲线解决 了 Ｎ Ｒ Ｓ曲线 的计算量 大的问题 ， Ｕ Ｂ 并且 还具有许 多 良好的性 质 。
但 是 Ｃ Ｂ样 条 曲 线 和 Ｂ样 条 曲 线 有 许 多相 似 的 性 质 ， 如 都 不 能 精 确 表 示 Ｃ ＤＣ Ｍ 中 常用 的 半 圆弧 等 ， 此 刘 飞 等 提 — 例 Ａ ／Ａ 为
出了 ｃ Ｂ样条 曲线和有理 三次 Ｂ６ｚ ｒ — ｉ 曲线 的 Ｇ拼接条件 ， ｅ 。 较好 的解决 了这个 问题 ， 但是在一般 的工程设计 中 ， 不可 能仅用 到有理三次 Ｂ６ｚ ｒ ｉ 曲线 ， ｅ 而是 可以使用任意 次的有理 曲线 ， 于此类情况本 文给 出了Ｃ Ｂ 条 曲线和 Ｉ 鉴 —样 ｔ 次有理 Ｂ６ ｉ 曲 ｚ ｒ ｅ 线 的光 滑拼 接条件， 也即是在文献 ［ ］ ６ 的基础 上做 了推广 ， 这样可 以满足工程上 的一些需要 ．
Bezier曲线的拼接及其连续性
’+)
［’］ !"%*+,"$* 基函数的性质 （’）正性
（ )% ， # ’）
{
收稿日期： )((3 2 (1 2 ’4
当 ’ L (， (， ’， （ % L (， …， ’， # 2 ’） {L 当 ’# （(， M (， ’） 当 ’# （(， ’）
［$， ’］ 为两曲线不仅在连接点处达到 1" 和 1# 连续， 还要求密切平面重合， （$）1 ! 级连续的充要条件 ! 副法线向量同向且曲率连续， 更确切地说是曲率矢连续， 即1。
从 +,-.,/ 曲线的端点性质知道， （ %） 在终点的副法线向量和 （ %） 在起点的副法线向量分别是： (
万方数据 图 #
1" 连续示意
图!
1# 连续示意
青海大学学报 第 %% 卷 13 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
CAGD-005(Bezier曲线曲面)
n −i
P (u ) = ∑ Bn , i (u )Vi
i =0
T P(u , w) = UMB BBMBV T
U = u3 u2 u 1
3
[ V = [w
]
w2 w 1
]
⎡−1 3 − 3 ⎢ 3 −6 3 MB = ⎢ ⎢− 3 3 0 ⎢ ⎣1 0 0
1⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦
5.7 Bezier曲面
⎡V00 ⎢V ⎢ 10 ⎢V20 ⎢ ⎣V30 V01 V02 V03 ⎤ V11 V12 V13 ⎥ ⎥ V21 V22 V23 ⎥ ⎥ V31 V32 V33 ⎦ ⎡ (1 − w)3 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 3(1 − w) w⎥ ⎢ ⎢3w2 (1 − w)⎥ ⎢ ⎥ w3 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
P(u , w) = (1 − u )
Bn , i (u ) = C u (1 − u )
i n i
n −i
正性： ⎧0 ≤ B(0), i(u ) ≤ 1
⎨ ⎩B n,0 (0) = Bn, n (1) = 1
0 ≤ u ≤1
混合性：
∑B
i =0
n
n,i
(u) = 1
i = 0 , 1, Ln
对称性： Bn, i (u) = Bn, n−i (1−u) , 最大值：当 u =
5.3 Bezier曲线的性质
Bezier曲线性质 端点性质：P(0)=V0 P(1)=Vn P’(0)=n(V1-V0) P’(1)=n(Vn-Vn-1)
V1 V0 u=0 P(u) Байду номын сангаас=1 V2
V3
这说明Bezier曲线与特征多边形的首边、末边相切，且首末端切矢 的模长分别等于首末边边长的n倍。 凸包性：Bezier曲线上各点均落在由特征多边形构成的凸包内。 包络性： 包络线——与曲线族都相切的线 包络面——与曲面族都相切的面
应用Fortran语言实现Bézier曲线的G~2阶连续性拼接
作者简 介 ： 胡国武 ， ， 士研究生 ， 男 硕 研究方 向： 汽车儿童安全座椅 。林辉 ， ， 男 硕士研究生 ， 研究方向 ： 汽车车身轻量化 。
２１ ０ １年第 ４期
计算机与数字工程
Ｐ ， ， ， 的凸包 之 内 。 ｚ … 户
６ ）变 差 减 少 （ ａｉ ｉｎ ｄｍｉｉｈｎ ） 质 （ ｖ ｒ ｔ ｉ ｎｓ ｉｇ 性 ａｏ 又 称 ＶＤ性 质 ） 。任一平 面 与 贝齐 尔 曲线 的交 点 数 不
其 中， 线 Ｐ Ｐ Ｊ … 称 为 曲线 Ｐ（ 的控 制 多 折 Ｏ Ｐ ）
边 形或 特征 多边形 。
集合 。即 ： ￣ｉｒ曲 线 Ｐ（） 于 其 控 制 顶 点 Ｐ ， Ｂｚ ｅ 位 ｏ
＊
收 稿 日期 ：０ ０年 １ 月 ２ ２１ Ｏ １日 ， 回 日期 ：０ ０年 １ 月 ２ ｔ 修 ２１ １ ５Ｅ
Ｕ （ － ｕ 一 ｉ１ ）
上式 中 的 Ｂ （） 为 伯 恩斯 坦 （ ｅｎｔｉ） ￡称 Ｂ ｒｓｅ 基 ｎ 函数 ， 也称 为各 点 位 置 向量 的 调 和 函数 ， 表 达式 其
为：
Ｂｉ ， ｎ
５ ）凸包 （ｏ ｖ ｘｈ ｌ 性 质 。一 个 点 集 的 凸包 ｃ ｎ ｅ ｕ１ ） 被定 义 为 由该 点 集 的元 素 形 成 的所 有 的 凸 组合 的
