第三章 离散系统的分析

r重复根
特解
不同激励对应的特解 激励f(k) k a
m k
特解 Pm k ＋Pm－1 k ＋...+P1k＋P0 Pa
k m m-1
Pr k r a k＋Pr－1k r－1a k＋...+P0 a k cos( k)或 sin( k ) Pcos( k )+Qsin( k)
线性差分方程的完全解是齐次解和特解之和， 如果特征方程为单根，全解为： y(k)＝y h (k)+y p (k)＝ Ci ik＋y p ( k )
对于时不变系统，若激励f(k)引起的零状态响应为 yf(k)，那么激励f(k－kd)引起的零状态响应就为yf(k－ kd)。其中kd为延迟或移位。时不变系统的这种性质 可以称为激励与响应之间的移位不变性（或称时不 变性）
§3.1 LTI离散系统的响应
一、微分与差分方程 与连续时间信号的微分方程及积分运算相对应， 离散系统有差分和序列求和运算。设有序列f(k)， 则称...f(k+2) 、f(k+1)、 f(k－1)、 f(k－2)...等为移位序列。序列的差分可 分前向差分和后向差分。一阶前向差分和一阶后 向差分分别定义为：
齐次解
当输入为零时，方程的解为齐次解：
y (k ) an -1 y (k -1) ...＋a0 y( k -1) 0 的解称为齐次解。 首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶 差分方程的齐次方程为： y(k)+ay(k-1)=0 有 y(k)/y(k-1)=-a 这表明序列y(k)是一个公比为－a的等比数列，因此 y(k)应有如下形式： y(k)=C(-a) k （C为常数）
i＝1 n
全解
如果信号是在k＝0时刻接入的，差分方程的解适合 k 0。对于n阶差分方程，用给定n个初始条件y(0), y(1),...,y(n-1)，就可以确定全部系数。 y(0)＝C1 +C2 +...Cn+y p(0) y(1)＝C11 +C2 2 +...C n n +y p(1) ... y(n-1)＝C 1 1n-1 +C 2 2n-12 +...C n1 nn-1 +y p(n-1) 以上方程可求全部待定系数。
若描述某离散系统的差分方程为： y(k ) 3 y (k 1) 2 y ( k 2) f ( x) 已知激励为f(k)=2k，k 0，初始状态为 y(-1)=,y(-2)=1/2,求系统的零输入响应、零 状态响应和全响应。 解：（1）零输入响应 根据对于，零输入响应满足方程： y x (k ) 3 y x (k 1) 2 y x ( k 2)＝0 （ 1） 由上面的关于初始条件的计算方法，可以知道 y x (－1)＝y(－1)＝0，y x (－2)＝y(－2)＝1/2. 根据方程可以得出 y x (0)＝－1，y x (1)＝3 方程的解为： y x (k )＝C1x (－1)k＋C2x(-2)k 把初始条件到入可以得： C1x＝1， C2x＝－2 零输入响应为： y x (k )＝(－1)k－2(-2)k，k 0 （也可以直接用y x (－1)，y x (－2)来求系数） （2） 方程（1）的特征根为 1＝－1，2＝－2，因此
对于n阶齐次差分方程，它的齐次解有形式为Cλk 的序列组合而成，将Cλk代入方程，得：
C k an 1C k 1 ... a0C k n 0 由于C 0，因此可以得：
n an 1 n 1 ... a0＝0
上式称差分方程式的特征方程，它有n个根i 称为 差分方程的特征根。差分方程的齐次解如图： 特征根 单实根 r重实根 共轭复根
(2)根据对于，零状态响应满足方程 yf(k)+3yf(k-1)+2yf(k-2)=f(k) 和初始条件yf (-1)=yf (-2)=0.首先求出初始值 yf (0),yf (-1),由方程知： yf(k)＝－3yf(k-1)－2yf(k-2)＋f(k) yf(0)=－3yf(-1)－2yf(-2)＋f(0)=1 yf(1)=－3yf(0)－2yf(-1)＋f(1)=－1 零状态响应是有齐次解和特解组成，易的解为： yf k C f 1 (1) k C f 2 (2) k 2k /3 代入初始值可以求得：C f 1＝－1/3, C f 2 1, 原始零状态 响应为： yf k (1) k / 3 (2) k 2k /3 2 2k k k 全解为：y(k)= (－1) (2) 3 3
线性差分方程
若描述某离散系统得差分方程 y (k ) 3 y (k -1) 2 y (k - 2) f (k ) 已知初始条件y (0) 0, y (1) 2, 激励f(k)=2 k ε（k），求y(k)? 解： 将差分方程中除y(k)的项移到等号右端，得： y (k )＝－3 y (k -1)－2 y (k - 2)＋2k ε（k） 对于k=2,有： y(2)=-3y(1)-2y(0)+4=-2 类推，可以得任意数字解
yx (k ) Cxi ik
i 1
n
(Cxi为待定系数)
若系统的初始状态为零，这时方程为非齐次方程， 若其特征根为单根，则零状态响应为： yf (k ) Cfi ik＋y p (k)
i 1 n k i i n k xi i n
(Cfi为待定系数)
n
y(k)= C ＋ y p (k) C Cfi ik＋y p (k) i 1 i 1 i 1 强迫响应
f (k ) f (k 1) f (k ) f (k ) f (k ) f (k－1) 和称为差分算子。 前向差分与后向差分的关系：f (k－1)＝f (k )
def def
(前向差分) (后向差分)
本书主要采 用后向差分
差分方程的线性性质
[a1 f1 (k ) a2 f 2 (k )] a1 f1 (k ) a2 f 2 (k ) a1 f1 (k 1) a2 f 2 (k 1) =a1 ( f1 (k ) f1 (k 1) a2 ( f 2 (k ) f 2 (k 1)) =a1f1 (k ) a2 f 2 (k ) 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分方程对于为： 2 f (k ) (f (k )) ( f (k ) f (k 1)) f (k ) - f (k -1) - ( f (k -1) - f (k - 2)) n阶差分： n f (k )＝ （－1 ） （ f k－j） j j＝0 n n ！ ＝ , j 0,1, 2,...n j (n－j )! j !
