2018年数学竞赛试题卷附答案

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2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。

(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。

注：本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。

(B) $1$。

(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**）对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　.设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进而可得 U2,2 ， S 4,1 ，代入椭圆方程解得： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ，从而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018 本一试题解答与评分标准一．填空题（每题4分，共20分）(1)设 f u arctan 1u ,x2ln x ,y f x, 则dy. 1u x dx x 1(2)2sin x cos2x2d x.(3)12 d x. 01x2(4)已知函数 F u,v,w可微， F u0,0,01, F v0,0,02, F w0,0,03, 函数z f x, y 由F 2x y3z, 4x2y2z2, x yz0 确立，知足f1,20, 则f x1, 2.(5)设是地区x, y ｜x2y24,0y x的界限曲线，取逆时针方向,则x y 3y1 e yd x x y 3xyeyd y.一.答案:(1)1;(2)22;(3)4; (4)2; (5) 6 .53二 .解以下两题（每题 5 分，共 10分）1 3 L2n32n12(1)求极限lim;n 2 4 L2n22n(2)求极限lim x24xy4y2sin x4y4 .xx y y2 2 L2n12, 因为2k12k1(1) 记a n1k N *,（1分）所以解13L22422n 22k21 33 5 5 72n32n12n12n10 a n224262L2n22n22,（2分）22n2n10, 应用夹逼准则得lim a n0.（2 分）因为 lim2n2n n(2)应用不等式的性质得x2xy y2x2y2 2 xy 2 x2y2 , x4y42x2y2 , （2分）0x 2xy2sin x4y42 x2y211，（1 分）y2x2 y2x4y4y2x2因为 lim110, 应用夹逼准则得lim x2xy4y2sin x4y 40. （2分）xy 22xx4yy x y三. （10分）已知函数f x在 x a 处可导a R,数列n,n知足:x n a,a ,x yy n a,a0, 且lim x a, lim y a,试求 lim x n f y n y n f x n.n n n n n y n x n由 f x在 x a 处可导得f x f af a, (2 分 )解limx a x an lim f x n f af a f a ,n limf y n f af a f a ,( 2分)x n a y n a应用极限的性质得f x n f a f a x n af y n f a f a y n a 代入原式得n x n a ,n y n a ,nn0 n,( 1分)0 n,( 1分)x n f y n y n f x na f a x n n y n a y n n a x nn lim f a n limy n ( 2分)y n x n x nf a a f a n lim x ny n a a x n nx nn lim y n nx n y n y n因为 lim x nn lim y ny n a a x n1 n 0,01,0n n y n x n y n x n f a a f a00 f a a f a .( 2分)四. (10分 )已知 fxsin11cos11 x0或 0x 1 ;试鉴别 : x x2x0x0，(1) f x 在区间1,1上能否连续 ? 如有中断点 ,判断其种类 ;(2)f x 在区间1,1上能否存在原函数 ?若存在 ,写出一个原函数 ;若不存在 , 写出原因 ;(3)f x 在区间1,1上能否可积 ? 若可积 ,求出1f x dx; 若不行积,写出原因. 1解(1) f x在区间1,1上不连续 . (1分 ) 因为lim xsin 10, lim1cos1不存在,x0x x0 2x 所以 lim f x 不存在 , f x在 x0处不连续 , x0 是第二类振荡型中断点.(2 分) x0(2)f x在区间1,1上存在原函数 . (1分 )f x在区间1,1上的一个原函数为F x 1x2 sin11x0或0x 1 ;2x(上式 2 分,下式 1 分) 0x0 .(3)因为 x0 是f x在1,1上的独一中断点，f x 在1,1上有界 , 所以f x在区间1,1上可积 . (1分 )下边用 2种方法计算定积分 :方法 11 f x d x0f x dx1f x d x1011x2sin 1 01x2sin111sin11sin1sin1 (2分 )2x 12x02211方法 2 f x d x F x111sin11sin 1 sin1(2 分) 22五 .(14分) 已知曲面x2 2 y24z28 与平面 x 2 y2z0 的交线是椭圆 ,在 xOy 平面上的投影1也是椭圆 , (1)试求椭圆1的四个极点 A1, A2 , A3 , A4的坐标 ( A i位于第 i象限 ,i1,2,3,4);(2)判断椭圆的四个极点在xOy平面上的投影是不是1,A3,A4,A,A2写出原因 .(1)椭圆在 xOy平面上的投影为1:x 23y 2 2 xy 4,分 )解z(2因为 1 对于原0.点中心对称 , 所以椭圆1的中心是 0, 0 , 为了求椭圆 1 的四个极点的坐标, 只需求椭圆1上到坐标原点的最大距离与最小距离的点.取拉格朗日函数F x2y2x23y22xy4,(1分)由F x 2 x2x y0,F y 2 y2 3 y x0,x2 3 y 2 2 xy4的 1,2式消去得 x2y22xy0,与第3式联立解得y 1. (2分)当 y1时解得可疑的条件极值点 A 1 1 2,1 ,A 2 1 2,1 , 当 y 1时解得可疑的条件极值点 A 12, 1,A 12, 1,因为椭圆1的四个极点存在 ,则上述 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 的坐标34即为所求四个极点的坐标.(2 分)(2) 解法 1 椭圆的四个极点在 xOy 平面上的投影不是 A 1,A 2,A 3,A 4 (1 分)( 反证)假定椭圆的四个极点 B 1 ,B 2 , B 3 , B 4 在 xOy 平面上的投影是 A 1 , A 2, A 3, A 4 , 则 B 1,B 2, B 3,B 4的坐标为B 11 2,1,12,B 21 2,1, 12 ,22B 3 12, 1,12,B 412, 1,12, (2分)221 因为椭圆的中心是 0,0,0 , 所以椭圆的短半轴OB 1 OB 3 19 72 , 长半轴2OB 2OB 411972 , 由此得椭圆所围图形的面积为 S1 192 72 17 ,244(2 分 ) 这是不对的 . 因为OA 1 OA 3 422, OA 2 OA 4 422,所以椭圆 1 的长半轴 a 4 2 2, 短半轴 b4 2 2, 于是椭圆1 所围图形的面积为 S 1ab2 2 .(1 分 ) 因为平面 x 2y2z0 的法向量的方向余弦中cos2. 所以3椭圆所围图形的面积应为SS 1 3 2 ，导出矛盾 . (1 分)cos解法 2 椭圆的四个极点在 xOy 平面上的投影不是 A 1, A 2 , A 3, A 4 (1 分)(反证)假定椭圆的四个极点 B 1 , B 2 , B 3 ,B 4 在 xOy 平面上的投影是 A 1, A 2 , A 3 , A 4 , 则此中 B 1 的坐标为B 1 12,1,12 , (1 分)2因为对于原点中心对称 , 所以椭圆的中心是 0, 0，0 , 为了求椭圆的四个极点知足的方程 , 只需求椭圆上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令F x 2 y 2 z 2x 2 2y 2 4z 2 8 x 2y 2z ,F x2x2x0,F y 2 y4y20,F y2z8z20,(2分 )2228,x 2 y 4 zx 2 y2z0,由方程组中（ 1），（ 2），（ 3）式联立消去，得 3xz yz xy0，(2分)将B1的坐标 x12, y1, z 12代入得23xz yz xy321211 2 121120，222即 B1的坐标不知足方程组，所以 B1不是椭圆的极点。

