2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2-2.6.3 Word版含答案
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.1
§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点 曲线与方程的概念思考 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案 y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理 如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上(条件②，即完备性)，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3.(√)2．到y 轴距离为2的点的直线方程x ＝－2.(×)3．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线．(×)xy －2类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案 ②解析 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案 ④解析 “坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D (8,0)中的________个．(53，－74)答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C 不符合要求；(53，－74)将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－2，2)是否在这个圆上．5解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以＝5，也x 20＋y 20就是x ＋y ＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．2020(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x ＋y ＝25，两边开方取算术平方根，得2020＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．x 20＋y 20由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－2，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，5(－2，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．5类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－22＋.(a ＋12)12∴k ≤，12∴k 的取值范围是.(－∞，12]1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案 ③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)9(x －1)2y 24①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1)答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.(m2，－m )答案 －或2185解析 依题意得2＋(－m －1)2＝10，(m2)解得m ＝2或m ＝－.185所以m 的值为2或－.1854．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案 ②解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号)① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4)答案 ③解析 由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)x23x3①y＝a log a x；②y＝；③y＝log a a x；④y＝.答案 ③④3x3解析 由y＝log a a x＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．y－25．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．答案 点(1,2)y－2y－2解析 由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．y－26．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案 xy＝±2016解析 设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±2016.7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0，得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k 的值为________．x 216y 24答案 ±54解析 联立方程组Error!消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝±时，直线与椭圆有一个公共点．549．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法：①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0；②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上；④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号)答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________．答案 4π解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围4－y 2成的图形的面积．解 由x ＝，得x 2＋y 2＝4.4－y 2又x ≥0，∴方程x ＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C4－y 2与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝π·4＝2π.12所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②－＝0；③x 2－y 2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的x y xy 第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不x y 正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程＝1.xy 15．方程(2x ＋3y －5)(－1)＝0表示的曲线是什么？x －3解 因为(2x ＋3y －5)(－1)＝0，x －3所以可得Error!或者－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为x －3一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 滚动训练(二) Word版含答案
滚动训练(二)一、填空题1、已知命题p ：∃x ∈R ,x 2＋ax ＋a <0,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是________、 答案 [0,4]解析 ∵p 是假命题,∴∀x ∈R ,x 2＋ax ＋a ≥0恒成立,∴Δ＝a 2－4a ≤0,∴0≤a ≤4.2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是________、考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 椭圆解析 设椭圆的右焦点为F 2,由题意,知PO ＝12MF 2,PF 1＝12MF 1, 又MF 1＋MF 2＝2a ,所以PO ＋PF 1＝a >F 1O ＝c ,故由椭圆的定义,知P 点的轨迹是椭圆、3、命题“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是________、答案 ∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n ＜x 2解析 原命题是全称命题,条件为∀x ∈R ,结论为∃n ∈N *,使得n ≥x 2,其否定形式为存在性命题,条件中改量词,并否定结论、4、已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是________、答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ,则MF ＋ME ＝10,∴ME ＝8,又ON 为△MEF 的中位线,∴ON ＝12ME ＝4.5、直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________、答案 ⎝⎛⎭⎫－23，13 解析 将直线y ＝x ＋1代入椭圆x 2＋2y 2＝4中,得x 2＋2(x ＋1)2＝4,∴3x 2＋4x －2＝0,∴弦的中点的横坐标是x ＝12×⎝⎛⎭⎫－43＝－23, 代入直线方程y ＝x ＋1中,得y ＝13, ∴弦的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－23，13. 6、设函数f (x )＝|log 2x |,则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________、 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1， 故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件、7、已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是________、答案 ⎝⎛⎭⎫0，22 解析 设M (x ,y ),∵MF 1→·MF 2→＝0,∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2,点M 的轨迹是以原点为圆心的圆,其中F 1F 2为圆的直径、 由题意知,椭圆上的点P 总在圆外,所以OP >c 恒成立,由椭圆性质知OP ≥b ,∴b >c ,∴a 2>2c 2,∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12,∴0<e <22.8、若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32,则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m ＝1,则有m >0且m ≠1. 当1m<1,即m >1时,依题意有1－1m 1＝32, 解得m ＝4,满足m >1；当1m>1,即0<m <1时,依题意有1m －11m ＝32, 解得m ＝14,满足0<m <1. 综上,m ＝14或4. 9、椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中,F 1,F 2分别为其左、右焦点,M 为椭圆上一点且MF 2⊥x 轴,设P 是椭圆上任意一点,若△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍(O 为坐标原点),则该椭圆的离心率e ＝________.考点 椭圆的离心率问题题点 求a ,b ,c 得离心率答案 53解析 由题意,可得M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a 或M ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍,∴12×2c ×b ＝3×12×c ×b 2a, ∴b ＝23a ,∴c ＝a 2－b 2＝53a , ∴e ＝c a ＝53. 10、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1.与椭圆相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为________、考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 553解析 由题意知,椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0),直线AB 的方程为y ＝2(x －1)、由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1， 消去y ,整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0. 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. 11、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)及点B (0,a ),过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ,F 为椭圆的右焦点,则∠ABF ＝________.考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 90°解析 由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为y ＝kx ＋a (k ＞0), 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y , 整理得b 2x 2＋a 2(kx ＋a )2－a 2b 2＝0,即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 4－a 2b 2＝0,由Δ＝4a 6k 2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0,得k ＝c a, 从而y ＝c ax ＋a ,交x 轴于A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0, 又F (c,0),所以BA →＝⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－a ,BF →＝(c ,－a ),则BA →·BF →＝0,故∠ABF ＝90°.二、解答题12、已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆,求实数m 的取值范围、 考点 椭圆的标准方程题点 已知椭圆的焦点位置、焦距求参数解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时,则有5－2m >m ＋1>0,解得－1<m <43； (2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时,则有m ＋1>5－2m >0,解得43<m <52. 综上,m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，43∪⎝⎛⎭⎫43，52. 13、在平面直角坐标系xOy 中,点A (－2,0),B (2,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是－34. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l ：y ＝x －1与曲线C 相交于P 1,P 2两点,Q 是x 轴上一点,若△P 1P 2Q 的面积为62,求Q 点的坐标、考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积解 (1)设M (x ,y ),则y x ＋2×y x －2＝－34, 化简整理得,点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)、 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x －1，消去y ,得7x 2－8x －8＝0. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝87,x 1x 2＝－87, ∴P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝247. 设Q (m,0),则Q 到直线l 的距离d ＝|m －1|2, 依题意,得12×P 1P 2×d ＝62, 化简得|m －1|＝7,解得m ＝8或m ＝－6,故所求点为Q (8,0)或Q (－6,0)、 三、探究与拓展14、已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,若△F 1PF 2为直角三角形,则这样的点P 有______个、答案 6解析 当∠PF 1F 2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时,这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时,∠F 1PF 2最大,且为直角,此时这样的点P 有2个、故符合要求的点P 有6个、15、已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ,过圆外一点(m,0)(m ＞a )且倾斜角为3π4的直线l 交椭圆于C ,D 两点、 (1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部,求m 的取值范围、 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中定点、定值、取值范围问题解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过点F ,B ,∴F (1,0),B (0,3),∴c ＝1,b ＝3,∴a 2＝4,故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )(m ＞2)、由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－(x －m )，消去y , 得7x 2－8mx ＋(4m 2－12)＝0.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8m 7,x 1x 2＝4m 2－127, ∴y 1y 2＝[－(x 1－m )]·[－(x 2－m )] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2.∵FC →＝(x 1－1,y 1),FD →＝(x 2－1,y 2), ∴FC →·FD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋m 2 ＝7m 2－8m －177. ∵点F 在圆E 的内部,∴FC →·FD →＜0,即7m 2－8m －177＜0, 解得4－3157＜m ＜4＋3157. 由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0, 解得－7＜m ＜7.又m ＞2,∴2＜m ＜4＋3157.。
数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 含答案