j 1， 2＝a＋bj＝ e
齐次解 C k C r－1k r 1 k＋C r－2 k r 2 k＋.... C 0 k A k cos( k－ ) A r-1k r 1 k cos( k－ r-1 )＋A r-2 k r 2 k cos( k － r-2 ) ＋...+A 0 k cos( k － 0 )
自由响应 零输入响应 零状态响应
如果激励是在k＝0时加入的，通常以y(-1),y(-2),..., y(-n)描述系统的初始状态。在k<0时，激励尚未接入， 因此在这些时刻的值为零。即： yf (-1)＝y f (-2)＝...y f (-n) y x (-1)＝y(-1) ... y x (-n)＝y(-n)
在离散系统中，激励用f(k)（连续系统用f(t)）表示, 响应用y(k) (连续系统用y(t))表示，其中k为整数。初 始状态用{x(k0)}表示，其中为整常数，通常取k0＝0。 与连续系统类似，LTI离散系统的全响应y(k)也分为 零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)，即： y(k)＝ yx(k)＋ yf(k)
描述系统的差分方程为： 6 y (k ) - 5 y (k -1) y (k - 2) f (k ) 初始条件为y (0) 0, y (1) 1, 激励为有始周期序列 f (k ) 10 cos(k / 2), k 0，求全响应 解： 齐次解，差分方程的特征根为： 6 2－5＋1＝0 其特征根为 1＝1/ 2, 2＝1/ 3, 方程的齐次解为 yh (k ) C1 (1/ 2) k C2 (1/ 3) k 特解： y p (k )＝P cos(k / 2)＋Q sin(k / 2) y p (k -1)＝P cos((k -1) / 2)＋Q sin((k -1) / 2) P sin(k / 2) - Q cos(k / 2) y p (k - 2)＝ - P cos(k / 2) - Q sin(k / 2)
2 n j
线性与非线性差分方程
差分方程的一般形式： G[k,y(k),y(k-1),...,y(k-n)]=0 如果上式中y(k)及其移位项均为一次的,就称起为 线性的，否则为非线性的。如果y(k)及其移位的 系数均为常数,就称其为常系数差分方程。否则为 变系数差分方程。描述LTI离散系统的式常系数差 分方程。 差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初 始条件和激励，利用迭代发可求得差分方程得数 值解
二Hale Waihona Puke Baidu差分方程得经典解
对于单输入－单输出的LTI系统的激励为f(k),其全响应为y(k)， 那么描述系统的数学模型为： y (k ) an -1 y (k -1) ...＋a0 y (k -1) bm f (k ) bm -1 f (k -1) ... b0 f ( k - m) 式中ai为常数（i＝0， 1， ...n）。 与微分方程的经典形式类似，上面方程由齐次解和特解 两个部分组成。齐次解用 yh(k)表示，特解用y p(k)表示。 即： y(k)=yh(k)+y p(k)
代入差分方程得： （5P＋5Q） cos(k / 2) (5Q - 5 P) sin(k / 2) 10 cos(k / 2) 5 P＋5Q＝10 P 1 5Q - 5 P＝0 Q 1 方程得全解为： y (k ) C1 (1/ 2) k C2 (1/ 3) k cos(k / 2) sin( k / 2), k 0 代入初始条件： y(0)=C1 C2 1 0 C1＝2 y(1)=C1 / 2 C2 / 3 1 1 C2＝－3
如果差分方程所有得特征根均小于1，这样得系统称 为稳定系统，这时自由响应也称为瞬态响应。稳定 系统在阶跃序列或有始周期序列作用下，其强迫响 应也是稳态响应
三、零输入响应和零状态响应
LTI系统的全响应也可以分为零输入响应 （yx(k)）和零状态响应（ yf(k)）。即： y(k)＝ yx(k)＋ yf(k) 在零输入条件下，化为齐次方程。若其特征根 为单根，则其零输入响应为
描述某系统的差分方程为： y(k)+4y(k－1)＋4y(k-2)=f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2 k，k 0。 求全解。 解：齐次解。特征方程为
2＋4＋4＝0 1， 2＝－2，因此齐次解为：
y h (k)=C1k(-2) k +C 2 (-2) k 特解为： y p (k)＝P2k ， k 0 代入方程，可以得 P＝1/4 y p (k)＝2k－1 方程得全解为：y(k)=C1k(-2) k +C 2 (-2) k＋2k－1 代入初始条件，可以得： C1＝1， C 2＝－1/ 4 全解为：y(k)=k(-2) k +(-2) k /4＋2k－1