线性系统理论课程论文

目录

一、报告目的 (2)

二、报告内容 (2)

1.系统稳定性的地位和作用概述 (2)

2.内部稳定与外部稳定 (3)

2.1知识结构 (3)

2.2内部稳定与外部稳定的关系： (3)

3.李亚普诺夫稳定性定义 (4)

3.1几种稳定性的区别 (4)

3.2几种稳定性的关系 (5)

4. 李亚普诺夫稳定性理论 (6)

4.1 李亚普诺夫稳定性第一方法 (6)

4.2李亚普诺夫稳定性第二方法 (6)

4.3 Lyapunov第二方法在线性时不变系统中的应用 (7)

三、总结 (11)

参考文献： (11)

一、报告目的

1、对已学过的知识有个更好的复习巩固的过程；

2、加深对线性系统这门课的了解；

3、对第五章的知识进行归纳整理；

4、提高自己课程设计的写作水平。

二、报告内容

系统运动的稳定性

通过这段时间对《线性系统理论》这本书的学习，和有关资料的查阅，让我了解到，在系统与控制科学领域内，线性系统是基本的研究对象，并在过去几十年中取得了很多结果和进展，已经形成和发展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理论的重要性首先在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统与控制理论的许多学科分支，如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等，都具有重要和基本的作用，成为学习和研究这些学科必不可少的基础知识。有鉴于此，国内外许多大学都毫无例外地把线性系统理论列为系统与控制科学方向的一门最为基础的课程。

1.系统稳定性的地位和作用概述

在控制系统的分析和设计中，系统的稳定性是首先要考虑的问题之一，因为它关系到系统是否能正常工作，它同系统的能空性和能观测性一样，也是系统的一种结构性质。所谓稳定性指在各种不利因素的影响下，系统能够保持预定工作状态能力的一种度量，稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在大多数情况下，稳定是系统能够正常运行的前提，如何根据动力学系统的构成分析系统的稳定性已经引起研究人员的普遍重视。在控制系统的稳定性研究中，李亚普诺夫方法得到广泛应用，该方法还在最优估计、最优控制、自适应滤波等领域占有重要地位。

系统的运动稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间

描述的内部稳定性，我们先通过了解线性系统的外部稳定性和内部稳定性的定义，然后结合实例讨论李亚普诺夫稳定性的定义和一些定理以及用于分析线性和非线性系统的稳定性等方面内容。

2. 内部稳定与外部稳定

2.1 知识结构

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧↔↔↔⇑

⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧↔↔↔系统矩阵矩阵指数函数时不变系统状态转移矩阵时变系统内部稳定传递函数矩阵脉冲响应矩阵时不变系统脉冲响应矩阵时变系统外部稳定线性系统稳定性 2.2 内部稳定与外部稳定的关系：

线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是外部稳定的；反之，却不成立，这是因为，根据线性系统的结构分解定理知，任一线性定常系统通过线性变换，总可以分解成四个子系统，即能控、能观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系统，不能控、不能观测子系统。系统的输入—输出特性仅能反映系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并不能反映出来，外部稳定性仅意味着能控、能观测子系统是渐近稳定的，而其余子系统，若不能控不能观测子系统是发散的，在外部稳定性中并不能表现出来。对于完全能控、完全能观测线性定常系统，内部稳定与外部稳定是等价的。

[注] 在讨论外部稳定时，是以系统的初始条件为零作为基本假设的，在这种假设下，系统的输入输出描述是唯一的。对连续时间线性系统，外部稳定可根据系统脉冲响应矩阵或传递函数矩阵进行判别。

3. 李亚普诺夫稳定性定义

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧不稳定

大范围渐近稳定一致渐近稳定渐近稳定一致稳定稳定

稳定性定义Lyapunov Lyapunov Lyapunov Lyapunov Lyapunov Lyapunov Lyapunov

3.1 几种稳定性的区别

李亚普诺夫稳定性理论主要阐述了判断系统稳定性的两种方法。Lyapunov 第一方法又称为Lyapunov 直接法，属于小范围稳定性分析方法。Lyapunov 第二方法属于直接根据系统结构判断系统稳定性的方法，该方法通过构造一个Lyapunov 函数，（Lyapunov 函数在物理上是一种能量函数），根据该函数的性质判断控制系统的稳定性，又称为Lyapunov 直接法。Lyapunov 第二理论体系完整，推导证明严密，其研究对象包括任何复杂的系统，因此在控制理论的研究中得到了广泛的应用。从工程上来看，系统的Lyapunov 稳定性是指，在系统的工作过程中，如果在受到长时间起作用的初始扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复的平衡状态的能力，这种稳性包括了一大类工程系统设计中出现的稳定性问题。

在Lyapunov 稳定性定义中，00>）

，（t εδ是一个与0t 、ε有关的实数。若δ的取值与0t 无关，则称系统在平衡状态e x 时Lyapunov 一致稳定的。

对于时变系统而言，一致稳定比稳定更有实际意义。一致稳定意味着，若系统在一个初始时刻0t 是Lyapunov 意义下稳定的，则系统在时间定义区间内任意初始时刻0t 均为Lyapunov 意义下稳定的。对于时不变系统而言，δ的取值与0t 无关，因此时不变系统在稳定的平衡状态e x 处一定是Lyapunov 一致稳定的。

系统在平衡状态e x 附近的稳定范围：对于一般系统而言，可能存在有多个平衡状

态点，因此由Lyapunov 稳定的定义可知，系统在平衡状态点e x 附近存在一个稳定范围。