2.3.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a ，b ，c ，e 间的关系．[&^@~%]知识点一 双曲线的性质 [*&^@~]知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点． (1)x 2－y 2＝1；(2)4x 2－4y 2＝1. [*&~#%] 答案 (1)的实半轴长为1，虚半轴长为1(2)的实半轴长为12，虚半轴长为12.它们的实半轴长与虚半轴长相等． [*%~&#]梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为 2.1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√) [^#*%&]2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×) [%*&~@]3．等轴双曲线的离心率为 2.(√)4．离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一 双曲线的几何性质例1 求双曲线nx 2－my 2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为x 2m －y2n＝1(m>0，n>0)，[%*^~#]由此可知，实半轴长a ＝m ， [%~*#&] 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a ＝m ＋nm＝1＋nm， [#*&^@] 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x.引申探究将本例改为“求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y24＝1， [@&%~*]即x 232－y 222＝1， [^*%&@] 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， [@^~*#] 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x.反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 [~@%#&] (1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值． [@~%&^] (3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1. [^~@*&]由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)， [%^@*~] 离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x. [*%@^#]类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2-2.6.3 Word版含答案
2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点学习目标1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0，(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√) 3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2x 表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2P A . 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又P A ＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程．解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ， 又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax (a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x ，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0， ∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝⎛⎭⎫2，83. 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定． 跟踪训练3 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－178，158 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎨⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案 (0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43解析 因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43.3．直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)解析 设直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1. 4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )， 则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． (4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案 π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b < 2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________． 答案 34解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0，解得m 2＝34. 5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________．答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝1解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________．答案 y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且P A →·PB→＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________．答案 y 2－x 2＝2解析 设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB →＝x 2－2＋y 2.由P A →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2，所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0. 令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________．答案 33 解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a， 由椭圆定义得3b 2a＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2， 则此椭圆的离心率e 为33. 11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．答案 45°或135°解析 由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，设直线方程y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0， 设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝6＋3k 2k 2， ∵弦长为12，∴6＋3k 2k 2＋3＝12， ∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2，整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2， 所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)． 13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋62，y ＝y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y . 由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上，所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32. 三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________．答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若MN 和MQ 的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解 连结ON ，OM ，则ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆的半径是1，∴MN 2＝OM 2－ON 2＝OM 2－1.由题意，MN MQ＝λ(λ＞0)，∴MN ＝λMQ ， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2， 整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54， 该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1
§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．方程x 2m －y 2n ＝1(m ·n ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .(×)3．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，焦距为2c ，则a 2＝b 2＋c 2.(×)类型一 求双曲线的标准方程例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆y 225＋x 216＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程y 225＋x 216＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型二 曲线方程的讨论例2 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，解得m ＞5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn ＜0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练2 (1)“3＜m ＜5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的_________条件．答案 充分不必要解析 (m －5)(m 2－m －6)＝(m －5)(m －3)(m ＋2)．①方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线⇒(m －5)(m 2－m －6)＜0，即(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0 ⇒3＜m ＜5或m ＜－2 ⇏3＜m ＜5，∴3＜m ＜5不是“x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m ＜5⇒(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0， 即(m －5)(m 2－m －6)＜0⇒x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． ∴3＜m ＜5是x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论． ①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k ＞25时，所给方程没有轨迹． 类型三 双曲线的定义及标准方程的应用例3 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°， 所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32， 所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟 求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值； ④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x 2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系． 跟踪训练3 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解 在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)， ∴MF 1·MF 2＝2b 21－cos θ，∴12MF F S ＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝b 2tan θ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 依题意得(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k <1. 2．双曲线x 2k 2＋8－y 28－k 2＝1的焦距为________．答案 8解析 依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点． 令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， ∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________． 答案 ±6解析 由题意知，k ≠0.当k >0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k <0时，方程化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k2＝6，解得k ＝－6. 综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，设M (x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，可设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________． 答案 x 24－y 212＝1解析 由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析 由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2， 所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A (－2，－5)，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 220－x 216＝1解析 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6. 设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点， AF 1＝(－2)2＋(－5＋6)2＝5， AF 2＝(－2)2＋(－5－6)2＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45， 所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16， 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 29－x 216＝1解析 由题意得，焦点位于y 轴上，且c ＝5,2a ＝6，所以a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y 29－x 216＝1.5．已知双曲线x 24－y 2m ＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m ＝________.答案 5 解析 因为c ＝4＋m ＝3，所以解得m ＝5.6．已知方程x 29－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (9，＋∞)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－k <0，k －3>0，解得k >9.7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 13解析 设PF 1＝d 1，PF 2＝d 2，则d 1＋d 2＝26，① |d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c22d 1d 2＝18－166＝13.8．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________．答案 x 23－y 23＝1解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上，∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.① 又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，a b 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3.10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，2若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 三、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的值为________． 答案 7或－2解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2.综上，m ＝7或m ＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左，右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23， 又F 1F 2＝25，所以在△MF 1F 2中，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212MF 2·F 1F 2<0， 又因为∠MF 2F 1∈(0°，180°)， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷 Word版含答案
