高中数学联赛真题分类——数列(一试)

而 2 2 0 ，故 a1＜0 若 d (2 2 )a1 ，则 q
2 a2 2 a1 2 a2 2 a1
( 2 1) 2
若 d (2 2 )a1 ，则 q
( 2 1) 2
„„„„„„„„„„„„ 10 分
但 lim (b1 b2 bn ) 2 1 存在，故| q |＜1，于是 q ( 2 1) 2 不可能．
3
.
21 、 [10(11)] 证明：方程 2 x 5x 2 0 恰有一个实数根 r ，且存在唯一的严格递增正整数数列 {an } ，使得
2 r a1 r a2 r a3 . 5
高中数学联赛专题——数列（一试）参考答案 1、C 2、见奥数教程 86 页例 4 3、答案： A 由题意知 pq=a ，2b=p+c,2c=q+b b
n
且 a0=3，则∑
i=0
1
ai
的值是
；
10、 【05（6） 】记集合 T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{ + 2+ 3+ 4| ai∈T，i＝1，2，3，4}，将 M 中的元素按从 7 7 7 7 大到小排列，则第 2005 个数是 5 5 6 3 A． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 5 5 6 2 B． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 ( ) 1 1 0 3 D． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
n
n
n
8、注意到 45 2025, 46 2116,故 a2003 2003 45 2048
2 2
2 1 1 1 2 2 n 1 2 －1 1 1 n+2 9、解： = + ，令 bn= + ，得 b0= ，bn=2bn－1，bn= 2 ．即 = ，∑ = (2 －n－3)． an+1 an 3 an 3 3 3 an 3 a i=0 i 3 1 3 2 3 2 10、解：M＝{ 4(a1×7 +a2×7 +a3×7+a4)| ai∈T，i＝1，2，3，4}，a1×7 +a2×7 +a3×7+a4 可以看成是 7 进制数， 7 (a1a2a3a4)7，其最大的数为(6666)7＝7 －1＝2400． 从而从大到小排列的第 2005 个数是 2400－2004＝396，即从 1 起从小到大排的第 396 个数， 1 1 0 4 3 2 396＝7 +7 +4(1104)7，故原数为 + 2+ 3+ 4．故选 C． 7 7 7 7 11、解：一位的吉祥数有 7，共 1 个； 二位的吉祥数有 16，25，34，43，52，61，70，共 7 个； 2＝28 个(也可枚举计数)． 三位的吉祥数为 x1+x2+x3＝7 的满足 x1≥1 的非负整数解数，有 C8 一般的， k 位的吉祥数为 x1+x2+„+xk＝7 的满足 x1≥1 的非负整数解数， 令 xi＝xi+1(i＝2， 3， „， k)， 有 x1+x2+„ －1 6 +xk＝7+k－1．共有解 Ck k+5 ＝Ck+5组． 4 位吉祥数中首位为 1 的有 28 个，2005 是 4 位吉祥数中的第 29 个．故 n＝1+7+28+28+1＝65．5n＝325． 6 6 6 6 C6 6+C7+C8+C9+C10＝1+7+28+84+210＝330．即是 5 位吉祥数的倒数第 6 个： 5 位吉祥数从大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，„． 12、证明：⑴ a1＝5，且 an 单调递增．
k 2(k+1) 2(k+1) k 2 6 3 2 5 4 3 2 2 2
2
)，而 Pk 有 3·4 条边，故 Sk＋１
k+1
k
)=Sk+((4 )/3
k
2k+1
)=(8/5)-(3/5)·(4/9) .
综上，由数学归纳法，(＊)式得证. (2) lim S n = lim [(8/5)-(3/5)·(4/9) ]=(8/5).
