石墨烯理论(上)

石墨烯理论（上）

Author：

二维石墨烯

石墨烯是由碳原子排列成六边形结构而形成，可以看作每个晶胞中有一个以两个原子为基础的三角结构。晶格向量可以写成

*石墨烯晶体简化结构，石墨烯一个原胞中包含两个不等价的碳原子,。其中为原胞基矢；

是晶格常数。下边给出晶格的倒格矢

石墨烯特别重要的物理性质是,两个点在石墨烯Brillouin区（）顶点处。这些点之所以会被命名为Dirac点的原因，后面将会给予解释。它们在动量空间中位置（倒格矢）为石墨烯第一Brillouin区示意图，其中为倒格矢量，, 和是高对称点。

实空间中三个最邻近矢量

六个次邻近点距离矢量为

对石墨烯的周期六角格点系统采用电子紧束缚模型，只考虑到最近邻原子之间的相互作用，电子可以跳到的最邻近原子。在二次量子化的哈密顿量，有如下形式

这里我们以最低准粒子激发能量为能量参照点扣除掉它归入本底，即选取。此外我们假定近邻原子轨道波函数之间不存在重叠，也就是说（紧束缚近似）。格点模型哈密顿量便写为

Nambu表象下可写出BdG矩阵：

在晶格A 上处有自旋，（）将会湮灭（产生）一个电子（对于点B 处等价定义也适用），是最邻近跃迁能量（不同晶格之间的跃迁），表

示只对邻近格点原子求和。实际上哈密顿量中，根据上图所示近邻原子之间的相对坐标，计算相邻两个原子的波函数对哈密顿量的重叠积分

可得到：

则动量表象中哈密顿量为

由此可以算出色散关系为：

加号对应较高频能谱()，减号对应较低频能谱()。从能谱可以明确看到石墨烯沿着高对称点的色散关系。我们可以看到导带和价带是对称的并且导带和价带在布里渊区的顶角处是简并的。由于每一个晶胞中有两个碳原子，每一个碳原子都贡献一个电子，因此石墨烯的价带刚好填满同时导带全空，也就是说Fermi面刚好要处在导带和价带之间，由于导带底和价带顶刚好交于点，Fermi面应穿过点，因此我们可以认为石墨烯是一个零带隙的半导体。这主要是对称性的要求，因为晶格格点处和都占据着碳原子，有相同的轨道能级。如果零温，在零能周围能谱是对称的；对于有限温度，电子-空穴对称性被破坏，和带变得不对称。要了解这个高度对称的附近电子行为，我们不妨靠近

一个Dirac点去观察能带结构（在Brillouin区,点）。也就是说将色散关系围绕点展开：在和附近，且

其中是相对于Dirac点的动量，是Fermi速度，

。这与通常情况，的区别在于（m 是电子质量）石墨烯中的Fermi速度不取决于能量或动量；而通常情况下我们有

，即速度的变化取决于能量。这些特点与介质中的光子或者是声子类似，在这些高度对称的点处附近载流子的有效静质量为零，Fermi速度可以和光速相比较，呈现出相对论特性，需要通过Dirac方程来处理（此内容作为重点稍后介绍）。因此我们把这些高度对称的点称之为Dirac点。

同理，假如要考虑次近邻原子的相互作用，定义以原子为中心的六个最近邻的原子的坐标为，通过上述类似方法计入次邻近跃迁

代入的能量本征方程，我们可以得到能带色散关系

我们发现次近邻原子的引入，破坏了能带结构的对称，此时导带和价带不再对称，主要是因为次近邻原子的引入相当于引入了晶格格点轨道能级，因此近邻格点的引入使得Dirac点发生移动。

从色散关系我们能够看到次近邻原子的引入改变了Dirac点位置，破坏了电子空穴对称。另外我们发现，能量简并度与动量在动量空间的夹角有关（注意，展开直到阶，色散关系

都取决于动量空间的方向），引入次近邻格点后，Dirac点附近形成三重简并，这就是所谓电子光谱的三角形变。从图中可以看到，次近邻格点的引入并没有破坏Dirac点，也就是说在这些Dirac点处导带低和价带顶仍然简并。很明显考虑次近邻原子相互作用之后Dirac点

有向下移动的趋势，即Dirac点处存在能量上的转移，这是因为我们认为次近邻原子之间

电子的跃迁能量是负的原因。一如前面的条件，将方程绕着Dirac点展开，精确到二级项，Dirac点K附近处能带色散关系为

其中是动量分量间夹角。

无质量Dirac费米子

时电子算符作Fourier级数展开如下：

其中是单元晶格的数量。我们把由和点电子算符Fourier级数线性组合表示。这产生了一个的近似表示，写作：

这些新的区域是在假设晶胞绝热变化的情况下，其中指标是指和

点。

简明起见，我们先根据之前在动量表象下的哈密顿量来推导，在点附近小动量展开

去除一个无关紧要的相位因子即可得到Dirac电子的有效哈密顿量。在紧束缚时，有效哈密顿量为：

二维Pauli矩阵向量，同样抹除无关相位因子就得到标准形式：

有效哈密顿量由两个无质量Dirac粒子（一个在附近带动量，另一个则是附近动量

）的哈密顿量组成。

二分量旋量电子波函数在点附近，遵守二维Dirac方程

在动量空间中，附近的动量的波函数具有如下形式

，表示对应的本征能量，分别为和带。

附近动量波函数则有如下形式

，和点处波函数与时间反演对称性有关：如果

我们把坐标原点定在的点处，时间反演变为一个沿着轴的反射，就是

。还需要注意的是，如果相位的旋转周期是(Berry相位)。相在下的旋转是旋量的特性，事实上，波函数是二分量自旋波函数。一个用来描述本征函数的相关量是他们沿旋转方向的螺旋度，定义为动量算符的投影。量子力学的螺旋度算符有

如下形式：

现在对于的定义很明确了，因为也是的本征态，

；的本征方程也类似。

双层石墨烯

由紧束缚近似方法可将单层石墨烯推广到多层石墨烯系统，乃至叠堆成三维石墨结构。最简单的是双层石墨烯结构，这种结构可以在导带和价带间打开一个能隙。

紧束缚近似哈密顿量写为

表示在平面层晶格（）中处消灭一个自旋为的电子。跃迁参数为：是面内跃迁能量，是原子间的跃