时间序列模型--ARMA模型与ARCH模型(2008.11)

时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。

时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。

1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型1第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的识别、估计、检验、应用。

23一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。

严格地讲，如果一个随机时间序列t y ，对于任何时间t ，都满足下列条件： Ⅰ）均值()t E y μ=∞；Ⅱ）方差22()()t t Var y E y μσ=-=，是与时间t 无关的常数；Ⅲ）自协方差{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）,是只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数。

则称该随机时间序列是平稳的。

生成该序列的随机过程是平稳过程。

4例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：t y =t ε tε~2(0,)iid σ该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。

由于t y 具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。

例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：1t t t y y ε-=+ t ε~2(0,)iid σ，是一个白噪声。

容易判断该序列有相同的均值：1()()t t E y E y -=，但是方差2()t Var y t σ=,即ty 的方差与时间t 有关而非常数，它是一非平稳序列。

然而，对t y 取一阶差分：1t t t t y y yε-∆=-= 则序列t y ∆是平稳的。

后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。

5（二）平稳时间序列的自相关函数与偏自相关函数时间序列t y 的自相关函数（autocorrelation function, ACF ）定义如下：kk γργ=平稳时间序列的一个重要特征是它的自相关函数随着k 的增加而成指数型衰减。

一个时间序列的样本自相关函数定义为：61201()()ˆˆ()n ktt k kt k nt t yy y y r y y γγ--==--==-∑∑偏自相关函数（partial autocorrelation function ，PACF ）则是消除了中间变量1,21,,t t t k y y y ---+带来的间接相关后t y 与t k y -间的直接相关性，它是在给定1,21,,t t t K y y y ---+的条件下，t y 与t k y -间条件相关关系的度量。

1(1)(1),1k k j k jkk k j k j r r r r ρρρ----⎛-= -⎝∑∑11k k =二、单变量平稳时间序列模型：ARMA模型单变量时间序列模型是通过直接或间接地运用变量自身过去的信息和以往的扰动项，寻找其自身的变化规律。

ARMA模型是一类常用的单变量平稳时间序列模型，它是由博克斯（Box）和詹金斯(Jenkins)创立的，亦称B-J方法。

ARMA模型有三种基本类型：自回归(AR)模型,移动平均(MA)模型,自回归移动平均(ARMA)模型。

78（一）AR 模型 1． AR 模型的定义如果时间序列t y 可以表示为它的前期值和随机扰动项t u 的线性函数：t y =1122t t p t p t c y y y φφφε---+++++ 2(0,)tu iid εσ （5.1）则称该序列t y 是自回归序列，（5.1）式为p 阶自回归模型，简记为AR （p ）。

引入滞后算子，记kL 为k 步滞后算子，即k t t k L y y -=模型（5.1）可表示为：212Pt t t p t t y c Ly L y L y φφφε=+++++即 212(1)P p t t L L L y c φφφε----=+ 令212()1P p L L L L φφφΦ=----，模型可简写为： ()t t L y c εΦ=+92．AR （p ）模型的平稳性条件212()1P p L L L L φφφΦ=----=0为滞后算子多项式方程。

AR （p ）模型平稳的条件是：该方程的根在单位圆外，即()0L Φ=的根大于1。

对自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验自回归模型的平稳性：1）AR(p)模型稳定的必要条件是 121p φφφ+++2）由于(1,2,,)i i p φ=可正可负，AR(p)模型平稳的充分条件是：121pφφφ+++103．AR 模型的识别判断一个随机时间序列是否为AR （p ）序列，所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（ACF ）及偏自相关函数（PACF ）。

若序列t y 的偏自相关函数kk ρ在p 以后截尾，即kp 时，0kk ρ=，而且它的自相关函数k ρ是拖尾的，可以认定此序列是自回归AR(p)序列。

以一阶自相关模型AR （1）的自相关函数为例： 由于AR （1）的k 阶滞后自协方差[]110()()k k t t k t t t k k E y y E c y y γφεφγφγ----==++==11因此，AR （1）模型的自相关函数为 0k k k γρφγ== k =1,2, 由AR （1）的稳定性知1φ，k 趋于无穷大时，k ρ呈指数型衰减至0，这种现象称为拖尾。

