食饵—捕食者模型稳定性分析[1]

食饵—捕食者模型稳定性分析

【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。

【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性

一、问题重述

在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二、问题分析

本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方

程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。

三、模型假设

1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；

2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；

四、符号说明

)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；

)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；

1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；

2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；

1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；

2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；

1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食

者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；

2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食

者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；

d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。

五、模型建立

食饵独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即

rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正

比，于是)(t x 满足方程

axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)

比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。

由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足

bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2)

比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。

方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。

下面，我们加入种群自身的阻滞作用，在上两式中加入Logistic 项，即建立以下数学模型：

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛--='22111111)(1x x x r t x σ (3) ⎪

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛-+-='22112122)(2N x N x x r t x σ (4) 六、模型求解

在此，我们采用MATLAB 软件求解此微分方程组中的)(1t x 、)(2t x 的图形及相轨线图形。

设5.11=σ，42=σ，11=r ，4.02=r ，35001=N ,5002=N ,使用MATLAB 软件求解，程序代码如下： 1)建立M 文件

function y=fun(t,x)

y=[x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';

2)在命令窗口输入如下命令：

[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35]) 得到数值解如下：

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')

图1.数值解)(1t x ，)(2t x 的图形

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

图2.相轨线图形

从数值解及)(1t x ，)(2t x 的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(1250,214)。

下面对其平衡点进行稳定性分析： 由微分方程(3)、(4)

⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨

⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=-+---2211212222111111),(),(2121N x N x x r N x N x x r x x f x x f σσ

得到如下平衡点:

)0,(11N P , )1)

1(,1)1((

2

12221112σσσσσσ+-++N N P , )0,0(3P

因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义，所以，对2P 而言要求2σ>0。

按照判断平衡点稳定性的方法计算：

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤-+----=⎢⎢

⎣⎡⎥⎥⎦⎤=)21()

21(2211221

2

222

1112

2

111121

21

N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x σσσσ

根据p 等于主对角线元素之和的相反数，而q 为其行列式的值，我们得到下表：

七、模型分析与检验

1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：

1) 对)0,(11N P 而言，有p =)1(221--σr r ，q =)1(221--σr r ，故当2σ<1时，平衡点)0,(11N P 是稳定的。

意义：如果)0,(11N P 稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。 2)对)1)1(,1)1((

212221112σσσσσσ+-++N N P 而言，有p =2

122111)1()1(σσσσ+-++r r ，