１ 点性 。 当 ｔ ）端 ＝０时 ， （ ） Ｐ Ｏ 一 。 故 Ｐ 定 ， 决 曲线 的起 点 ， 当 一１时 ， １ 一 ， （ ） 故 决 定 曲线 的终点 。因此 ， ｅｉ Ｂ ｚ ｒ曲 线 的起 点 、 点 与相 应 的 ｅ 终
贝齐尔 曲线 描 述 方 法使 用 Ｂ ｒｓｅ ｅｎｔｉ 函数 ， ｎ基 曲线 由一组称 为 特征 多边形 的折 线 定义 ， 线 的顶 折
Bezier曲线曲面的拼接
Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造方法。
其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。
在实际应用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。
本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。
一、Bezier曲线曲面的构造Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲线方程即可。
其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲线方程则用于描述控制点间的线段的形状。
对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$这个公式包含两个部分。
第一部分是二项式系数$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组合数。
第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲线上占据的位置和弧长。
通过这两部分的组合，我们可以得到一个平滑连续的Bezier曲线。
对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)P_{ij}$$其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。
这个方程就是通过控制点的二维数组来描述空间中的三维曲面的。
二、Bezier曲线曲面的拼接当需要在一个三维场景中绘制复杂的曲面形状时，往往需要将不同的曲面拼接起来。
Bezier曲线曲面的拼接可以通过各种方法实现。
以下介绍两种常用的拼接方法。
1. 曲面连接法曲面连接法需要将拼接曲面共享一个相邻控制点，从而使得两个曲面连接处的网格点重合。
bezier曲线的拼接及其连续性
bezier曲线的拼接及其连续性
贝塞尔曲线是一种二次多项式曲线，它可以表示物体在三维空间中的运动状态，从而可以以精确的方式模拟物体的运动轨迹。
贝塞尔曲线可以非常精准地模拟物体的移动，如自然界中物体的运动曲线，如果使用椭圆形或抛物线，无论是位移还是移动的加速度都可以被精确地模拟出来。
这些特性决定了贝塞尔曲线在各种科学，工程和艺术领域的广泛应用，例如城市设计，动画，建筑，电影制作，图形设计，工业设计，舞蹈，等等。
因为它可以表达丰富多样，复杂形式、自然运动状态，更容易处理处理复杂动画和游戏平台中的小游戏功能。
贝塞尔曲线一般被研究为一簇控制点，通过理论分析可以证明，连接控制点的位置及其特性关系，可以用来提取参数表达的曲线。
为了确保曲线的连续性，贝塞尔曲线可以像串联火柴一样，用控制点和节点来表达曲线，控制点是具有控制功能的点，它控制曲线的变化，节点是分别由控件点定义的点，通过节点的相互连接，可以有条理的拼接出贝塞尔曲线，从而保证曲线的连续性。
贝塞尔曲线的连续性是贝塞尔曲线的重要特性之一，它决定了贝塞尔曲线的控制精度和平滑度。
也就是说，连续性是控制贝塞尔曲线的重要条件之一。
建立贝塞尔曲线的前提是形成一簇连续性好的控制点，然后，通过各个控制点将贝塞尔曲线拼接起来，最终形成具有良好连续性的曲线。
因此，要想实现质量不变的曲线，而且满足曲线连续性的要求，节点和控制点之间的位置及其特性关系对其求出来的曲线拼接结果至关重要。
贝塞尔曲线的拼接及其连续性是重要的，因为它可以表示物体的精确运动轨迹。
正是贝塞尔曲线的控制精度和平滑度，才有可能表达丰。
Bézier曲线
t 从0变到1
P01 (1 t )P0 tP1 P11 (1 t )P1 tP2 P02 (1 t )P01 tP11
(1) (2) (3)
抛物线三切线定理
这表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
在此输入文本内两容个，在顶此点输(文P0本,P内1容)和，后两个顶点(P1,P2)决定的一次
（6）导函数 B'i,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t i 0,1,..., n
（7）最大值
Bin
(t)在t
i n
处达到最大值
（8）升阶公式
(1 t)Bi,n(t) (1 i )Bi, n 1(t) n 1
tBi, n(t) i 1 Bi 1, n 1(t) n 1
如图所示，设P0、P02、P2 是一条抛物线上顺序 三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在 点成P立02：的切线pp交001ppP0110P1和pp111Ppp1212P1于ppP00120pp101和12 P11 ，则如下比例
