第九章梁的弯曲4应力状态

准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈 服流动的原因都是单元体内的最大切应力tmax达到某 一共同的极限值tjx。 1.屈服原因：最大切应力tmax（与应力状态无关）； 2.屈服条件： 3.强度准则：
s1 s 3 s s
s1 s 3 [s ]
4.应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。
sy 0
t y t x
四、强度理论
（一） 强度理论的概念
1.简单应力状态下强度条件可由实验确定 2.一般应力状态下，材料的失效方式不仅与材料性质有 关，且与其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关； 3.复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定(不可能针对 每一种应力状态做无数次实验)； 4.强度准则： ①金属材料的强度失效分为：屈服与断裂； ②强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说 (假说—实践—理论)； ③通过强度准则，利用单向拉伸实验结果建立各种应力 状态下的失效判据和相应的设计准则。
符号规定：
a —以x轴正向为起始线，逆时针旋转为正，反
之为负。
s —拉为正，压为负。 t —使微元产生顺时针转动趋势为正，反之为负。
【例9-32】 图示单元体各面应力如图所示，试求斜截面上 的应力 s a 、t a 。 【解】已知 s x 30 MPa ，
sy
50 MPa ，t x 20 MPa
2) 主应力及其方位；
3) 剪应力极值。
40.3 t
40 sa a
ta 20 D2(-40,20) 30 x -45.3 C O
(29.8,20.3) 60o
s 35.3
29.8o D1(30,-20) 单位：MPa -40.3
三、梁的主应力和主应力迹线
V
My sx s Iz
VS z* tx t Izb
（一） 强度理论简介
四个强度理论
1. 第一类强度理论（以脆性断 裂破坏为标志）
两类强度理论：
2. 第二类强度理论（以塑性 屈服破坏为标志）
四个强度理论
第一强度理论（最大拉应力理论）
准则 ：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的
共同原因是单元体中的最大拉应力 s1达到某个共同极限值 sjx。 1.断裂原因：最大拉应力s1 （与应力状态无关） 2.破坏条件：
, t y )点；
③连D1D2交s轴于C点，以C为圆心，D1D2为直径作圆；
y ty t
sy
n a
ta sa
(sa,ta)E
G1t1
2a
D1 (s x ,t x )
2a0 A A1 s1
sx
tx
sx x
tx
B1 O s2
B
C
s
sy
ty
t
(s y ,t y )
D2
G2 t 2
应力圆与单元体的对应关系
1）点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体上某 一斜截面上的正应力和切应力值。如D1点的坐标 s x ,t.x 2）转向对应 应力圆上由基准点D1到点E的转向和单元体 上由x面到α面的转向一致。
3）倍角对应 应力圆上两点间圆弧的圆心角是单元体上相 应的两个面之间夹角的二倍。
y sy n a
ta sa
x
(s d As cosa )cosa (s dAsina )sina n 0： ad s xs sA s y x y s a (t dA cosa )sinacos aA ta sin 2 (t2d sin aa 0 x )cos
y
y
s x s y s x s y sa cos2a t x sin 2a 2 2 s x s y tx sin 2a t x cos 2a 2
应力 圆方 程
若已知
s x 、s y 、t x
，则在以
s
为横坐标，
t 为纵坐标
的坐标系中，可画出一个圆. 其圆心和半径分别为:
s x s y 2 圆心 t 半径 x 2 圆周上任一点的坐标就代表单元体中与其相对应的斜截面上 的应力。因此，这个圆称为应力圆，
y ty t
sx
sx
tx sy ty x
t sx x
sα
a
dA
sy
a
tα
ty
x
tx ty
x
2 2 s (s ta As t 0： xd y x dAcosa )sina (s y dAsina )cosa t sin 2 a t cos 2 a x (t dAcos x a )cosa (t y dAsina )sina 0 x 2
