【人教A版】高一数学必修一：第1章《集合与函数概念》 1.2.1

(1)求 f(2)，f(1x)；
解 f(2)＝22＋2－1＝5，
f(1x)＝x12＋1x－1＝1＋xx2－x2.
(2)若f(x)＝5，求x的值. 解 ∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2，或x＝－3.
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解析答案
课堂小 1.对结函数相等的概念的理解：
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应 关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应 关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数， 因为函数对应关系不一定相同.如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R， 但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数. 2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取 值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负 无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分 实数组成的集合.如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集 描述法的变式.
(3)值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关 系确定了，那么它的值域也会随之确定. 思考 (1)符号“y＝f(x)”中“f”的意义是什么？ 答 符号“y＝f(x)”中“f”表示对应关系，在不同的具体函数中， “f”的含义不一样.例如y＝f(x)＝x2中，“f”表示的对应关系为 因变量y等于自变量x的平方，从而f(a)＝a2，f(x＋1)＝(x＋1)2，而 函数y＝f(x)＝2x中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x 的二倍，从而f(a)＝2a，f(x＋1)＝2(x＋1).
答案
知识点三 函数相等
如果两个函数的定义域 相同，并对且应关系 就称这两个函数相等.
完全一致，我们
思考 函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t相等吗？
答 相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两
个函数的对应关系也相同，因此这两个函数相等.函数相等与否
与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.
学习 目标
1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域、函数值.
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知识点一 函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对
于集合A中的
当堂检测
1.下列图象中能表示函数y＝f(x)图象的B是( )
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解析 由函数的概念知答案为B.
解析答案
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2.下列各组函数中表示同一函数的D是( )
A.f(x)＝x 与 g(x)＝( x)2
B.f(x)＝|x|与 g(x)＝x(x>0)
C.f(x)＝2x－1 与 g(x)＝2x＋1(x∈N*)
例 4 已知 f(x)＝1＋1 x(x∈R，且 x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
解 ∵f(x)＝1＋1 x，∴f(2)＝1＋1 2＝13.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)求f[g(3)]的值. 解 ∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝1＋111＝112.
解析答案
(3)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1； 解 尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但 它们的定义域相同，对应关系相同，对定义域内同一个自变量， 根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数. (4)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0). 解 f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此二者不是 同一函数.
反思与感
解析答案
跟踪训练2 下列各组函数中，表示同一函数的C 是( )
x2－1 A.y＝x＋1 与 y＝ x－1 B.y＝x2 与 y＝(x＋1)2 C.y＝(3 x)3 与 y＝x D.f(x)＝( x)2 与 g(x)＝ x2
答案
题型三 求函数的定义域 例3 求下列函数的定义域：
x＋12 (1)y＝ x＋1 － 1－x； 解 要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x1＋－1x≠≥00，， 即xx≠≤－1. 1，
解析 对于 A，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不唯一， 故不符合.
对于B，符合函数的定义. 对于C，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合. 对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.
解析答案
题型二 判断是否为同一函数 例2 判断下列函数是否为同一函数：
④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
反思与感
解析答案
跟踪训练1 下列对应关系式中是A到B的函数的B是( ) A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1 B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 2 D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1
答案
(2)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看 法对吗？ 答 这种看法不对. 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它 是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式， 可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许 取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f(x) 仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用 符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数. (3)f(x)与f(a)有何区别与联系？ 答 f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是 一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量， f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝
反思与感
解析答案
x＋1 跟踪训练 4 已知函数 f(x)＝x＋2.
(1)求f(2)；
解 ∵f(x)＝xx＋＋12，∴f(2)＝22＋＋12＝34.
(2)求f[f(1)].
解 f(1)＝11＋＋12＝23，f[f(1)]＝f23＝2323＋＋12＝58.
解析答案
易错点 抽象函数定义域理解错误致误
例5 已知函数f(3x＋1)的定义域为[1,7]，求函数f(x)的定义域. 错解 因为f(3x＋1)的定义域为[1,7]， 即1≤3x＋1≤7，解得0≤x≤2， 所以f(x)的定义域为[0,2]. 正解 令3x＋1＝t，则4≤t≤22， 即f(t)中，t∈[4,22]， 故f(x)的定义域为[4,22].
(1)f(x)＝|xx|与 g(x)＝1－，1x，≥x0<，0；
解 f(x)的定义域中不含有元素0，而g(x)的定义域为R，定义域 不相同，所以二者不是同一函数.
(2)f(x)＝ x x＋1与 g(x)＝ xx＋1；
解 f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0， ＋∞)，定义域不相同，所以二者不是同一函数.
，在集合B中都有
和
任意一个数x
唯一确定的数f(x)
它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记
作
.
y＝f(x)，x∈A
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫自做变量 x，的取值范围A 叫做函数的定义
域，与x的值相对应函的数y值值叫做
{f(x)|x，∈函A}数值的集合
叫做函数的值域.显然，子值集域是集合B的
答案
知识点四 区间概念 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
名称 符号
{x|a≤x≤
[a，
闭区间Hale Waihona Puke Baidu
b}
b]
(a， {x|a<x<b} 开区间
b)
{x|a≤x<b 半闭半开区 [a，
}
间
b)
数轴表示
{x|a<x≤ 半开半闭
b}
区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
易错警示
解析答案
跟踪训练5 若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定
义域.
解 由 f(x)的定义域为[－3,5]，得
φ(x)的定义域需满足－－33≤≤－x≤x≤5，5
即
－5≤x≤3， －3≤x≤5.
解得－3≤x≤3.
所以函数φ(x)的定义域为[－3,3].
解析答案
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答案
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题型探究
重点突破
题型一 函数概念的应用 例1 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其 中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析 ①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.
②对，同时满足任意性与唯一性.
③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性.
.
答案
知识点二 函数的三要素 函数的三个要素：定义域，对应关系，值域. (1)定义域 定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如 果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的 所有实数x的集合. (2)对应关系 对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或 者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义 域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确 定的y与之对应.
解析答案
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4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，6则f(5) ＝____. 解析 f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3， f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.
解析答案
5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.
所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
x＋1 (2)y＝|x|－x.
解 要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x＜0. ∴函数的定义域为{x|x＜0}.
反思与感
解析答案
跟踪训练3 求下列函数的定义域：
x＋10 (1)y＝ x＋2；
解 由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，x>－2，所以x>－2且x≠－1.
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x<a} R
(－∞，a) (－∞，＋ 取遍数轴上所有的
思考 (1)对于区间[a，b]而言，区间端点a，b应满足什么关系？ 答 若a，b为区间的左右端点，则a<b. (2)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表 示吗？ 答 不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间 表示. (3)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？ 答 “∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或 “＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
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x2－1 D.f(x)＝ x－1 与
g(x)＝x＋1(x≠1)
解析 选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同，故选D.
解析答案
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3.函数 f(x)＝ x＋1＋2－1 x的定义域为_{_x_|_x_≥__－__1_且___x_≠__2.} 解析 由2x＋－1x≠≥00 ，得 x≥－1 且 x≠2.
x＋10 所以函数 y＝ x＋2的定义域为{x|x>－2，且 x≠－1}.
解析答案
(2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x.
2x＋3≥0， 解 要使函数有意义，需2－x>0，
x≠0，
解得－32≤x<2，且 x≠0，
所以函数 y＝
2x＋3－
21－x＋1x的定义域为x－32≤x<2，且x≠0
.
解析答案
题型四 求函数值