章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．答案12解析∵椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12.2．已知F 1，F 2分别是椭圆x2k ＋2＋y2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．答案12解析△ABF 2的周长为4a ，且4a ＝8，所以a ＝2，得k ＝2，所以b 2＝3， 所以e ＝ca ＝4－32＝12.3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.答案2解析设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2， 则依题意有焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，∴x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是________．答案32解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.5．已知椭圆x2a2＋y216＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．答案20解析由椭圆定义知，△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，∴△ABF 2的周长为20.6．已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案44解析由题意，因为双曲线的右焦点(5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，利用双曲线的定义得FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，由P A ＋QA ＝PQ ＝2×8＝16，得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.7．已知双曲线x2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．答案y ＝±33x解析∵y 2＝8x 焦点坐标是(2,0)，∴双曲线x2a2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，∴a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．答案3x 2－y 2＝1解析由题意可得e ＝ca＝2，则c ＝2a ，设其一焦点为F (c,0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0，那么d ＝bc b2＋a2＝bcc＝b ＝1， 而c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝13，则所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1.9．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程为________．答案x24＋y22＝1解析设点P (x ，y )，则PA →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知得x 2＋y 2－2＝x22，即x24＋y22＝1.10．已知椭圆x225＋y216＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，且椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则△PF 1F 2的面积为________．答案45解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，不妨记PF 1＝3，则PF 2＝7，又2c ＝6， 所以cos ∠PF 2F 1＝72＋62－322×6×7＝1921，从而可得sin ∠PF 2F 1＝4521，所以＝12×6×7×sin ∠PF 2F 1＝4 5.11．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．答案57解析在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ，所以a ＝7，则e ＝c a ＝57.12．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sinA ＋sinBsinC的值等于________．答案3解析在△ABC 中，由正弦定理得sinA ＋sinB sinC ＝CB ＋CAAB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sinA ＋sinB sinC ＝2a 2c ＝1e＝3.13．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．答案138解析由P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138.14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23＋y22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y249－x225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．答案①②④解析①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33；③正确；④渐近线方程为y ＝±75x . 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b . 又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a2＋0b2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴0a2＋9b2＝1，∴b 2＝9，∴b ＝3，a ＝9.∴椭圆的标准方程为y281＋x29＝1.综上，椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1或y281＋x29＝1.16．(14分)求与椭圆x2144＋y2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .17．(14分)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程． 解设椭圆的方程为x2a21＋y2b21＝1，双曲线的方程为x2a22－y2b22＝1，焦距2c ＝213，由已知得a 1－a 2＝4，c a1∶ca2＝3∶7，解得a 1＝7，a 2＝3，c ＝13，所以b 21＝36，b 2＝4，所以两条曲线的方程分别为x249＋y236＝1，x29－y24＝1.18．(16分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．解设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，Δ＝4(4＋m )2－64＞0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长为错误!＝错误!＝错误!＝2错误!.由2错误!＝6错误!，解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意且满足Δ＞0. 所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .19．(16分)已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．解(1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a2－c2＝1， 所以椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x23＋y2＝1得x ＝±错误!，所以圆P 的半径为错误!.当圆P 与x 轴相切时，|t |＝错误!，解得t ＝±错误!，所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，±32.20．(16分)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A 与短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM . (1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．解(1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)，设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－ba.错误!则有y －c＝－b a ，∴y ＝bc a .①又∵点M 在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴c2a2＋y2b2＝1.②由①②得c2a2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22.(2)设QF 1＝m ，QF 2＝n ，∠F 1QF 2＝θ，则m ＋n ＝2a ，F 1F 2＝2c .在△F 1QF 2中，cos θ＝m2＋n2－4c22mn ＝错误!＝错误!－1≥错误!－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ＜1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2.又当Q 为椭圆的左、右顶点时，θ＝0，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.。
数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(一) Word版
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21. 而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26， ∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ， 又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32.5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)． 4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________．答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________． 答案 x 25＋y 24＝1解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线． ∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33.11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33 解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 滚动训练(三) Word版含答案
滚动训练(三)一、填空题1．已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在双曲线x 24－y 22＝1上,则抛物线的方程为________．答案 y 2＝±8x解析 由题意知,抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点,即为(－2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．已知p ：∃x ∈R ,mx 2＋1≤0,q ：∀x ∈R ,x 2＋mx ＋1＞0,若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围为________．考点 “p ∨q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∨q ”形式命题的真假求参数的范围答案 [2,＋∞)解析 由p ：∃x ∈R ,mx 2＋1≤0,可得m ＜0；由q ：∀x ∈R ,x 2＋mx ＋1＞0,可得Δ＝m 2－4＜0,解得－2＜m ＜2.因为p ∨q 为假命题,所以p 与q 都是假命题,若p 是假命题,则有m ≥0；若q 是假命题,则有m ≤－2或m ≥2,故实数m 的取值范围为[2,＋∞)．3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－5,0),F 2(5,0),M 是椭圆上一点,若MF 1→·MF 2→＝0,|MF 1→|·|MF 2→|＝8,则该椭圆的标准方程是________．考点 椭圆的标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 x 29＋y 24＝1 解析 由MF 1→·MF 2→＝0,得MF 1→⊥MF 2→,即MF 1⊥MF 2,由勾股定理,得MF 21＋MF 22＝(2c )2＝20,且|MF 1→|·|MF 2→|＝8,解得|MF 1→|＝4,|MF 2→|＝2(假设|MF 1→|＞|MF 2→|),所以根据椭圆的定义,可得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ＝6,即a ＝3,所以b 2＝a 2－c 2＝4,所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1. 4．设e 是椭圆x 2k ＋y 24＝1的离心率,且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1,则实数k 的取值范围是________． 考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数答案 (0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞解析 当焦点在x 轴上时,e ＝k －4k ∈⎝⎛⎭⎫12，1, ∴k －4k ∈⎝⎛⎭⎫14，1,∴k ∈⎝⎛⎭⎫163，＋∞； 当焦点在y 轴上时,e ＝4－k 2∈⎝⎛⎭⎫12，1, ∴k ∈(0,3)．故实数k 的取值范围是(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率为62,左顶点到一条渐近线的距离为263,则该双曲线的标准方程为________．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线的标准方程答案 x 28－y 24＝1 解析 e ＝62,即c ＝62a ,a ＝2b , 渐近线方程为x 22b 2－y 2b2＝0,即2y ＝±x , 因为左顶点到一条渐近线的距离为|a |3＝263, 解得a ＝22,b ＝2,即该双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.6．已知抛物线C ：x 2＝16y 的焦点为F ,准线为l ,M 是l 上一点,P 是直线MF 与C 的一个交点,若FM →＝3FP →,则PF ＝________.考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 163解析 由抛物线C ：x 2＝16y 可得焦点为F (0,4),准线方程为y ＝－4,设M (a ,－4),P ⎝⎛⎭⎫m ，m 216, 则FM →＝(a ,－8),FP →＝⎝⎛⎭⎫m ，m 216－4.因为FM →＝3FP →,所以a ＝3m ,－8＝3m 216－12,解得m 2＝643. 由抛物线的定义,得PF ＝m 216＋4＝163. 7．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3),g (x )＝2x －2,若∀x ∈R ,f (x )＜0或g (x )＜0,则m 的取值范围是________．考点 全称命题的真假性判断题点 恒成立求参数的范围答案 (－4,0)解析 由g (x )＝2x －2＜0,可得x ＜1,∴要使∀x ∈R ,f (x )＜0或g (x )＜0,必须使x ≥1时,f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＜0恒成立．当m ＝0时,f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件,∴二次函数f (x )必须开口向下,且方程f (x )＝0的两根2m ,－m －3都小于1,即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜1，－m －3＜1，解得－4＜m ＜0.8．与双曲线x 216－y 29＝1有相同渐近线,且经过点(33,－3)的双曲线的标准方程是__________________．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 x 211－y 29916＝1 解析 设所求双曲线的方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0), ∵所求双曲线经过点(33,－3),∴(33)216－(－3)29＝λ, ∴λ＝1116,∴所求双曲线的标准方程为x 211－y 29916＝1. 9．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ,右焦点为F ,上顶点为B ,下顶点为C ,若直线AB 与直线CF 的交点为(3a,16),则椭圆的标准方程为____________．考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程答案 x 225＋y 216＝1 解析 由椭圆的左顶点的坐标为A (－a,0),上、下顶点的坐标为B (0,b ),C (0,－b ),右焦点为F (c,0),得直线AB 的方程为y ＝b ax ＋b , 直线CF 的方程为y ＝b cx －b , 又因为直线AB 与直线CF 的交点为(3a,16),把点(3a,16)分别代入直线方程可得⎩⎨⎧ 16＝b a ×3a ＋b ，16＝b c ×3a －b ，解得b ＝4且3a ＝5c .又因为a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝5, 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 10．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等,点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点,则k 的取值范围是________________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题答案 (－∞,－1)∪(1,＋∞)解析 设点A (x ,y ),依题意,得点A 在以F (1,0)为焦点,x ＝－1为准线的抛物线上,该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0),斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，消去x ,得ky 2－4y ＋4k ＝0. 