导数与导函数的概念

导数与导函数的概念

教学目标：

1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；

理解导函数的概念和意义；

2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，

培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力

3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点：

1、导数的求解方法和过程；

2、导数符号的灵活运用

教学难点：

1、导数概念的理解；

2、导函数的理解、认识和运用

教学过程：

一、情境引入

在前面我们解决的问题：

1、求函数2

)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 x x

x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t t

t v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解

上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，

t V ∆∆(x V ∆∆)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，x

x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('=

三、几何意义：

我们上述过程可以看出

)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

四、例题选讲

例1、求下列函数在相应位置的导数

（1）1)(2

+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x

（3）3)(=x f ，2=x

例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时， （1）

=-+x

f x f 2)1()1( （2）=-+x f x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导，

（3）x

x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________ （4）x

x f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________ （5）当△x 无限趋近于0，

x x x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f

注意分析两者之间的区别。

例4：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。

导函数的概念涉及：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。

五、小结与作业