14、[07(13)]设 an
k (n 1 k ) ，求证：当正整数 n≥2 时，a
k 1
n
1
n+1
<an。
15、 [08(7)]设 f ( x) ax b ， 其中 a , b 为实数，f1 ( x) f ( x) ，fn1 ( x) f ( f n ( x)) ， 若 f7 ( x) 128x 381 ， n 1, 2,3, ， 则ab
（1） 求数列｛Sn｝的通项公式； （2） 求 lim S n
n
8、 【03（1） 】删去正整数数列 1，2，3，„„中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第 2003 项是 （ ） (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 （A）2046
9、 【04（11） 】已知数列 a0，a1，a2，„，an，„满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，
an 满足 a1 p ， a2 p2 q ， an pan1 qan2 n 3，4 ， (Ⅰ)求数列 an 的通项公式（用 ， 表示） ；
1 (Ⅱ)若 p 1 ， q ，求 an 的前 n 项和． 4
20、[10(4)]已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列，{bn } 是等比数列，其中 a1 3, b1 1, a2 b2 ,3a5 b3 ，且存在 常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 an log bn ，则
２ n
已知Ｐ0 的面积为Ｓ0=1，比较 P１与Ｐ0.容易看出 P１在Ｐ0 的每条边上增加一个小等边三角形，其面积为 1/3 ， 而Ｐ0 有３条边，故 S1=S0+3·(1/3 )=1+(1/3). 再比较 P２与 P１，可知 P２在 P１的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为(1/3 )·(1/3 )，而 P１有 3·4 条边，故 S2=S1+3·4·(1/3 )=1+(1/3)+(4/3 ), 类似地有 S3=S2+3·4 ·(1/3 )=1+(1/3)+(4/3 )+(4 /3 ), 于是有 下面利用数学归纳法证明（＊）式。 n=1 时，由上面已知（＊）式成立。 假设 n=k 时，有 Sk=8/5-3/5·(4/9) .当 n=k+1 时，易知第 k+1 次操作后，比较 Pk+1 与 Pk,Pk+1 在 Pk 的每条边上 增加了一个小等边三角形，其面积为(1/3 =Sk+3·4 ·(1/3
1 50
5、答案：
解 由已知，对任何 n N, 有 f (n)=
Sn Sn = n 32S N 1 n 32n 2
64 64 +34 2 n. +34=50, n n
=
n = n 34 n 64
2
1 n 34 64 n
1 n 34
又因 n+
故对任何 n N, 有 f (n)=
a1 a 2 a3 a4
11、 【05（12） 】如果自然数 a 的各位数字之和等于 7，那么称 a 为“吉祥数” ．将所有“吉祥数”从小到大排成一 列 a1，a2，a3，„，若 an＝2005，则 a5n＝ 7an+ 12、[05(13)]数列{an}满足 a0＝1，an+1＝ 45a2 n－36 ，n∈N， 2
2
+an+12≤M 的所有等差数列 a1,a2,a3,...,
b1=a12, b2=a22, b3=a32(a1＜a2),
又(b1+b2+„+bn)
7、【02（14）】如图，有一列曲线 P0，P1，P2„„，已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角形，Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到：将 Pk 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线 段去掉（k=0,1,2,）。记 Sn 为曲线 Pn 所围成图形的面积。
2 2
2p q p 2q 2 p q p 2q 3 2 3 2 2 ，c ≥ p q pq =pq=a . bc= 3 3 3 3
2
因为 p≠q，故 bc> a ，方程的判别式Δ = 4a -4bc<0，因此，方程无实数根. 4、答案：
1 3
q
Байду номын сангаас
a log4 3 a log8 3 log4 3 log8 3 1 = a log2 3 a log4 3 log2 3 log4 3 3
高中数学联赛专题——数列（一试）
1、[99(1)]给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an}，
设 b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，...，
则数列{bn}( ) (A)是等差数列 (B)是公比为 q 的等比数列 3 (C)是公比为 q 的等比数列 (D)既不是等差数列也不是等比数列 2、[99(五)]给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件 a1 试求 S=an+1+an+2+...+a2n+1 的最大值。 3、[00（4）]给定正数 p,q,a,b,c，其中 pq，若 p,a,q 是等比数列，p,b,c,q 是等差数列， 2 则一元二次方程 bx 2ax+c=0 （ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 4、[00（9）]等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. Sn 5、[00（13）]设 Sn=1+2+3+„+n,nN，求 f(n)= 的最大值. (n 32) S n1 6、[01（13）]设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且 的极限= 2 1 。 试求{an}的首项和公差。
．
证明：⑴ 对任意 n∈N，an 为正整数； ⑵ 对任意 n∈N，anan+1－1 为完全平方数． 2 13、[07(10)]已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1=d，b1=d ，且
2 2 a12 a2 a3 是正整数，则 q 等于________。 b1 b2 b3
n
从而
2 a1
1 ( 2 1) 2
2 1 a12 (2 2 2)( 2 1) 2
„„„„„„„„„„„„ 20 分
所以 a1 2 , d (2 2 )a1 2 2 2
7、(1)对Ｐ0 进行操作，容易看出Ｐ0 的每条边变成Ｐ１的４条边，故Ｐ１的边数为 3·4；同样，对 P１进行操作，P１ 的每条边变成 P２的４条边，故 P２的边数为 3·4 ，从而不难得到 Pn 的边数为 3·4 .
64 n

1 50
由于 f(8)=
1 1 ,故 f(n)的最大值为 50 50
6、设所求公差为 d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得
2 a1 (a1 2d ) 2 (a1 d ) 4 2 化简得： 2a1 4a1d d 2 0
解得： d (2 2 )a1
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5 分
18、[09(7)]一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和， 最后一行仅有一个数，第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 19、[09(10)]（本小题 15 分）已知 p ， q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根 ， ，数列
n 1 ， n 1, 2, ，则通项 an = n(n 1) 17、[08(11)]设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，若 f (0) 2008 ，且对任意 x R ，满足
16、[08(10)]设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足： Sn an
)= f ( x 2) f ( x) 3 2x ， f ( x 6) f ( x) 63 2x ，则 f (2008