当k ＝0时,显然不符合题意；当k ≠0时,依题意,得Δ＝(－4)2－4k ·4k ＜0,化简得k 2－1＞0,解得k ＞1或k ＜－1,因此k 的取值范围为(－∞,－1)∪(1,＋∞)．11．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是________． 答案 6x －4y －3＝0解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0,抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0,所以3×12－2×0＋c ＝0,所以c ＝－32,故直线l 的方程是6x －4y －3＝0. 二、解答题12．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ,B 两点,F 为抛物线C 的焦点．若AF ＝2BF ,求k 的值．解 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得, k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0,∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2,x 1x 2＝4. 由抛物线定义得AF ＝x 1＋2,BF ＝x 2＋2,又∵AF ＝2BF ,∴x 1＋2＝2x 2＋4,∴x 1＝2x 2＋2,代入x 1x 2＝4,得x 22＋x 2－2＝0,∴x 2＝1或－2(舍去),∴x 1＝4,∴4(2－k 2)k 2＝5, ∴k 2＝89.∵k >0,∴k ＝223. 13．已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2),若p ,q 有且只有一个为真,求m 的取值范围．考点 “p ∨q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∨q ”形式命题的真假求参数的范围解 将方程x 22m －y 2m －1＝1改写成x 22m ＋y 21－m＝1, 只有当1－m ＞2m ＞0,即0＜m ＜13时, 方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆,所以命题p 等价于0＜m ＜13； 因为双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2), 所以m ＞0,且1＜5＋m 5＜4,解得0＜m ＜15, 所以命题q 等价于0＜m ＜15.若p 真q 假,则m 不存在；若p 假q 真,则13≤m ＜15. 综上可知m 的取值范围为13≤m ＜15. 三、探究与拓展14．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ,B ,则A ,B 两点间的距离为________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题答案 3 2解析 由题意可设l AB ：y ＝x ＋b .把直线l AB 的方程代入y ＝－x 2＋3中,得x 2＋x ＋b －3＝0,Δ＝1－4(b －3)＞0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－1,y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2b －1,∴线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，b －12, ∵该点在直线x ＋y ＝0上,∴－12＋⎝⎛⎭⎫b －12＝0,得b ＝1, ∴x 1x 2＝b －3＝－2.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×(－1)2－4×(－2)＝3 2.故A ,B 两点间的距离为3 2.15．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32,P (－2,1)是C 1上一点． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设A ,B ,Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于AB 的直线l 与C 1相交于不同于P ,Q 的两点C ,D ,点C 关于原点的对称点为E ,证明：直线PD ,PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形．考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题(1)解 由题意,得⎩⎨⎧ 1－b 2a 2＝34，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆的方程为x 28＋y 22＝1. (2)证明 由题意,得A (－2,－1),B (2,1),所以直线l 的斜率为12, 设直线l 的方程为y ＝12x ＋t , 由⎩⎨⎧ y ＝12x ＋t ，x 28＋y 22＝1，消去y ,得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0,由Δ＝－4t 2＋16＞0,解得－2＜t ＜2.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－2t ,x 1·x 2＝2t 2－4,∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1－x 1＋2＝(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)(x 2＋2)(－x 1＋2), 而(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)＝－x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4＝0,∴k PD ＋k PE ＝0,∴直线PD ,PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形．。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案
§2.2椭圆 2.2.1椭圆的标准方程学习目标1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形．知识点椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a >b >c 一定成立吗？答案不一定，只需a >b ，a >c 即可，b ，c 的大小关系不确定．梳理(1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y25＋x24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距F 1F 2＝2.1．椭圆的标准方程只与a ，b 的大小有关．(×)2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2.(√)类型一求椭圆的标准方程命题角度1用待定系数法求椭圆的标准方程例1求焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．解方法一①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝15，b2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝14，b2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.方法二设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.引申探究求与椭圆x225＋y29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解据题可设其方程为x225＋λ＋y29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)，故所求的椭圆方程为x236＋y220＝1.反思与感悟1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．2．与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)，与椭圆y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y2a2＋λ＋x2b2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)．跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 解(1)设其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x2913＋y29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a2＝1，1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.命题角度2用定义法求椭圆的标准方程 例2已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．解依题意得C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，动圆的半径为R ， 则MC 1＝1＋R ，MC 2＝9－R ， 故MC 1＋MC 2＝10>6＝C 1C 2，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16. 故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x225＋y216＝1.反思与感悟用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值． 跟踪训练2已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取PF 1＝453，PF 2＝253，由椭圆的定义，知2a ＝PF 1＋PF 2＝25.即a ＝5.由PF 1>PF 2知，PF 2垂直于焦点所在的坐标轴．在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝PF 21－PF 2＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.类型二椭圆中焦点三角形问题例3已知P 是椭圆y25＋x24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2，∴c ＝a2－b2＝1，∴F 1F 2＝2.又由椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2a ＝25.在△F 1PF 2中，由余弦定理得F 1F 2＝PF 21＋PF 2－2PF 1·PF 2cos ∠F 1PF 2， 即4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2cos30°， 即4＝20－(2＋3)PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝16(2－3)．∴＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2 ＝12×16(2－3)×12＝8－43.反思与感悟1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．2．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 跟踪训练3在椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积＝b 2tan α2.证明在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝2a . 两边平方，得PF 21＋PF 2＋2PF 1·PF 2＝4a 2.① 根据余弦定理，得PF 21＋PF 2－2PF 1·PF 2cos α＝4c 2.② ①－②，得(1＋cos α)PF 1·PF 2＝2b 2， 所以PF 1·PF 2＝2b21＋cosα.根据三角形的面积公式，得＝12PF 1·PF 2sin α＝12·2b21＋cosα·sin α＝b 2·sinα1＋cosα. 又因为sinα1＋cosα＝2sin α2cos α22cos2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以＝b 2tan α2.类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例4已知B ，C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解以BC 的中点O 为坐标原点，过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x225＋y29＝1(y ≠0)．反思与感悟求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．跟踪训练4如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x225＋y29＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．考点椭圆标准方程的求法 题点定义法求椭圆的标准方程解设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2x －6，y1＝2y －2，又∵x2125＋y219＝1，∴点M 的轨迹方程为错误!＋错误!＝错误!.1．椭圆8x 2＋3y 2＝24的焦点坐标为________________．答案(0，－5)，(0，5)解析椭圆方程可化为y28＋x23＝1，它的焦点位于y 轴上，且c ＝5，故两焦点坐标分别为(0，－5)，(0，5)．2．已知椭圆x220＋y2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．答案11或29解析当焦点在x 轴上时，20－k ＝32，解得k ＝11；当焦点在y 轴上时，解得k －20＝32，即k ＝29. 3．设P 是椭圆x216＋y212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形．答案直角解析根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3. 而F 1F 2＝4，所以F 1F 2＋PF 2＝PF 21，所以△PF 1F 2是直角三角形．4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．答案充要解析方程可化为x21m＋y21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x249＋y224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________.答案48解析依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10.由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 2＝F 1F 2，即PF 21＋PF 2＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14，∴(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100，即196－2PF 1·PF 2＝100.解得PF 1·PF 2＝48.1．椭圆的定义式：PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)．在解题过程中将PF 1＋PF 2看成一个整体，可简化运算． 2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．一、填空题1．椭圆x2m ＋y215＝1的焦距等于2，则m 的值为________．答案16或14解析由m －15＝±1得m ＝16或14.2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________． 答案1解析原方程可化简为x 2＋y25k＝1，因为c 2＝5k－1＝4，得k ＝1.3．已知椭圆x2a2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为________．答案x26＋y22＝1解析由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6， ∴所求椭圆的方程为x26＋y22＝1.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4解析由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π4.5．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的三角形ABF 2的周长是________． 答案4解析方程可化为x219＋y 2＝1，∴焦点在y 轴上，且a 2＝1，∴a ＝1.∴△ABF 2的周长为AF 1＋AF 2＋BF 2＋BF 1＝2a ＋2a ＝4a ＝4. 6．设F 1，F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________． 答案15解析由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5， 所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15. 7．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右两个焦点，若椭圆C 上的点A⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是____________． 答案x24＋y23＝1解析由AF 1＋AF 2＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x24＋y2b2＝1，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.8．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x24＋y29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为________________． 答案y28＋x23＝1解析椭圆x24＋y29＝1的焦点在y 轴上，且c ＝9－4＝5，故所求椭圆的焦点在y 轴上． 又∵它过点(3，0)，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝8.故这个椭圆的标准方程为y28＋x23＝1.9．