§9-8 梁的应力状态
一、应力状态的概念
二、平面应力分析 三、梁的主应力和主应力迹线 四、强度理论
一、 应力状态的概念
1.一点的应力状态
一点的应力状态 ：通过构件内某一点所有不同截面 上的应力情况集合。
研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和最 大剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破 坏原因并进行失效分析。 2.应力状态分类
sx s y 2 t x 2
2
最大剪(切)应力平面与主平面相差45o
t
max min
s max s min 2
【例9-33】求图所示单元体的主应力与主平面，最大切应力。已知
tx s x 20MPa ， s y 10MPa ，
20 MPa。
【解】（1）确定单元体的主平面
t
(sa,ta)E 2a sx x tx
D1 (s x ,t x )
ty sx
tx
O
B
C
2a0 A
s
sy
ty
t
D2 (s y ,t y )
3.主平面及主应力 由主平面：
tan2a 0
2t xy
sx s y
a 0 和a 0 90 ，可见
从应力圆上可求出相差90º 的两个主平面，
两个主平面相互垂直。两个主平面上的主应力，一个是极大值，用
3.强度准则：
1 [(s 1 s 2 ) 2 (s 2 s 3 ) 2 (s 3 s 1 ) 2 ] [s ] 2
4.应用情况：对塑性材料比最大剪应力准则符合实验结果。
作业:P146~149 9-16、9-17、9-18
9-17
9-18
P A
P
(1)单元体：
围绕 构 件内 一 点所 截 取的微小正六面体。
单元体
A
(2)应力状态分类
一点处的 应力状态
单向应力状态 平面应力状态 纯剪切应力状态 双向应力状态 空间应力状态 三向应力状态
s s t
简单应 力状态
复杂应 力状态
单向应 力状态
纯剪切 应力状态
三向应 力状态
双向应 力状态
P A s s
s1 s b
s 1 [s ]
3.强度条件：
4.应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸 和扭转中的脆断；但未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应 力的应力状态，如单向、三向压缩等。
四个强度理论 第二强度理论（最大伸长线应变理论 ）
准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的
共同原因是单元体中的最大伸长线应变e1达到某个共同极 限值ejx。
1.断裂原因：最大伸长线应变e1（与应力状态无关）； 2.破坏条件： 3.强度准则：
e1 s 1 (s 2 s 3 ) s b
s 1 (s 2 s 3 ) [s ]
4.应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合 大多数脆性材料的脆性破坏。
四个强度理论 第三强度理论（最大切应力理论）
2t x 2 20 tan2a0 1.33 s x s y 20 (10)
a0 26.6,
a0 90 63.4
（2）主应力
s s
1 3
max min

s x s y
2
s x s y 2
2
2 t x
2
20 10 20 (10 ) 2 20 2 2 30 MP a - 20
由此，三个主应力分别为： 单元体如图b所示，最大主应力s 1 沿t x 指向的一侧。 （3）最大切应力
s 1 30 MPa ， s2 0
s 3 20 MPa
t max
s1 s 3
2
30 (20) 25 MPa 2
【例9-34】 用应力圆法求：1) a=30o斜截面上的应力；
sin 2a t x cos2a
2、平面应力分析的图解法—应力圆
应力圆方程：
sa
s x s y
tx
2 s x s y

s x s y
2
cos2a t x sin 2a
2
2
sin 2a t x cos 2a
2
2 sx s y s s x y 2 2 s t t x x x 2 2
sa
cos2a t x sin 2a 2 2 30 50 30 50 1 3 20 2 2 2 2 40 5 10 3 52.32 MP a
s x s y s x s y
单位:MPa
ta
s x s y
2 30 50 3 1 20 2 2 2 8.66 10 18.66 MP a
四个强度理论 第四强度理论（形状改变比能理论）
准则 ：不论应力状态如何，材料发生屈服的共同原
因是单元体中的形状改变比能 ud 达到某个共同的极限值 udjx。