2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)

2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，且这些自然数的和为2018．请问这个学生写出的这17个自然数中，最小的数是多少？（请给出详细解题过程）解：设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17，则有：a1+a2+…+a17=2018由于每个自然数的个位数码只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的个位数字之和一定是45，即这17个自然数的个位数字之和为765．设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字，则有：b1+b2+…+b17=765由于每个自然数的十位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的十位数字之和一定是45，即这17个自然数的十位数字之和为765．设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字，则有：c1+c2+…+c17=765由于每个自然数的百位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的百位数字之和一定是45，即这17个自然数的百位数字之和为765．由此可得，这17个自然数中最小的数为100+10+1=111．一、1.A在1到100这100个自然数中，有25个质数，分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此，质数在这100个自然数中所占的百分比是25%。

2.C将10分拆成三个正整数之和，共有8种情况：1+1+8、1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据“三角形两边之和大于第三边”的原则，只有（2，4，4）和（3，3，4）两组可以构成三角形。

由于等腰三角形的两个底角都是锐角，因此以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角。

以3、3、4为边的等腰三角形中，由3的平方加3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。

2018年全国数学竞赛试卷及解答

2018年全国数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）bc ab >;（Ｂ）c b b a +>+;（Ｃ）c b b a ->-;（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2;（Ｂ）4;（Ｃ）3;（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABCN 的面积等于（）（Ａ）12;（Ｂ）14;（Ｃ）16;（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（）象限（Ａ）一、二;（Ｂ）二、三;（Ｃ）三、四;（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（）（Ａ）17个;（Ｂ）64个;（Ｃ）72个;（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。

2018 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题及解析(含一试及加试)