“1<m <3”是“方程x2m －1＋y23－m ＝1表示椭圆”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案必要不充分解析当方程x2m －1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m>0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．10．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 答案(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x21k2－1＋y213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1＞0，1k2－1＜13.解得k ＞2或k ＜－2.11．若椭圆x2100＋y264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________． 答案6433解析由已知得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，F 1F 2＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝PF 21＋PF 2－2PF 1·PF 2·cos60°， 即144＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2， ∴PF 1·PF 2＝2563，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin60°＝6433.二、解答题12．点A 在椭圆x2900＋y2324＝1上运动，B (－4,0)，C (4,0)，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．解设G (x ，y )，A (x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋4＋x′3，y ＝y′3，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝3y. 又点A 在椭圆x2900＋y2324＝1上，∴错误!＋错误!＝1.故所求的轨迹方程为x2100＋y236＝1(y ≠0)．13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程． 解设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A, ∴F1A →·F2A →＝0，而F1A →＝(－4＋c,3)，F2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝AF 1＋AF 2 ＝错误!＋错误! ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.三、探究与拓展 14．已知F 1，F 2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若F 2A ＋F 2B ＝12，则AB ＝________. 答案8解析由题意，知(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝AB ＋AF 2＋BF 2＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得AB ＋(BF 2＋AF 2)＝20，即AB ＝8.15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程．解以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点F 1，F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，依题意得，2a ＝3,2c ＝2.4，故a ＝1.5，c ＝1.2，所以b 2＝a 2－c 2＝0.81. 所以这个椭圆的标准方程为x22.25＋y20.81＝1.。
苏教版高中数学新学案选修2 1同步讲义第2章 圆锥曲线与方程 §21 含答案
§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F，F处，套上铅笔，21拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF＋PF是常数(大于FF)．2112梳理平面内到两个定点F，F的距离的和等于常数(大于FF)的点的轨迹叫做椭圆，两2211个定点F，F叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．21知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F或F，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲21线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF－MF|为一个正常数．21思考2若MF－MF＝FF，则动点M的轨迹是什么？2211答案以F为端点，向F右边延伸的射线．22梳理平面内到两个定点F，F的距离的差的绝对值等于常数(小于FF的正数)的点的轨2121迹叫做双曲线，两个定点F，F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．21知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例1平面内动点M到两点F(－3,0)，F(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹21是椭圆？解∵MF＋MF＝3m，21∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于FF时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，21∴3m＞FF＝3－(－3)＝6，21∴m＞2，∴当m＞2时，M的轨迹是椭圆．反思与感悟在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于FF.21(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于FF. 21(3)在抛物线中，点F不在定直线上．跟踪训练1(1)命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点P到两个定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是10，则点P的轨迹是________．答案(1)必要不充分(2)椭圆解析(1)若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若PA＋PB＝2a(a＞0，且是常数)，不能推出P点轨迹是椭圆．因为仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知PA＋PB＋AB＝10，又AB＝4，∴PA＋PB＝6＞4.∴点P的轨迹是椭圆．类型二圆锥曲线轨迹的探究例2如图，已知动圆C与圆F，F均外切(圆F与圆F相离)，试问：动点C的轨迹是什2112么曲线？解设动圆C的半径为R，圆F，F的半径分别为r，r，则CF＝R＋r，CF＝R＋r. 21211221所以CF－CF＝r－r.2121．又CF－CF＝r－r<FF，212211故动圆圆心C的轨迹是以F，F为焦点的双曲线靠近F的一支．221引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解动点C的轨迹是以F，F为焦点的双曲线靠近F的一支．112反思与感悟紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练2已知动点P到点A(－3,0)的距离比它到直线x＝1的距离大2，试判断动点P的轨迹．解因点P到A的距离比它到直线x＝1的距离大2，所以点P到点A的距离等于它到直线x＝3的距离．因为点A不在直线x＝3上，所以点P的轨迹是抛物线．类型三圆锥曲线定义的应用例3在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC. 又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.反思与感悟利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到MF＋MF＝2a(a为大于零的常数)时，还需要看2a与FF的大小，只有2a>FF221121时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF－MF＝2a(0<2a<FF)，轨迹仅为双曲线的一支．除了2112圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．1跟踪训练3在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sin C－sin B|＝sin A，则2顶点A的轨迹是什么？1解因为|sin C－sin B|＝sin A，由正弦定理可得2111|AB－AC|＝BC＝m，且m<BC，222 ．)的两交点BC除去双曲线与(的轨迹是双曲线A所以点．1．设F，F是两个定点，FF＝6，动点M满足MF＋MF＝10，则动点M的轨迹是________．212112答案椭圆解析因MF＋MF＝10>FF＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．22112．若F，F是两个定点且动点P满足PF－PF＝1，又FF＝3，则动点P的轨迹是________．2111122答案双曲线靠近点F 的一支2解析因PF－PF＝1<FF＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F22112的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F(－3,0)，F(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．21答案两条射线解析据题|MF－MF|＝FF，得动点M的轨迹是两条射线．21215.如图，在正方体ABCD－ABCD 中，P是侧面BBCC内一动点，若点P到直线BC与111111直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是________．11答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到CD的距离为PC，故动点P到定点C和到定直线1111BC的距离相等，且点C不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．11．若MF＋MF＝2a(2a>FF)，则动点M的轨迹是椭圆．2121若点M在椭圆上，则MF＋MF＝2a. 212．若|MF－MF|＝2a(0<2a<FF)，则动点M的轨迹为双曲线．2211若动点M在双曲线上，则|MF －MF|＝2a.21．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．3．一、填空题的轨迹是________．(3,0)的距离的和等于6的点P1．平面内到两定点F(－3,0)，F21线段FF答案21. FFFF，故动点P的轨迹是线段＋解析依题意得PFPF＝6＝212121 ________．和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是2．到定点(0,7) 直线答案7上，故符合条件的点的轨迹是直线．(0,7)在定直线y＝解析因定点的轨迹为双曲线的是，在满足下列条件的平面内，动点P2,0)，F(2,0)3．已知定点F(－21) (填序号________．；PF|＝3|①PF－21；PF|＝4②|PF－21；PF|＝5③|PF－2122±PF＝4. ④PF－21①答案. FF的距离之差的绝对值要小于F根据双曲线定义知P到F，解析2211的点的轨迹是________．(2,0)和B(4,0)的距离之差为24．到定点A答案一条射线常数”等于两定点间的距离．“差的绝对值”；二是“解析要注意两点：一是“差”而不是的上，则顶点CABC的内切圆圆心在直线x＝3ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△5．已知△____________．轨迹是为焦点的双曲线的右支B以A，答案(3,0))除去点(根据双AB＝10.6＝8－2＝＜CABE＝AE＝8.BF＝＝2，CD＝CF，所以－CB如图，解析AD除去点(3,0))．曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(2222＝±4，则动点M?y＋3?的轨迹??的坐标满足x－1y＋?－1?x－?＋3?＋yxM6．已知点(，)是________．答案双曲线距3)，－3－(与(1,1)，而4点的距离之差的绝对值为3)，－3－(点及到(1,1)到)y，x(点解析．M离为的轨迹是双曲线．42，由定义知动点)(填序号7．下列说法中正确的有________．12的点的轨迹是椭圆；(6,0)，到F，F两点的距离之和等于①已知F(－6,0)，F2121的点的轨迹是椭圆；，(6,0)，到FF两点的距离之和等于8②已知F(－6,0)，F2121的距离之和的点的轨迹F(10，0)到F，③到点F(－6,0)，F(6,0)两点的距离之和等于点M2112是椭圆；距离相等的点的轨迹是椭圆．－6,0)，F(6,0)④到点F(21③答案的点的轨迹，应特别注意)的距离之和等于常数(大于FF解析椭圆是到两个定点F，F2121椭圆的定义的应用．. 两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段FF①中FF＝12，故到F，F212112 8小于FF，故这样的点不存在．②中点到F，F两点的距离之和21212222，1220>F610－?F＋到F，F 两点的距离之和为?10＋6?0＋0＝＝＋?M③中点(10,0)2211故③中点的轨迹是椭圆．的垂直平分线．④中点的轨迹是线段FF21.故正确的是③．P的轨迹是________y－4＝0的距离相等，则动点(1,1)8．若动点P到定点F和到直线l：3x＋直线答案|3x＋y－4|22.整理，得x－－1?3＝y＋2＝0)解析设动点P的坐标为(x，y，，则?x－1?＋?y10 所以动点P的轨迹为直线．P是非零常数，命题乙：动点|F9．平面内有两个定点，F及动点P，设命题甲：PF－PF|2121“必要不的轨迹是以F，F为焦点的双曲线，则甲是乙的“充分不必要”条件．(________21) “既不充分又不必要”充分”“充要”必要不充分答案|PFPF－|，P解析由双曲线的定义可知，若动点的轨迹是以FF为焦点的双曲线，则2211是非零常数，反之则不成立．→→→→则曲线≠－4(|－满足曲线，A10．已知点(－1,0)B(1,0)．C上任意一点PPA2PB2＝PA||PB|)0. C．的轨迹是______ 椭圆答案→→→→22 0，≠PB－A4(|A由解析P－PB＝P|||)→→. 4＝||＋|P|得APB，且4>AB的轨迹是椭圆．C故曲线22的内部与其相内切，则动＝x－3)64＋y11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：( ________．圆圆心M的轨迹为椭圆答案，过定点A8－r.又动圆MM的半径为r.因为动圆M 与定圆B内切，所以MB＝解析设动圆M的轨迹是椭圆．＞AB＝6，故动圆圆心MA＝r，所以MA＋MB＝8 二、解答题的轨迹．0的距离小1，试确定点MyF(0，－2)的距离比它到直线l：－3＝12．点M到点上，所l＝0的距离，且点F不在直线解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2 的轨迹是抛物线．以点M222，，a>0为常数)Q(c,0)为定点(已知点P为圆R：(x＋c)c＋y＝4a>上一动点，13．如图所示，RP的交点M的轨迹．O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线. RP＝2a解由题意，得MP＝MQ，.＝2c＝RP＝2a<RQ－MR－MQ＝MRMP 2a为实轴长的双曲线的右支．∴点M的轨迹是以R，Q 为两焦点，三、探究与拓展22的轨迹是__________．4y－12|M的坐标满足方程x5，则动点＋yM＝|3x＋14．已知动点答案抛物线12|4y－|3x＋2222＝，∴动点Mx到原点的＋12|＝|3x＋4y－解析把轨迹方程y5x写成＋y5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．15．在△ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知MB222222＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC.333333．根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。
数学新学案同步讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 §2-5 含答案
课时跟踪检测（七） 一些典型分子的空间构型1．下列能正确表示CH 4分子中碳原子成键轨道的示意图为( )解析：选D CH 4分子中碳原子采用sp 3杂化，杂化前为 ，其中2s 和2p 轨道杂化形成能量相同的四个sp 1杂化轨道，即杂化后为。
2．中心原子采取sp 1杂化的分子是( ) A ．NH 3 B ．BeCl 2 C ．PCl 3D ．H 2O解析：选B NH 3分子中N 原子采用sp 3杂化；PCl 3类比NH 3，P 原子采用sp 3杂化；H 2O 分子中O 原子采用sp 3杂化。
3．sp 3杂化形成的AB 4型分子的空间构型是( ) A ．平面四方形 B ．正四面体 C ．四角锥形D ．平面三角形解析：选B sp 3杂化形成的AB 4型分子中，四个杂化轨道均参与形成σ键，故空间构型为正四面体形。
4．用价电子对互斥理论预测，下列分子构型与H 2O 相似，都为V 形的是( ) ①OF 2 ②BeCl 2 ③SO 2 ④CO 2 A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④解析：选C ①价电子对数1/2×(6＋2)＝4，孤电子对数4－2＝2，为V 形；②价电子对数12×(2＋2×1)＝2，孤电子对数2－2＝0，为直线形；③价电子对数1/2×(6＋0)＝3，孤电子对数3－2＝1，为V 形；④价电子对数1/2×(4＋0)＝2，孤电子对数2－2＝0，为直线形。
①、③符合题意。
5．在SO 2分子中，分子的空间结构为V 形，S 原子采用sp 2杂化，那么SO 2的键角( )A．等于120° B．大于120°C．小于120° D．等于180°解析：选C 由于SO2分子的电子对的空间构型为平面三角形，从理论上讲其键角为120°，但是由于SO2分子中的S原子有一对孤电子对，对其他的两个化学键存在排斥作用，因此分子中的键角要小于120°。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(一)
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 2＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21.而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26，∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________． 答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m. 8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案 22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 9．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．答案 x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33. 11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(二)