这是所谓抛物线的三切线定理 。
图抛物线三切线定理
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
Cni ti (1 t)ni
(n
n! ti i)!i!
(1 t)ni , (i
0,1,...,
n)
Bernstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
（2）端点性质
Bi,n(0) =
1, i = 0 0, i ≠ 0
Bi,n(0) =
有理Bezier曲线的拼接
严兰兰 ! 宋来忠 ! 李军成
! 三峡大学 理学院 " 湖北 宜昌 !+ # + , " " ! 摘要 ! 有理 . 正 得 到 越 来 越 多 的 研 究! 并在 6 " @ c > @ Q曲线作为有理 . 样 条 曲 线 的 特 例 ! : 4 6 :5 领 域中得到越来越广泛的应用 * 依据 . 研究了有理 . 给出了两 @ c > @ Q曲线理论 ! @ c > @ Q曲线的拼接问题 !
+# 有理 . 末边相切 ! 且" @ c > @ Q曲线和特征多边形的首 ’
切矢方向 * 亦即应满足如下条件 * %*’ % @$ " ! @$ ’ # 式中 ! ’ 为一正常数 * $ % %
<’ $ %* ! ! @$ " "’ +""% <" , <!+’ $ . %* ! ! @$ ’ "! +"!+’% <! 有理 . 末端点的二阶导矢为 @ c > @ Q曲线首 ’ $ % ! ! <’ ( %* ! !+’ <! $ ! A$ " "! +""% 0 <" <"
’ 为使其达到 : 连续 ! 顶点 !C+’ 和 # ’ 必须共线 *
#! 有理 ! . H ; . 7曲线的拼接
万方数据 在设计复杂的 自 由 曲 线 ’ 曲 面 时! 人们经常应用 分段 ’ 分片技术 * 对于有理 . 两段 @ c > @ Q曲线亦不例外 * 有理 . 在连接点处应满足指定的连 @ c > @ Q曲线拼接时 ! ’ ! 续性要求 * 若仅要求达到 : 和: 连续则可方便地用 图解方法实现 * 令 !$ 和 #$ 为两条有理 . =% B% @ c > @ Q曲 线 ! !$ =% 由! ) 定义 ! $ % 由 ) 定 义 ! $ % ! !C != 和 #B # # # " ’ " ’ ! 具 有 公 共 连 接 点! 也 就 是 这 里 !C 1# 如图’ B% #$ "* 所示 *
有理Bézier曲线段的几何连续拼接
有理Bézier曲线段的几何连续拼接于存光;王宏久【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2011(30)3【摘要】本文提出了通过调整权因子而不是改变控制顶点采修改有理三次Bézier 样条曲线的形状,实现了相邻两段Bézier曲线间的C3连续拼接:实现了两段分离的Bézier曲线之间的G3连续过渡;在不改变给定控制顶点的情况下,能实现整体曲率连续的闭曲线造型;在仅仅修改或插入两点的情形下实现了整体G3连续的闭曲线造型.%In this thesis, a new method is proposed for adapting the shape of the rational cubic Bézier curve via the change of the weights.As a result, the continuity between two adjacent rational cubic Bézier curves and the continual transition between two separate rational cubic Bézier curves ar e achieved.Furthermore, the closed curve modeling of the complete continuity can be realized by changing or inserting two vertices instead of modifying the defined controlling vertices.【总页数】1页(P205-205)【作者】于存光;王宏久【作者单位】黑龙江科技学院,哈尔滨,150027;黑龙江科技学院,哈尔滨,150027【正文语种】中文【中图分类】O18【相关文献】1.一类有理参数变换及其在曲面几何连续拼接中的应用 [J], 姜献峰;鲁聪达2.关于有理Bezier曲面片的几何连续拼接问题 [J], 康宝生;周儒荣3.三次有理Bézier曲线与HC-Bézier曲线的拼接 [J], 张丹丹;吴欢欢4.两种Bézier曲面形式的转换及几何连续拼接 [J], 胡事民5.有理Bézier曲线的几何连续条件及其应用 [J], 姜献峰;梁友栋因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Bézier曲线
几何不变性：Bézier曲线 的形状仅与控制多边形有 关，与坐标系无关
Bézier曲线的凸包性
5
Bézier曲线剖分性质
Bézier曲线剖分示意图
SubdivideBezierCurve(t0, R(t)) {
for(i=0; i<=n; i++) Ri(0)=Ri;
