牛顿运动三定律及功与能关系

dx
G
mM L
lL dx l x2
G
mM l(l L)
G
mM L
1l
l
1
L
讨论 (1)当 l >>L 时
m
dM dx M
Ol
dx L x
(1)
G
l
mM (l L)
G
mM l2
(2)G很小，一般两物体之间的万有引力很小，故可忽略不计；
（3） 对一般具有球对称分布的物体与一个质点间的万有引力可
0 2m
6m
v y
v0
dy dt
y
v0t
x
F0
6mv
3 0
y3
例 以初速度v0 竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受
重力外，还受一个大小为αmv2的粘滞阻力。
求 小球上升的最大高度。
解 f m(g v 2) m dv dv g v 2
dt dt
dv dv dy dv v dt dy dt dy
求 粒子的运动轨迹。 解 由牛顿定律知：
y
F0
Fx F0t max Fy may 0
ax
dv x dt
dv x
F0t m
dt
v0
m F (t) x
v 0
x
dv
x
t 0
F0 t m
dt
vx
F0t 2 2m
O
vx
dx dt
dx
F0t 2 2m
dt
x
dx 0
t F0t 2 dt x F0 t3
例 已知一物体的质量为m , 运动方程为
r
Acost
i
Bsin t
j
求 解
F=?
a
dv dt
d2r
dt
2
A
A 2 costi B 2
2 costi B 2
sin
tj
2r
sin tj
F
ma
ω2mr
二 . 积分问题
已知F 求运动状态
例 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以v0 向上运动，从时 刻t = 0 开始粒子受到水平F =F0t 力的作用，F0 为常量， 粒子质量为 m 。(不计重力）
• 瞬时性 —— 第二定律是一个瞬时关系式
• 矢量性 ——力的叠加原理（分力的总效果等于合力的效果）
• 对应性 —— Fi ai
(3直) 不角同坐坐标标系系：中的F表i 示m形式ai ma
自然坐标系：
Fx
Fix
m dv x dt
m
d2 dt
x
2
Fy
Fiy
m dv y dt
m
d2 dt
看作所有质量放在球心处的质点与另一个质点之间相互作
用的万有引力。
二. 弹性力 (Elastic force ） N
N
P F1
dx
T1
T2
P F2 绳静止
T1 T2
绳加速运动 T1 T2
弹簧弹性力： F kx
三. 摩擦力(Friction)
静摩擦 (1) 分类 动摩擦
滑动摩擦力
滚动摩擦力
（2） 力 (force)—— 使物体改变运动状态的原因 （3） 惯性参照系 —— 物体运动遵从第一定律的参照系
质点处于静止或匀速直线运动状态时：
Fi 0 —— 静力学基本方程
二. 牛顿第二定律 (Newton’s Second Law of Motion)
内容 一个物体的动量随时间的变化率正比于这个物体所
y
2
Fz
Fiz
m dv z dt
m
d2 dt
z
2
Fτ
ma τ
m dv dt
m
d2s dt 2
Fn
man
mv 2
m
1
(ds)2 dt
(4) 在一般问题中，m 可认为常量，但在以下两种情况中质
量不能被看作常量。
a. 物体在运动中质量有所增减,如飞行中的火箭、下落过程
中的雨滴；
b. 高速运动中,质量与运动速度
f F
(2) 摩擦力的方向总是与
f2
“相对运动”的方向相 反或相对运动趋势的
12 3
F
方向相反；
P f1
(3) 静摩擦力随外力变化而变化：最大静摩擦力。
F N
Fmax 0N
§2.3 牛顿运动定律的应用
(Applications of Newton’s Laws)
一. 微分问题
已知运动状态，求F
受的合力，其方向与所受合力的方向相同。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取SI单位，k=1，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
当物体的质量不随时间变化时
m dv
Fi
dt m dv
dt
ma
讨论 (1) 第二定律只适用于质点的运动的情况；
F
一定时，m
,
a
(2) 第二定律的三个性质
m m0
相关,如相对论效应问题。
1
v c
2 2
三. 牛顿第三定律 (Newton’s Third Law of Motion)
内容 两物体1、2相互作用时，作用力和反作用力大小相
等，方向相反，且在同一条直线上。
F12 F21 讨论（1） 成对性 —— 物体之间的作用是相互的；
（2） 一致性 —— 作用力与反作用力性质一致； （3） 同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
1. 明确研究对象（隔离体法） 2. 受力分析 （重力，弹力，摩擦力）
3. 建立坐标系，列方程 （牛顿第二定律及辅助条件）
4. 求解，讨论
牛顿运动三定律及 功与能关系
一. 牛顿第一定律 (Newton’s First Law of Motion) 内容 任何物体,只要没有外力改变它的状态，便会永远
保持静止或匀速直线运动的状态。 它是从大量实验事实概括总结加上抽象思维得来的， 但不能直接用实验来验证。
讨论
（1）惯性(inertia) —— 物体的固有属性（惯性定律）
1 d(v 2 ) g α v 2 2 dy y
d(v 2 )
(g v
2
)
1
d(g v 2 ) (g v 2 )
2dy
H
1
0 d(ln(g v 2 )) 2
H
dy
v0
0
v0 O
H
1
Leabharlann Baiduln
(
g
v
2 0
)
2
g
mg fr
解题步骤(Problem-Solving Procedures)：
第一定律 ——“力”的定义 第二定律 ——力产生的效果 第三定律 ——力的性质
牛顿定律的正确性被事 实所证明，它是质点动 力学的基本定律，也是 整个力学理论的基础。
§2.2 力学中常见的几种力
一. 万F2有1 引G力mr(1Um2 n2irve0rsalGgrmar1vm3ita2 trion) G 6.67 1011m3kg1s2
• 万有引力公式只适用于两质点
F21mr2 m1 r0
例 如图所示，一质点m 旁边放一长度为L 、质量为M 的杆，杆
离质点近端距离为l .
求 该系统的万有引力。
m
l
解
F
G
mM l2
?
F G mM (l L)2 ? 2
M L
df
G
mdM x2
G
mMdx Lx2
f
lL
df
l
lL
G
l
mM Lx2