2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2(1)当P 在椭圆外时，＋>1；x 20a 2y 20b 2(2)当P 在椭圆上时，＋＝1；x 20a 2y 20b 2(3)当P 在椭圆内时，＋<1.x 20a 2y 20b 2知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆＋＝1(a >b >0)的位置关系？x 2a 2y 2b 2答案 联立Error!消去y 得关于x 的一元二次方程，则位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．(2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆＋＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，x 2a 2y 2b 2B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝·，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 21．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√)2．直线－y ＝1被椭圆＋y 2＝1截得的弦长为.(√)x2x 2453．已知椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)x 2a 2y 2b 24．直线y ＝k (x －a )与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(√)x 2a 2y 2b 2类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆＋＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为x 29y 24____________．答案 ∪(－∞，－332)(332，＋∞)解析 依题意得，＋>1，k 2914解得k <－或k >.332332引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？答案 ∪(－∞，－423)(423，＋∞)解析 依题意得，＋>1，解得k 2>，19k 24329即k <－或k >.423423反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．y 2n x 2m 答案 9解析 依题意得，＋＝1，1m 4n 而m ＋n ＝(m ＋n )(1m＋4n )＝1＋＋＋44m n n m ＝5＋＋4m n n m≥5＋2＝9，4m n ·n m (当且仅当n ＝2m 时等号成立)故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆＋y 2＝1的位置关系．x 24考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由Error!消去y ，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)．当－＜m ＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；55当m ＝－或m ＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；55当m ＜－或m ＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．55反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，)且斜率为k 的直线l 与椭圆2＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．x 22考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋，2代入椭圆方程得＋(kx ＋)2＝1，x 222整理得x 2＋2kx ＋1＝0，(12＋k 2)2直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4＝4k 2－2＞0，解得k ＜－(12＋k 2)或k ＞，2222所以k 的取值范围为∪.(－∞，－22)(22，＋∞)类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆＋＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．x 216y 24解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝.8(2k 2－k )4k 2＋1又M 为线段AB 的中点，∴＝＝2，解得k ＝－.x 1＋x 224(2k 2－k )4k 2＋112经检验，当k ＝－时，(*)式的判别式Δ＞0.12故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x ＋4y ＝16，x ＋4y ＝16，212122两式相减，得(x －x )＋4(y －y )＝0，212212于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0.∴＝－＝－＝－，y 1－y 2x 1－x 2x 1＋x 24(y 1＋y 2)44×212即直线AB 的斜率k AB ＝－.12故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴Error!①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组Error!消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)，故AB ＝＝2.(0－4)2＋(2－0)25反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆＋＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．x 236y 29(1)当直线l 的斜率为时，求线段AB 的长度；12(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝(x －4)，12即y ＝x .由Error!消去y 可得x 2－18＝0，12若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝＝×6＝3.52(x 1＋x 2)2－4x 1x 252210所以线段AB 的长度为3.10(2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有Error!两式相减得＋＝0，x 24－x 2336y 24－y 239整理得k AB ＝＝－y 4－y 3x 4－x 39(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4，于是k AB ＝－＝－，9×836×412于是直线l 的方程为y －2＝－(x －4)，12即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由Error!得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－≤m ≤.5252(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝(m 2－1)，2m 515所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝＝2(x 1－x 2)22[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝＝.2[4m 225－45(m 2－1)]2510－8m 2所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如PA ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时PA ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如PA 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆＋＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，||＝1，且x 225y 216AM → ·＝0，求||的最小值．PM → AM → PM → 解 由||＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，AM → ∵·＝0且P 在椭圆上运动，PM → AM → ∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结PA (如图)，则||＝PM → |PA →|2－|AM → |2＝，|PA → |2－1∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当||min ＝a －c ＝5－3＝2时，||min ＝.PA → PM → 31．点A (a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a 的取值范围是________．x 24y 22答案 (－，)22解析 由题意知＋<1，解得－<a <.a 2412222．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．x 24答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入＋y 2＝1，x 24得＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.x 24∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则3椭圆的长轴长为________．答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a >2)，与直线方程x ＋y ＋4＝0联立，得x 2a 2y 2a 2－434(a 2－3)y 2＋8·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝，所以椭圆的长轴长为237.74．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．x 29y 24答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆＋＝1恒有两个公共x 29y 24点，∴点(0，b )在椭圆＋＝1内部，∴－2<b <2.x 29y 245．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝，求直线l 的方程．x 22423解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由Error!消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝0.4k1＋2k 2由MN ＝，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝，423329所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝，329所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝，329即(1＋k 2)2＝，(－4k1＋2k 2)329化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝·，1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或AB ＝(1＋1k 2)(y 1－y 2)2＝·(k 为直线斜率)．1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y)，则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则Error!两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________.答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，y 210所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、x 2a 2y 2b 2右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________．答案 12解析 依题意得，×b ×2a ×2＝2××b ×2c ×2，1212即a ＝2c ，故离心率e ＝＝.c a 123．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆＋＝1的x 29y 24交点个数为________．答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以>2，所以m 2＋n 2<4，|－4|m 2＋n 2即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆＋＝1有两个交点．x 29y 244．已知F 1为椭圆C ：＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那x 22么F 1A ＋F 1B 的值为________．答案 823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!联立得3x 2－4x ＝0，可知A (0，－1)，B ，(43，13)又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝＋＝.25238235．已知F 1，F 2是椭圆＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值x 24的点P 的坐标为________．答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4，∴PF 1·PF 2≤2＝4，(PF 1＋PF 22)当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率为，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 2a 2y 2b 222x 0＝b ，则k 的值为________．答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为，得＝.22ca 22设交点的纵坐标为y 0，由x 0＝b ，得y ＝b 2＝，20(1－b 2a 2)b 2c 2a 2∴y 0＝±，∴k ＝＝±＝±.bca y 0x 0ca 227．已知椭圆：＋＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于x 24y 2b 2A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A，B，代入(－c ，32)(－c ，－32)椭圆方程得＋＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以＋＝1，即1－＋＝1，c 2494b 24－b 2494b 2b 2494b 2所以＝，解得b 2＝3，所以b ＝.b 2494b 238．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵Error!∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2.(p ＋r )(q ＋r )9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________．答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由Error!消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以＝×＝1，x 1＋x 22124k 2－4k1＋2k 2解得k ＝－，所以所求直线方程为y ＝－x ＋，121232即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则x 24y 23·的最大值为________．OP→ FP → 答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y ＝3(－2≤x 0≤2)，20(1－x 204)因为＝(x 0，y 0)，＝(x 0＋1，y 0)OP → FP→ 所以·＝x 0(x 0＋1)＋y ＝x ＋x 0＋y OP → FP → 202020＝x ＋x 0＋3＝(x 0＋2)2＋2，20(1－x 204)14所以当x 0＝2时，·取得最大值6.OP→ FP → 11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若＝6，则k 的值为________．ED → DF→ 答案 或2338解析 依题意得椭圆的方程为＋y 2＝1，x 24直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝.21＋4k 2由＝6知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，ED → DF→得x 0＝(6x 2＋x 1)＝x 2＝.17571071＋4k 2由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝，21＋2k 所以＝，21＋2k 1071＋4k 2化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝或k ＝.2338二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．x 22(1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求||.AB→ 解 (1)将y ＝x ＋b 代入＋y 2＝1，消去y ，x 22整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，x 22所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0，解得－<b <.33所以b 的取值范围是(－，)．33(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－.相应地，y 1＝1，y 2＝－.4313所以||＝＝.AB→ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)243213．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：＋＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的x 2a 2y 2a 2－1右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．解 由椭圆C ：＋＝1(a >1)x 2a 2y 2a 2－1得c ＝＝1，a 2－(a 2－1)∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1，代入＋＝1(a >1)得x 2a 2y 2a 2－1(2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝.2a 2－a 42a 2－1又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即·＝－1，y 1x 1＋1y 2x 2＋1∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴＝－1，2a 2－a 42a 2－1解得a 2＝2±.3又∵a 2>1，∴a 2＝2＋，即a 2－1＝1＋.33故所求椭圆的方程为＋＝1.x 22＋3y 21＋3三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，x 2a 2y 2b 2右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ，OE 的中点为D ，则D，又B ，D ，M 三(0，ama －c )(0，am2(a －c ))点共线，所以＝，a ＝3c ，e ＝.m2(a －c )ma ＋c 1315．椭圆＋＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且⊥(O 为坐标原x 2a 2y 2b 2OP → OQ → 点)．(1)求证：＋等于定值；1a 21b 2(2)若椭圆的离心率e ∈，求椭圆长轴长的取值范围．[33，22](1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由Error!消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.2a 2a 2＋b 2a 2(1－b 2)a 2＋b 2∵⊥，OP→ OQ → ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即－＋1＝0.2a 2(1－b 2)a 2＋b 22a 2a 2＋b 2∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即＋＝2.1a 21b 2∴＋等于定值．1a 21b 2(2)解 ∵e ＝，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.ca 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝＝＋.2－e 22(1－e 2)1212(1－e 2)∵≤e ≤，3322∴≤a 2≤，即≤a ≤，54325262∴≤2a ≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．5656。
