导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结(五)：导数中的求参数取值范围问题

、常见基本题型:

(1)已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数 导函数f (x) 0,如已知函数f (x)减区间，则在此区间上导函数

f (x) 0。

理由•

令 g(x) 2

x (a 2)x a ，

Q 图象开口向上

不可能对x R 都成立

f (x)在R 上单调递减，则f

(x) 0 对x R 都成立,

即x 2

(a 2)x a -x

e 0 对x R 都成立,

Qe x 0,

2

x (a 2)x

a 0 对x R 都成立.

Q

(a 2)2 4a 2 a 4 0

(a 2)x ②若函数 a 0对x R 都成立

故函数f (x)不可能在R 上单调递增.

综上可知，函数 f (x)不可能是R 上的单调函数

x alnx ax 3 a R 若函数y f(x)的图像在点(2, f(2))处的切

f(x)增区间，则在此区间上

(2)已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题, 可转化为求函数的最值问题。

例1.已知a R ,函数f(x)

(x 2 ax)e x . ( x

R ，e 为自然对数的底数)

(1)若函数f (x)在( 1,1)内单调递减，求a 的取值范围;

(2) 函数f (x)是否为

R 上的单调函数, 若是，求出 a 的取值范围；若不是，请说明

解:

2

ax)e -x

-x

f (x) ( 2x a)e ( x

要使f(x)在-1,1上单调递减,

x 2

(a 2)x

(1) Q f (x)

( x

2 - x 2

ax)( e )= x (a 2)x 则 f (x) 0 对

x (

-x

a e

1,1)都成立,

(2) 1,1)都成立•

令 g(x)

①若函数 (a 2)x a ，

g( 1) 0,

g(1) 0.

(a (a 2) 2)

f (x)在R 上单调递减,

f (x) 0 对x R 都成立

即 x 2 (a

2)x

0对x R 都成立.

x

2

Q e 0, x

例2：已知函数f

(I)求函数f (x)的单调区间;

故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)；单调递减区间是(0,1), (3,) (II )若对任意为(0,2) , X 2

1,2，不等式f(xj g(X 2)恒成立,

问题等价于f(X )min g(x)max ,

由(I )可知，在(0,2)上，x 1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点,

线的倾斜角为45°，对于任意t [1,2]，函数g x 3 2 /

m

x x [ f (x)

]在区间(t,3)上总不

由f

纶)

a

2 1,a f(x) 2ln x 2x

g(x)

3

X z m c 、 (2)x 2

令 g /

(x) 0得,

(m 3x 2 (m 4)x 2

故 g /(x)

0两个根一正一负，即有且只有一个正根 Q 函数

x

x 3

2

x 2[ f /(x)—]在区间(t,3)上总不是单调函数 2

g /(x)

0在(t,3)上有且只有实数根 Q g /(0) 2 0, g /(t) 0,g /(3) 0

37 3 2 t

2

(m 4)t

2 3t 故 m

3t 在 t [1,2]单调减,

3t ，

9，综合得 37

3

例3.已知函数f (x)

lnx 1x 仝 1.

4 4x

2

(n)设 g(x) x 2bx 4，若对任意 X i

(0,2) , X 2 1,2 , 不等式

f(xj g(x 2)恒成立,

求实数b 的取值范围.

1

解：(I ) f (x) In x x

4

3 4x 1的定义域是(0,

)

由 x 0及 f (x)

3 4x 2

,

2

小

4x x 3 4x 2

x 3 ；由 x 0及 f (x)

是单调函数，求m 的取值范围;

2 解:

3

2

4)

24 0

2 2x, g /(x)

例 4•设函数 f (x) x 2 mln x,h(x)

(1)当a = 0时，f (x ) >h (x )在(1 ,+s )上恒成立，求实数

⑵ 当m= 2时，若函数k (x ) = f (x ) — h (x )在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数

a 的

取值范围.

解：(1)由 a = 0, f (x ) >h (x ),

x

可得-nin x >-x ，x € (1 ,

)

，即 *战

x

记 0(X )=-—，贝y f (x ) > h (x )在(1 ,+8 )上恒成立等价于

me 0 (x )min

in x

ln x — 1

求得 0' ( x ) =

2— in x

当 x € (1 , e), 0 ' (x ) v 0; 当 x € (e ,+s )时，0 ' (x ) > 0.

故0 (x )在x = e 处取得极小值，也是最小值，

即 0 (x ) min = 0 (e) = e ,故 m< e.

⑵ 函数k (x )

= f (x ) — h (x )在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程

x — 2in x = a ,

在［1,3］上恰有两个相异实根. 2

令 g (x ) = x — 2in ，贝U g ' (x ) v 1 — 一.

x

故也是最小值点，所以

f(x)讪 min

f(1)

g(x) x 2

2bx 4, x

1, 2

当b 1时， g(x )max g(1)

2b 5 ;

当1 b 2时, g

(

X )max

g(b) b 2 4 ; 当b 2时，

g(

X )max

g(2) 4b 8 ;

一

b 1

1 b 2

b 2 问题等价于 1 或

1 . 2

或 1

4b 8

解得b

yf\4 b ——或

2

即b 土，所以实数

2

b 的取值范围是

x 2 x a ,

m 的取值范围;

2b 5

4

2

2

2 b