位置连续：C0(或G0) n次导数(或几何)连续：Cn(或Gn)
8
for(s=1; s<=n; s++) for(i=0; i<=n-s; i++)
Ri(s)=(1- t0) Ri(s-1)+ t0Ri+1(s1); }
Bézier曲线剖分算法描述
6
Bézier曲线剖分性质
每次剖分，曲线分为两段新的Bézier曲线
Rleft
Rright
t t
Cni n! i!n i!
3
BézierBiblioteka 线性质端点插值：R(0)=R0 R(1)=Rn
端点切向：
R(0)=n(R1−R0) R(1)=n(Rn−Rn-1)
对称性：
∑iRn-iBi,n(t) = ∑iRiBi,n(t) 曲线的控制顶点的几何地
位是对称的
三次Bézier曲线
4
Bézier曲线性质
Bézier曲线
Pierre Bézier (1910.9.1-1999.11.25) 发音：[BEH zee eh]
Bézier曲线
2
Bézier曲线定义
一条n次Bézier曲线：
n
R t Ri Bi,n t i0
bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接
bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面的拼接摘要曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之1，Bézier曲线曲面又是计算机图形学中常用的曲线曲面，它采用分段和分片参数多项式的形式。
Bézier曲线曲面之所以被广泛使用是因为它有许多特别适合计算机图形学和计算机辅助几何设计的特点。
本文依次详细论述了Bézier曲线的定义和性质、Bernstein基函数性质、介绍了双3次Bézier曲面、递推算法、构图法及其应用、Bézier曲线曲面的拼接。
通过对Bézier曲线曲面的论述，阐述了Bézier曲线曲面的原理及其特性，研究Bézier曲线拼接的几何连续性及参数连续性,总结出G ,G 及C ,C 连续的几何意义。
最后研究了Bézier曲面拼接的几何连续性。
关键词： C 连续;G 连续;Bernstein基函数;参数连续性;几何连续性Abstract The curve curved surface expression is one of computer graphics important research contents, Bézier the curv e curved surface also is in the computer graphics the commonly used curve curved surface, it uses the partition and the lamination parameter multinomial form. Bézier the curve curved surface the reason that by the widespread use is because it has many suits the computer graphics and the computer assistance geometry design characteristic specially. This article in detail elaborated Bézier the curve definition and the nature, the Bernstein primary function nature in turn, introduced a pair of three Bézier cu rved surface, the recursion algorithm, the composition law and the application, Bézier curve curved surface splicing. Through to Bézier the curve curved surface elaboration, elaborated Bézier the curve curved surface principle and the characteristic, the r esearch Bézier curve splicing geometrycontinuity and the parameter continuity,Summarizes G,G and C,C continual geometry significance. Finally has studied Bézier thecurved surface splicing geometry continuity.Key words： C continuity ; G continuity; Bernstein basic function ; parametric continuity ; geometric continuity。
Bezier曲线的拼接及其连续性
1．一次Bezier曲线(n=1)
一次多项式，两个控制点
Q(t ) Pi Bi ,1 (t ) (1 t ) P0 tP 1
i 0
1
t [0,1]
这是一条连接起点和终点的直线段
2．二次Bezier曲线(n=2)
二次多项式，三个控制点