高中数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 §2.5 Word版含答案
§2.5 圆锥曲线的统一定义学习目标 1.了解三种圆锥曲线的统一定义,掌握三种圆锥曲线的区别与联系.2.学会利用圆锥曲线的统一定义解有关问题.3.掌握圆锥曲线的准线方程的概念．知识点一 圆锥曲线的统一定义 观察图形,思考下列问题:思考1 上面两个图中分别对应什么曲线？ 正确答案 图( 1 )为椭圆,图( 2 )为双曲线． 思考2 当0<e <1时曲线有何特点？e >1呢？正确答案 当0<e <1时,曲线为椭圆,当e >1时,对应的曲线为双曲线． 梳理知识点二 圆锥曲线的焦点坐标和准线方程标准方程 焦点坐标 准线方程 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1( a >b >0 ) ( ±c,0 ) x ＝±a 2cy 2a 2＋x 2b 2＝1( a >b >0 ) ( 0,±c ) y ＝±a 2c双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 ) ( ±c,0 ) x ＝±a 2cy 2a 2－x 2b 2＝1( a >0,b >0 ) ( 0,±c )y ＝±a 2c抛物线y 2＝2px ( p >0 )⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2y 2＝－2px ( p >0 ) ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p2 x 2＝2py ( p >0 ) ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py ( p >0 )⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p 21．若平面内动点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e ( e ＞0 ),则动点P 的轨迹是圆锥曲线．( × )2．抛物线y 2－2x ＝0的准线方程为x ＝－12.( √ )3．点M ( x ,y )到定点F ( 4,0 )的距离和它到直线l :x ＝254的距离的比是常数45,则点M 的轨迹为x 225＋y 29＝1.( × )类型一 利用统一定义确定曲线形状 例1 判断下列各动点的轨迹表示的是什么？( 1 )定点F ,定直线为l ,F ∉l ,动点M 到定点F 的距离MF 与动点M 到定直线l 的距离d 的比为2；( 2 )定点F ,定直线为l ,F ∉l ,动点M 到定直线l 的距离d 与动点M 到定点F 的距离MF 的比为5；( 3 )到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹；( 4 )定点F ∉l ,到定点F 的距离与到定直线l 的距离的比大于1的点的轨迹． 解 ( 1 )因为MFd ＝2>1,所以动点的轨迹是双曲线．( 2 )因为d MF ＝5,所以0<MF d ＝15<1,所以动点的轨迹是椭圆．( 3 )当F ∈l 时,动点的轨迹是过F 且与l 垂直的直线； 当F ∉l 时,动点的轨迹是抛物线．( 4 )动点的轨迹不是双曲线,因为比值虽然大于1,但不一定是常数,动点的轨迹是一个平面区域．反思与感悟 判断所给曲线是哪种圆锥曲线,常利用圆锥曲线的定义求解,其思路是 ( 1 )如果遇到动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．( 2 )如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到圆锥曲线的共同性质． 跟踪训练1 平面内到定点F ( 3,0 )的距离与到定直线x ＝8的距离d 的比为32的动点P 的轨迹是________． 正确答案 双曲线详细解析 因PF d ＝32>1,故动点的轨迹是双曲线．类型二 与圆锥曲线的准线相关的问题例2 已知双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,一条渐近线方程为y ＝33x ,焦点到相应准线的距离为32,求双曲线的方程． 解 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 ),依题意得c －a 2c ＝32,又b a ＝33, 结合c 2＝a 2＋b 2,解得a 2＝9,b 2＝3, 所以双曲线的方程为x 29－y 23＝1.引申探究本例中两准线之间的距离是多少？ 解 据本例,得方程x 29－y 23＝1,两准线之间的距离为2a 2c ＝2×923＝3 3.反思与感悟 求圆锥曲线的准线方程的步骤跟踪训练2 根据下列条件,求椭圆的标准方程: ( 1 )经过点⎝⎛⎭⎫－1，455,且一条准线为x ＝5；( 2 )两准线间的距离为1855,焦距为2 5.解 ( 1 )由于椭圆的一条准线为x ＝5,可见椭圆的焦点在x 轴上,故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1( a >b >0 ),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋165b 2＝1，a2a 2－b2＝5，解得a 2＝5,b 2＝4或a 2＝21,b 2＝8425.故所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1或x 221＋25y 284＝1.( 2 )依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2·a 2c ＝1855，2c ＝25，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝ 5.故所求椭圆方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.类型三 圆锥曲线的统一定义及应用 例3 已知点A ( 3,1 ),且点F ( 2,0 )是双曲线x 2－y 23＝1的右焦点,在双曲线上找一点P ,使P A ＋12PF 的值最小,求点P 的坐标． 解 由双曲线方程知,a ＝1,b ＝3,∴c ＝2,离心率e ＝c a ＝2,与焦点F ( 2,0 )对应的准线l :x ＝a 2c ＝12.设点P 到准线l 的距离为d ,由圆锥曲线的统一定义有PFd＝2,∴12PF ＝d . 如图,过点P ,A 作l 的垂线PP 1,AA 1,垂足分别为P 1,A 1,则P A ＋12PF ＝P A ＋PP 1≥AA 1＝52.∴当点P 为AA 1与双曲线的交点,即P ⎝⎛⎭⎫233，1时,P A ＋12PF 的值最小． 反思与感悟 一般地,在圆锥曲线上求一点P ,使P A ＋1e PF ( 其中A 是圆锥曲线内部的定点,F是焦点,e 是离心率 )最小时,都是利用圆锥曲线的统一定义来处理的．跟踪训练3 已知A ( 4,0 ),B ( 2,2 )是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点,M 是椭圆上的动点．( 1 )求MA ＋MB 的最大值和最小值； ( 2 )求MB ＋54MA 的最小值及M 的坐标．解 ( 1 )如图所示,由x 225＋y 29＝1,知a ＝5,b ＝3,c ＝4.所以点A ( 4,0 )为椭圆的右焦点, 则左焦点为F ( －4,0 )．则MA ＋MF ＝2a ＝10,即MA ＋MB ＝10－MF ＋MB . 因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210,所以－210≤MB －MF ≤210,故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210.即MA ＋MB 的最大值为10＋210,最小值为10－210.( 2 )由题意知,椭圆的右准线为x ＝254,过M 点作右准线的垂线,垂足为M ′,由圆锥曲线的统一定义知,MA MM ′＝e ＝45,即54MA ＝MM ′.所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.当B ,M ,M ′三点共线时,MB ＋MM ′有最小值,最小值为BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时,由x 225＋229＝1,解得x ＝535或x ＝－535( 舍去 ),此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫535，2.1．中心在原点,一条准线方程为x ＝8,离心率为12的椭圆方程为________．正确答案 x 216＋y 212＝1详细解析 由题意,得e ＝c a ＝12,a 2c ＝8,∴a ＝4,c ＝2,∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.2．已知双曲线3x 2－y 2＝9,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________． 正确答案 2详细解析 双曲线的方程可化为x 23－y 29＝1,则a 2＝3,b 2＝9,故c 2＝12,e 2＝123＝4,则e ＝2.因此所求比值为2.3．若双曲线y 264－x 236＝1上一点P 到双曲线上焦点的距离是8,那么点P 到上准线的距离是________． 正确答案325详细解析 设点P 到上准线的距离为d , 由8d ＝108,得d ＝325. 4．椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ,它到左准线的距离等于 2.5,那么点P 到右焦点的距离为________． 正确答案 8详细解析 如图所示,PF 1＋PF 2＝2a ＝10,e ＝c a ＝45,而PF 12.5＝e ＝45,∴PF 1＝2, ∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.5．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为5,则点M 到y 轴的距离为________． 正确答案 4详细解析 由抛物线定义知点M 到准线x ＝－1的距离为5, 所以点M 到y 轴的距离为4.1．圆锥曲线的统一定义给出了三个量:定点F ,定直线l 及常数e .其中要求定点F 不在定直线l 上,且规定e 是到定点的距离与到定直线距离的比值,两者顺序不可颠倒．2．在圆锥曲线中,椭圆与双曲线都有两个焦点,两条准线．在椭圆或双曲线中,图象上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于它们的离心率．3．圆锥曲线中求线段和最值的问题,充分利用圆锥曲线的统一定义进行“化曲为直”,进而求出最值．一、填空题1．设双曲线的焦距为2c ,两条准线间的距离为d ,且c ＝d ,那么双曲线的离心率e ＝________. 正确答案2详细解析 2a 2c ＝c ,c 2＝2a 2,e 2＝c 2a2＝2,e ＝ 2.2．中心在原点,准线方程为y ＝±4,离心率为12的椭圆的标准方程是________．正确答案 y 24＋x 23＝1详细解析 依题意得⎩⎨⎧a 2c＝4，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.故椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1.3．到直线y ＝－4的距离与到A ( 0,－2 )的距离的比值为2的点M 的轨迹方程为________． 正确答案 y 28＋x 24＝1详细解析 设M ( x ,y ),由题意得|y ＋4|x 2＋(y ＋2)2＝ 2.化简得y 28＋x 24＝1.4．椭圆x 225＋y 29＝1上的点到左准线的距离是92,则该点到右准线的距离是________．正确答案 8详细解析 准线方程为x ＝±a 2c ＝±254,则两准线间的距离为252,故所求的距离为252－92＝8.5．已知双曲线x 2m －y 24＝1的一条渐近线的方程为y ＝x ,则此双曲线两条准线间的距离为________． 正确答案 2 2 详细解析 由题意知,2m ＝1,m ＝4,准线方程为x ＝±44＋4＝±2,故两条准线间的距离为2 2.6．双曲线的方程为x 23－y 22＝1,则以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程是________．正确答案 y 2＝－1255x详细解析 双曲线的右准线方程为x ＝355,∴p 2＝355, 从而可得抛物线的标准方程为y 2＝－1255x .7．已知椭圆的一个焦点为F 1( 0,－2 2 ),对应的准线方程为y ＝－924,且离心率e 满足23,e ,43成等比数列,则此椭圆的方程为________．正确答案 x 2＋y 29＝1详细解析 ∵23,e ,43成等比数列,且0<e <1,∴e 2＝23×43,e ＝223.∵焦点F 1( 0,－2 2 ),∴c ＝22,∴a 2＝22×924＝9,∴b 2＝a 2－c 2＝9－8＝1.故所求椭圆的方程为x 2＋y 29＝1. 8．在平面直角坐标系xOy 中,若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12,且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为________________． 正确答案3x ±y ＝0详细解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 ),抛物线y 2＝－4x 的焦点为( －1,0 ),由此可得a ＝1.由a 2c ＝12得c ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝3,于是双曲线的方程为x 2－y 23＝1,其渐近线方程为3x ±y ＝0.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 )的离心率为3,右准线方程为x ＝33,则双曲线方程为__________． 正确答案x 2－y 22＝1 详细解析 由⎩⎨⎧ca ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 10．在给定的椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应的准线的距离为1,则椭圆的离心率为________． 正确答案22详细解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1( a ＞b ＞0 ),则右焦点F ( c,0 ),右准线l :x ＝a 2c.把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 4a 2,即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c ＝1,所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22.11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1( a >b >0 )的焦点为F 1,F 2,两条准线与x 轴的交点为M ,N ,若MN ≤2F 1F 2,则该椭圆离心率的取值范围是________． 正确答案 ⎣⎡⎭⎫22，1详细解析 由题意有MN ≤2F 1F 2, ∴2×a 2c ≤2×2c ,即a 2≤2c 2,∴c 2a 2≥12,故e ＝c a ≥22, 又0<e <1,∴22≤e <1. 二、解答题12.如图,P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点,F 是椭圆的左焦点,且OQ →＝12( OP →＋OF → ),|QO →|＝4,求点P 到椭圆左准线的距离．解 ∵OQ →＝12( OP →＋OF →),故Q 为PF 的中点． ∵|OQ →|＝4,∴P 点到右焦点F ′的距离为8, ∴PF ＝2×5－8＝2,又PF d ＝e ＝c a ＝45( d 为P 到椭圆左准线的距离 ), ∴d ＝52.13．已知动点P ( x ,y )到点A ( 0,3 )与到定直线y ＝9的距离之比为33,求动点P 的轨迹．解 方法一 由圆锥曲线的统一定义知,P 点的轨迹是一椭圆,c ＝3,a 2c＝9,则a 2＝27,a ＝33, ∴e ＝333＝33,与已知条件相符． ∴椭圆中心在原点,焦点为( 0,±3 ),准线方程为y ＝±9.b 2＝18,其方程为y 227＋x 218＝1. 方法二 由题意得x 2＋(y －3)2|9－y |＝33. 整理得y 227＋x 218＝1. P 点的轨迹是以( 0,±3 )为焦点,以y ＝±9为准线的椭圆．三、探究与拓展14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 )上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线的离心率的取值范围是________．正确答案 ( 2,＋∞ )详细解析 由已知得⎝⎛⎭⎫3a 2－a 2c e >3a 2＋a 2c ,即3c 2>5ac ＋2a 2, 所以3e 2－5e －2>0,解得e >2或e <－13( 舍去 )． 15．已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,过左焦点F ( －c,0 )的直线交椭圆C 于P ,Q两点,FP →＝( 1, 3 ),若PF →＝λFQ →,且1PF ＋1QF ＝43. ( 1 )求实数λ的值；( 2 )求椭圆C 的方程．解 ( 1 )∵PF →＝λFQ →,∴λ>0,又FP →＝( 1, 3 ),有|FP →|＝2,∴|QF →|＝1λ|FP →|＝2λ. 又1|PF →|＋1|QF →|＝43,∴12＋λ2＝43, ∴λ＝53. ( 2 )设P ( x 1,y 1 ),Q ( x 2,y 2 ),则由FP →＝( 1, 3 ),得x 1＝1－c . 由圆锥曲线的统一定义可知,PF ＝e ⎝⎛⎭⎫x 1＋a2c ＝a ＋ex 1＝a ＋c a ( 1－c )＝2,①同理,QF ＝a ＋c a ⎝⎛⎭⎫－35－c ＝65,②由①－②得,85·c a ＝45,∴a ＝2c .代入①得c ＝1,∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。