可以证明，当k p 时，样本偏自相关函数kk r 服从如下渐近正态分布: kk r ~N(0,1/n)因此，如果计算的kk r 满足2kk r n我们就有95.45%的概率保证程度断定kk r 在kp 之后截尾。

12（二）MA 模型1．MA 模型的定义如果时间序列t y 是它的当期和前期随机误差项的线性函数，即可表示为： t y =1122t t t q t q c εθεθεθε---+++++ 2(0,)t u iid εσ （5.2） 则称该序列t y 是移动平均序列，（5.2）式为q 阶移动平均模型，简记为MA （q ）。

若使用滞后算子，则（5.2）式可以简写为212(1)q t q t y c L L L θθθε=+++++()t c L θε=+易见，有限阶移动平均过程无条件平稳。

13 2．MA 模型的可逆性观察MA 模型：212(1)qt q t y c L L L θθθε-=++++()t L θε=若多项式方程()0L θ=的根全部落在单位圆外，则称序列t y 可逆。

()L θ的逆记作1()L θ-，则1()L θ-()t y c -=t ε。

比较()t t L y c εΦ=+，可以证明，若MA （q ）算子可逆，MA （q ）模型可写成AR(∞)的形式；同理，若AR(P)模型满足平稳性条件，AR(P)模型可表示为MA (∞)。

143．MA 模型的识别若序列t y 的自相关函数k ρ在q 以后截尾，即k q 时，0k ρ=，而它的偏自相关函数kk ρ是拖尾的，可以认定此序列是移动平均MA （q ）序列。

对MA(1)过程 1t t t y c εθε-=++很容易计算出它的自协方差函数：2220()(1)t u E y γσθ==+ 211()t t u E y y γσθ-== 230γγ=== 于是得到自相关函数： 11201γθργθ==+ 230ρρ===可见，当1k >时，k ρ=0，即t y 与t k y -不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。

同理，可以验证MA （q ）过程的偏自相关函数是拖尾但趋于0的。

15 （三）ARMA 模型1．ARMA 模型的定义若时间序列t y 是它的当期和前期随机误差项以及前期值的线性函数，即为t y =11221122t t p t p t t t q t q c y y y φφφεθεθεθε------+++++++++ （5.3） 则称该序列t y 是自回归移动平均序列，（5.3）式为(,)p q 阶的自回归移动平均模型，简记为ARMA (,)p q 。

显然，AR ()p 模型与MA ()q 模型都是ARMA (,)p q 模型的特殊情况。

若使用滞后算子，则（5.3）式可以简记为()()t t L y c L u θΦ=+ARMA (,)p q 模型的平稳性取决于AR ()p 部分的平稳性。

2．ARMA模型的识别ARMA(,)p q的自相关函数，可以看作MA()q的自相关函数和AR()p的自相关函数的混合物。

当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质。

p q 一般地，如果序列的ACF和PACF均是拖尾，则可断定该序列是ARMA(,)过程。

p q过程的偏自相关函数可能在p阶滞后前有几项明显的通常，ARMA(,)p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数则是在q阶滞尖柱，但从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。

后前有几项明显的尖柱，从识别是通常以较低的阶数进行分析，然后逐个增加阶数进行尝试。

163．ARMA模型阶数(,)p q的选择标准常用的模型选择的判别标准有：赤池信息准则（AIC）与施瓦兹贝叶斯信息准则（SBC）。

在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好。

上面的讨论均是在假定序列满足平稳性的情形下进行的。

一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，进而寻找对应的平稳模型。

若将一个非平稳序列通过d次差分，变为平稳序列，然后用一个平稳的ARMA模型去拟合，称该模型是一个自回归单整移动平均模型（Autoregressivep d q。

integrated moving average models），记为ARIMA(,,)17（四）模型的应用下面我们通过例子探讨如何利用样本数据建立时间序列模型，并对现象进行分析和预测。

Y建立ARMA模型并预测2008的支例5．1．对我国支出法国内生产总值t出法国内生产总值。

支出法国内生产总值Y认为是非平稳的，但其对数一阶差分序列是平稳的。

t因此，可以对对数一阶差分序列建立ARMA(,)p q模型。