( P B (t ))
i 0 i i i
4
2
最小，需要求每一段Bezier曲线的控制点。 按照这种算法需要反求控制顶点，随着数据采集量的增大， 2 计算量成 n 倍增长，且反求控制点的矩阵若为病态矩阵， 则求解更耗时间，拼接的结果也不尽人意。
4.C1的二次B样条闭曲线
馒头
B样条曲线代码：
Q(t ) at bt c
2
Q (t ) t
2
1 2 1 P0 2 2 0 P t 1 1 1 0 0 P2
说明二次Bezier曲线为抛物线。
二次Bézier曲线图示
二次Bezier曲线的三条调和函数
B0, 2 B2, 2
P0 , P , P2 ,..., Pn ，拼接的Bezier曲线为 1
B(t ), t [0,1]
P0 , P , P2 ,..., Pn 参数化到[0,1]区间上的值，即求 1
。常采用弦长参数法
t0 , t1 , t2 ,..., tn ti [0,1]
Step 2： 对每一段三次的Bezier曲线，有
i 1 n
起始点： 终止点：
Q(0) n( P P0 ) 1
Q(1) n( Pn Pn1 )
（3）对称性
Bezier曲线的绘制和拼接实验报告
Bezier曲线的绘制实验报告一、程序实现环境1操作系统：Windows XP 、Windows72.编程语言：C++3.程序实现环境：Visual C++ 6.0二、算法思想三、使用说明程序界面如下图：用户可以在编辑框中输入4个控制点的坐标，也可以通过在绘图区内直接通过鼠标的单击指定4个控制点的位置，输入4个控制端点后，单击“画Bezier曲线”按钮即可绘制Bezier曲线。
四、实验结果五、程序代码（关键代码）void CMFC_BezierCurve2Dlg::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) {if(pointOrd==1) //原点(490,270){m_p1_x = point.x - 490;m_p1_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==2){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p1_x, 270-m_p1_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p2_x = point.x - 490;m_p2_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==3){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p2_x, 270-m_p2_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p3_x = point.x - 490;m_p3_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==4){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p3_x, 270-m_p3_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p4_x = point.x - 490;m_p4_y = 270 - point.y;}pointOrd++;UpdateData(FALSE);CDialog::OnLButtonDown(nFlags, point);}voidGetCnk (int n, int *c){inti,k;for(k=0; k<=n; k++){c[k]=1;for(i=n; i>=k+1; i--) c[k]=c[k]*i;for(i=n-k; i>=2; i--) c[k]=c[k]/i;}}void CMFC_BezierCurve2Dlg::GetPointPos(intControlN, double t, int *c) {int k, n=ControlN-1;double Bernstein;Pt.x=0.0; Pt.y=0.0;for(k=0; k<ControlN; k++){Bernstein=c[k]*pow(t,k)*pow(1-t,n-k);Pt.x += ControlP[0][k].x * Bernstein;Pt.y += ControlP[0][k].y * Bernstein;}}void CMFC_BezierCurve2Dlg::OnButtonDrawBeziercurve(){UpdateData();pointOrd=1;CDC *pDC=GetDC();ControlP[0][0].x=m_p1_x;ControlP[0][0].y=m_p1_y;ControlP[0][1].x=m_p2_x;ControlP[0][1].y=m_p2_y;ControlP[0][2].x=m_p3_x;ControlP[0][2].y=m_p3_y;ControlP[0][3].x=m_p4_x;ControlP[0][3].y=m_p4_y;pDC->MoveTo(490+m_p1_x, 270-m_p1_y);pDC->LineTo(490+m_p2_x, 270-m_p2_y);pDC->LineTo(490+m_p3_x, 270-m_p3_y);pDC->LineTo(490+m_p4_x, 270-m_p4_y);int *C, i;intControlN=4, m=500;C=new int[ControlN];GetCnk (ControlN-1, C);for(i=0; i<=m; i++){GetPointPos(ControlN, (double)i/(double)m, C);pDC->SetPixel(490+Pt.x, 270-Pt.y, 255);}}两段Bezier曲线的拼接实验报告一、程序实现环境1操作系统：Windows XP 、Windows72.