I� f(x ）三 2 钟！（宵－ 2）三／（x）�／（ 8-2 叶，
而I＜π － 2 < 8-2r. < 2 ，故原不等式组成立当且仅当xE［肯－ 2, 8-2肯｝． 6.设复数z满足l= I=I ，使得关于，y的方程 x' + 2:x+2 =0有实根，则这样
＝
的复数z的和为答案：
分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦 ST 与 UV 分别－＇￥· 行于 x 剿l与y轴，且相交子点P. 己知线段PU,PS ‘ PV 、 PT 的长分另lj为L 2. 3. 6 ，则 MF., 凡的朋积为答案： -Jl5. 解：由对称性，不妨设 P （，飞·，，， )'p ）在第一象限，则由条件知
主．
解：设们在平面。上的射影为。白条件知，立＝ tanLOQP ｜丘♂ I ' OQ I 3
ε
i己为 a, b,c, d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为答案：解：先考虑。 bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一奇一｛间，若 abc 为奇敛，
10
则。， b,c 为l, 3, 5 的排列，避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况，由对称性可知，使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶 72 72 9 ＝I－一一＝一．数的概率为I－一 ' 6 720 JO
1. 设织合 A= {I, 2, 3、
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准
,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗，则B门C的元

(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版

岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月13日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合{}1327x A x =≤≤，{}22log ()1B x x x =-<，则A B = （）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞- ，，【答案】A【解答】由1327x ≤≤，得03x ≤≤。

因此，[]03A =，。

由22log ()1x x -<，得2202x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，解得，10x -<<或12x <<。

因此，(10)(12)B =- ，，。

所以，A B = (12)，。

2．若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：133110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】B【解答】由点A 在直线1l ：70x y --=上，设(7)A t t -，。

由AB 中点为(12)P ，，知(211)B t t --，。

∵点B 在直线2l ：133110x y +-=上，∴13(2)3(11)110t t -+--=。

解得，3t =。

∴(34)A -，，2(4)313l PA k k --===--。

3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心。

l 为1A MN 平面与1D BE 平面的交线，则直线l 与正方体ABCD 底面所成角的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解答】如图，由正方体的性质与条件，易得MN ABCD ⊥面，BE ABCD ⊥面。

∴1A MN ABCD ⊥面面，1D BE ABCD ⊥面面。

∴l ABCD ⊥面，l 与ABCD 面所成角的大小为90︒。

2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)

三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷）参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知圆锥的顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥底面上取一点Q , ° 使得直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域的面积解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心，记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可一个档次，第10、参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，不得增加其他中间档次． 11小题5分为一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．

2018年全国初中数学竞赛试题及答案

若关于 m 的方程有正整数解，则
9 4n(n 1) 8 (2 n 1)2 l 2 （ l 为正整数），
即 l 2 (2n 1)2 8,[ l (2n 1)][( l (2 n 1)] 8
４
l (2n 1) 8 l (2n 1) 4
所以
,或
，
l (2n 1) 1 l (2n 1) 2
解得： n
5 4
所以 PQ＝ yp
yQ
( a2
3a
4)
(a2
3a
4) ＝
2
2a
8
即当 a＝ 0（属于 -2≤ a≤2）时， PQ 的最大值为 8。
12．已知 a ， b 都是正整数，试问关于 x 的方程 x 2 abx 1 ( a b) 2
把它们求出来；如果没有，请给出证明．
-4
Q
-6
B
-8
-10
0 是否有两个整数解？如果有，请
但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3 个，那么上述取法的种数是（
）
（ A ）14
（ B） 16
（C） 18
（D ）20
解：选（ B ）。只用考虑红球与黑球各有 4 种选择：红球（ 2,3,4,5 ），黑球（ 0,1,2,3 ）共 4× 4＝ 16 种
3．已知 a 、 b 、 c 是三个互不相等的实数，且三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 ，
综上，存在正整数 a＝ 1， b=3 或 a=3， b=1，使得
方程 x 2 abx 1 (a b) 0 有两个整数解为 x1 1, x2 2 。 2
DE
13．如图，点 E， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ， BC 的延长线上，且满足

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ

tan
OQP

3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1

an
(2Sn

2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品

2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。

$a<b<c$B。

$a<c<b$XXX<a<c$D。

$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。

因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。

2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。

3B。

4C。

5D。

6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。

因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。

3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。

$\frac{65}{26}$B。

$\frac{3}{3}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。

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2018年九年级学生学能抽测
理科能力测试试题卷(2018.4)
考生须知．．．．
： 1.理科能力测试卷分数学和科学两部分，满分为180分（数学部分有三大题10小题, 共
80分，科学部分有三大题16小题，共100分)，考试时间150分钟。