编程语言：C++3.程序实现环境：Visual C++ 6.0二、算法思想三、使用说明程序界面如下图：用户可以在编辑框中输入4个控制点的坐标，也可以通过在绘图区内直接通过鼠标的单击指定4个控制点的位置，输入4个控制端点后，单击“画Bezier曲线”按钮即可绘制Bezier曲线。
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三次Bezier曲线的插值
插值要求得到的曲线精确的通过采样点，四个控制点决定 一条Bezier曲线，插值M个点(M>4)设计到曲线拼接连续性 的问题，要求达到切线连续。
三次Bezier曲线的数学表达是为：
1 3 3 B(t ) di bi3 (t ) t 3 t 2 t 1 3 i 0 1 3 3 1 d0 6 3 0 d1 , t [0,1] 3 0 0 d2 0 0 0 d3 (1)
function Byangtiao8(p) t=0:0.005:1; hold on for i=1:5 x=p(1,i)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p(1,i+1)*(1/6)*(3*t.^36*t.^2+4)... +p(1,i+2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p(1,i+3)*(1/6)*t.^3; y=p(2,i)*(1/6)*(-t.^3+3*t.^2-3*t+1)+p(2,i+1)*(1/6)*(3*t.^3-6*t.^2+4)... +p(2,i+2)*(1/6)*(-3*t.^3+3*t.^2+3*t+1)+p(2,i+3)*(1/6)*t.^3; plot(x,y,'k'); end plot([p(1,1) p(1,2) p(1,3) p(1,4) p(1,5) p(1,6) p(1,7) p(1,8)], [p(2,1) p(2,2) p(2,3) p(2,4) p(2,5) p(2,6) p(2,7) p(2,8)]);
Q (t ) n Pi ( Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t ))
i 0
n
n((P1 P0 ) B0,n 1 (t ) ( P2 P1 ) B1,n 1 (t ) ( Pn Pn 1 ) Bn 1,n 1 (t )) n ( Pi Pi 1 ) Bi 1,n 1 (t )
Bezier曲线的拼接及其连续性
组员：栗周亚（主讲）樊凯 葛序理 牛辰光
顾超锋
尹顺源
Bezier曲线
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲
线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bézier 构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲 面的设计方法。Bézier方法将函数逼近同 几何表示结合起来，使得设计师在计算机 上就象使用作图工具一样得心应手。
i ,n
(t ) 1
所以当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，Q(t)是特 征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 Bi ,n (t )。在 几何图形上，意味着Bézier曲线Q(t)在 [0,1] 中各点是 t 控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之 中；
(5)几何不变性
曲线的形状仅与特征多边形各顶点 的相对位置有关，而与坐标系的选 择无关。
P0 , P , P2 ,..., Pn ，拼接的Bezier曲线为 1
B(t ), t [0,1]
P0 , P , P2 ,..., Pn 参数化到[0,1]区间上的值，即求 1
。常采用弦长参数法
t0 , t1 , t2 ,..., tn ti [0,1]
Step 2： 对每一段三次的Bezier曲线，有
function myplotB(x,y,str) B=[]; m=length(x); for t=0:0.01:1 [X,Y]=Beziercurve(x,y,t); B=[B,[X(1,m);Y(1,m)]]; end plot(B(1,:),B(2,:),str,'Linewidth', 2.5) hold on
M i'' 为 P1 i
Pi 2 。