2.将学校、姓名、准考证号、座位号分别填写在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上。

3.请用蓝黑墨水的钢笔或圆珠笔答题，答案分别做在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效。

数学部分（满分80分）
一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1
．已知点(13)P a -+，则点P 所在象限为
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．如果不等式组0
2100x a x -⎧⎨-⎩
≥＜只有一个整数解，那么a 的范围是
A ．3a ＜≤4
B ．3a ≤＜4
C ．a 4≤＜5
D ．a 4＜≤5
3
．如图，已知AB AE ==1BC DE ==，∠B =∠E =90°，∠A =120°，
五边形ABCDE 的面积是 A ．4 B
． C ．8 D
．
二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）
4．若m ，n 是一元二次方程2120x x +-=的两根，则22m m n ++= ▲ ．
5．已知一列数1x ，2x ，3x ，4x ，又3
12234
x x x x x x ==，且81=x ，4216x =，那么3x 的值是 ▲ .
A
B
E
6．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P（不包
括端点A），作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，
当PA CQ
=时，连结PQ交AC边于D，则DE的长
为▲ .
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数
2
(0)
k
y k
x
=>，若该反比例函数的图象与直线y x k
=-+有交点，设交点为P，则OP的长度至少为▲．
三、解答题(本题有3小题，共38分）
8．（满分12分）
已知x，y，z为实数，且满足257
x y z
+-=-，2
x y z
-+=，试比较22
x y
-与2z 的大小关系．
9．（满分12分）
半径为2的圆的圆心在坐标原点，两条互相垂直的弦AC
和BD相交于点M（1，若记AC、BD的弦心距
分别为
1
d、
2
d．
（1）求22
12
d d
+的值；
（2）求四边形ABCD面积的最大值和最小值．
10．（满分14分）
已知抛物线
1
C：22
21
y x mx m m
=-+++（1
m>）的顶点为A，抛物线
2
C的对称
轴是直线1
x=-，顶点为点B，且抛物线
1
C和
2
C关于Q（1，
1
2
）成中心对称．
（1）求抛物线
1
C的顶点坐标（用m的代数式表示）；
（2）求m的值和抛物线2C的解析式；
（3）过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，点C、D为垂足，如果P是x轴上
的点，且连结PA、PB后它们与AC、BD及x轴所围成的两个三角形（△PAC
和△PBD）相似，求所有符合上述条件的点P的坐标．
A
B C
D
E
P
Q
2018年九年级学生学能抽测
理科能力测试参考答案及评分标准（2018.4）
数学部分
一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1.D 2.A 3.B 二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）
4.11
5.72
6.2
7.三、解答题（本题有3小题，共38分） 8．（满分12分）解：由2572x y z x y z +-=-⎧⎨
-+=⎩ 解得：1
23
x z y z =-⎧⎨=-⎩． ……（6分）
则222222(1)(23)x y z z z z --=----=2
4108z z -+-=2
5
7
4()04
4
z ---
<． ∴222x y z -<． ……（6分） 9．（满分12分）
解：（1
）22221213d d +=+=．
（2）方法一：
2
22
1442d d S ABCD -⋅-=四边形．记x d =2
1，则x AC -=42，BD =其中30≤≤x ，则142+⋅-=x x S ∴当30或=x 时，S 有最小值4； ……（2分）当2
3
=
x 时，S 有最大值5． ……（2分）方法二：
2
221442d d S ABCD -⋅-=四边形 ……（2分）
)4()4(22
22
1d d -⋅-=2
22
12
22
1)(4162d d d d ++-=．
∴32221=+d d ，∴2
22142d d S +=． ……（2分） ∵02
22
1≥d d ，∴4≥S ，即S 有最小值为4． ……（2分） ∵212
22
12d d d d ≥+，
(
)
5)(84)4(4422
2212
22
12221=+-=-+-≤-⋅-=d d d d d d S ABCD 四边形．
即S 有最大值5． ……（2分）
10．（满分14分）
解：（1）由于抛物线1C ：22221()1y x mx m m x m m =-+++=-++．
故抛物线1C 的顶点(,1)A m m +． ……（2分）（2）分别过A 、B 作直线1x =的垂线段，设垂足为F 、E ．
∵A 、B 关于点Q 中心对称，
∴AF BE =；即11(1)m -=--，∴3m =． ……（2分） ∴点(3,4)A ，点(1,3)B --．
抛物线2C ：2
2
(1)324y x x x =-+-=---． ……（3分）（3）设)0,(x P ．
①当点P 在CD 上时，则1)1(+=--=x x PD ，3PC x =-． ∴
4331=-+x x ，解得75=x ．或x x -=+3341，即0922
=+-x x ，此方程无实根． ∴P 1)0,7
5(． ……（3分） ②当点P 在点C 右侧时，
3
4
)1(3=---x x ，解得13-=x （舍去）．
或
)
1(433--=-x x 即：2
2150x x --=，∴31-=x （舍去）52=x ． ∴)0,5(2P ． ……（2分） ③当点P 在点D 左侧时，
x
x
---=1334，解得13-=x ．或
3
314x x -=--，即：01522
=--x x ，解得5=x （舍去）或3x =-．
∴P 3)0,13(-或P 4)0,3(-． ……（2分）。