Step 5：分别以 PP2 P11P1, i 0,1,..., n 1 为4个控制点按照（1） i i i i 式画出一条三次的Bezier曲线，得到的Bezier曲线插值于 每一个采样点 P , P , P2 ,..., Pn 且分片一次连续。 0 1
[tx,ty]=interporder2c10(x,y,delt a); m=length(tx); for s=1:2:m-1 hold on myplotB(tx(s:s+2),ty(s:s+2),'r'); end hold off end
Bezier曲线是通过一组多边折线的各顶 点唯一的定义出来的。在多边折线的各顶 点中，只有第一点和最后一点在曲线上， 其余的顶点则用以定义曲线的阶次和形状。 多边折线称为特征多边形，其顶点称 为 控制点。
Bézier曲线示例
Bézier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样 认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状 的勾画；P(t)是对P0P1…Pn的逼近；
P0 B0, n (1) P B1, n (1) Pn Bn, n (1) 1
Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。
Pn
（2）一阶导数
n! i 1 n i n i 1 i ,n (t ) Bi (i t (1 t ) (n i )(1 t ) t ) i!(n i)! n(n 1)! t i 1 (1 t ) ( n 1)(i 1) (i 1)!((n 1) (i 1))! n(n 1)! t i (1 t ) ( n 1) i i!((n 1) i )! n( Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t ))
执行：
15
>> Byangtiao8([4,6,3,1,7,9,15,11;0,9,11,15,15,7,6,12])
10
5
0
0
5
10
15
附录：C1的二次B样条闭曲线Matlab程序
function Testorder2C10 axis([0 10 0 10]) hold on x=[]; y=[]; n=0; while (1) [xtemp, ytemp, button]=ginput(1); if button==3 break end plot(xtemp, ytemp, '.'); x=[x;xtemp]; y=[y;ytemp]; n=n+1; end delta=ones(n,1); %此处01...l−Δ=Δ==Δ
18 16 14 12 10 8 6 4 2
1
2
3
4
5
6
7
2 Bezier曲线的性质
（1）端点
Q(0) Pi Bi ,n (0)
i 0
n
P0 B0,n (0) P B1,n (0) Pn Bn ,n (0) 1 P0
Q(1)
PB
i i 0
n
i , n (1)
i 1 n
起始点： 终止点：
Q(0) n( P P0 ) 1
Q(1) n( Pn Pn1 )
（3）对称性
保持n次Bezier曲线诸顶点的位置不变， 而把次序颠倒过来，则此时曲线仍不变， 只不过曲线的走向相反而已。
（4）凸包性
由于
Bi ,n (t ) 0,
B
i 0
n
1. Bezier曲线的定义
Q(t ) Pi Bi ,n (t )
k 0 n
t [0,1]
Pi表示特征多边形的n+1个顶点的位置向量， Bi ,n (t ) 是波恩斯坦多项式，Bernstein基函数具有 如下形式：
n! n i n i i i i Bi ,n (t ) t 1 t Cnt 1 t i!n i ! i 0,1,, n
M i' , M i'1
Step 3：将 Di 沿着 Di P 的方向移到 Pi ，对应的 M , M i i i 1 移到
。
Step 4：保持
Pi点不变收缩线段
Mi' Mi'1 到 Mi'' Mi''1 ，且
'' 为 ， M i 1
Mi'' Mi''1 0.6Mi' Mi'1 。记
执行： >> bezier3([0,3],[5,20],[7,2],[9,1])
16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
1
2
3
4
5
6
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
9
Bezier曲线的拼接
拼接不要求曲线通过每一个采样点，只要求曲线 “很接近”采样点就行。“很接近”的评价标准常为最 小平法逼近。 拼接的一般步骤：
设采样点为 Step 1： 将
注意：当i=0，t=0时，ti=1，i!=1。
1．一次Bezier曲线(n=1)
一次多项式，两个控制点
Q(t ) Pi Bi ,1 (t ) (1 t ) P0 tP 1
i 0
1
t [0,1]
这是一条连接起点和终点的直线段
2．二次Bezier曲线(n=2)
二次多项式，三个控制点
( P B (t ))
i 0 i i i
4
2
最小，需要求每一段Bezier曲线的控制点。 按照这种算法需要反求控制顶点，随着数据采集量的增大， 2 计算量成 n 倍增长，且反求控制点的矩阵若为病态矩阵， 则求解更耗时间，拼接的结果也不尽人意。