高中数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1
§2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点？答案 (1)对称轴为坐标轴；(2)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于p2.梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y 2＝2px (p >0)，y 2＝－2px (p >0)，x 2＝2py (p >0)，x 2＝－2py (p >0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：1．抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．(×) 2．方程x 2＝2py (p ＞0)表示开口向上的抛物线．(√) 3．抛物线的焦点到准线的距离为p .(√) 4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1 已知抛物线的方程y ＝ax 2(a ≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． 解 将抛物线方程化为标准方程x 2＝1a y (a ≠0)，则抛物线焦点在y 轴上， (1)当a ＞0时，p ＝12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a .(2)当a ＜0时，p ＝－12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a，综合(1)(2)知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________． 答案 2 x ＝－1解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y 2＝40x ；②4x 2＝y ；③3y 2＝5x ；④6y 2＋11x ＝0. 解 ①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x ＝－10. ②由4x 2＝y 得x 2＝14y .∵2p ＝14，∴p ＝18.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，准线方程为y ＝－116. ③由3y 2＝5x ，得y 2＝53x .∵2p ＝53，∴p ＝56.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫512，0，准线方程为x ＝－512. ④由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－1124，0，准线方程为x ＝1124. 类型二 求解抛物线的标准方程例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5. 解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值．跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 类型三 抛物线在实际生活中的应用例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高34m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为34m ，所以h ＝|y A |＋34＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，以点B 为坐标原点，过点B 与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0， 即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8m.1．已知抛物线的准线方程为x ＝7，则抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝－28x解析 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由准线方程为x ＝7知，p2＝7，即p ＝14.故抛物线的标准方程为y 2＝－28x .2．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p 的值为________． 答案 4解析 焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由两点间的距离公式得⎝⎛⎭⎫－2－p 22＋32＝5⇒p ＝4.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)， 所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.5．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点N (2,3)，则MN ＋MF 的最小值为________． 答案10解析 将x ＝2代入抛物线方程，得y ＝±2 2. ∵3>22，∴点N 在抛物线的外部． MN ＋MF ≥NF ，而F (1,0)， 则NF ＝(2－1)2＋32＝10，∴MN ＋MF ≥10，当N ，M ，F 三点共线时有最小值，最小值为10.1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4. 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF ＝x 0＋p2.一、填空题1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是________．答案 y ＝－1解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p2＝－1.2．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________． 答案 y 2＝－4x解析 由题意可设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)， 则有－p2＝－1，得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝－4x .3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝x 或x 2＝－8y解析 设所求抛物线的标准方程为y 2＝2mx (m ≠0)或x 2＝2ny (n ≠0)， 代入点P (4，－2)，解得m ＝12或n ＝－4，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝x 或x 2＝－8y .4．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .5．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝x 对称，则C 2的准线方程是________． 答案 x ＝－18解析 y ＝2x 2关于y ＝x 对称的曲线为抛物线y 2＝12x ，其准线方程为x ＝－18.6．已知一个圆的圆心C 在抛物线y 2＝4x 上，并且与x 轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为________． 答案 2解析 设圆心C (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，① 依题意得，半径r ＝|y 0|＝|x 0＋1|，② 由①②得x 0＝1， 故圆的半径r ＝2.7．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________． 答案 x 2＝±12y解析 因为顶点与焦点距离等于3， ∴2p ＝12， 又∵对称轴是y 轴， ∴抛物线的方程为x 2＝±12y .8．抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－716，0 解析 方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－716，0. 9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________． 答案324解析 如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝324.10．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________． 答案 (1,2)或(1，－2)解析 设A (x 0，y 0)，F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)， AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)． ∴x 0＝1，y 0＝±2.则点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．11．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是________． 答案112－1 解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)， 要求PQ 的最小值，只需求PO ′的最小值． 设点P 坐标为(y 20，y 0)，则PO ′＝(y 20－3)2＋y 20＝y 40－5y 20＋9＝⎝⎛⎭⎫y 20－522＋114， ∴PO ′的最小值为112，从而PQ 的最小值为112－1.二、解答题12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1，由此可知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且AF ＋BF ＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线方程为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AF ＋BF ＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴QA ＝QB ， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. ∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x . 三、探究与拓展14．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 54解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF ＋BF ＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.15．设点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求PB ＋PF 的最小值． 解 (1)如图，抛物线的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于点P ，故最小值为22＋12＝ 5. (2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，此时，P 1Q ＝P 1F ，那么PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4，即最小值为4.。
苏教版最新的数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 Word版含答案
2.4.2抛物线的几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．知识点 抛物线的几何性质思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0,0) 通径长2p1．抛物线关于顶点对称．(×)2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(√) 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(√)类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3,∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程． 解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F ⎝⎛⎭⎫m 2，0，直线l ：x ＝m2， 所以A ，B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫m 2，m ，⎝⎛⎭⎫m2，－m ， 所以|AB |＝2|m |.因为△OAB 的面积为4，所以12·⎪⎪⎪⎪m 2·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．(2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若AB ＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________． 答案 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72解析 (1)由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0.所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. (2)∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则AB ＝4，不符合题意， ∴可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，(*)则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，∴2k 2＋4k 2＝6，解得k ＝±1.此时(*)式变为x 2－6x ＋1＝0，满足Δ＞0.∴所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，又准线方程为x ＝－1，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.反思与感悟 1.抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)，PF ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋p 2＝p2＋x 0. (2)抛物线y 2＝－2px (p >0)，PF ＝⎪⎪⎪⎪x 0－p 2＝p2－x 0. (3)抛物线x 2＝2py (p >0)，PF ＝⎪⎪⎪⎪y 0＋p 2＝p2＋y 0. (4)抛物线x 2＝－2py (p >0)，PF ＝⎪⎪⎪⎪y 0－p 2＝p2－y 0. 2．已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24. (2)AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)．(3)S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)．(4)1AF ＋1BF ＝2p. (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．3．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求AB 的值；(2)若AB ＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以AB ＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.类型三 抛物线的综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，求PFP A 的最小值．解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结P A ，在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝PNP A ，当PN P A ＝PFP A最小时，sin ∠P AN 最小， 即∠P AN 最小，即∠P AF 最大， 此时，P A 为抛物线的切线， 切线P A 的斜率一定存在， 设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， 此时PF P A ＝PN P A ＝cos ∠NP A ＝22.综上，PF P A 的最小值为22.反思与感悟 1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．2．在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决．跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 2解析 由题意知，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定义知，点P 到直线l 2的距离等于点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．故所求最值可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得点P 到点F (1,0)和到直线l 1的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d ＝|4－0＋6|5＝2.命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若AF ，MF ，BF 成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若MF ＝4，OQ ＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程． (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p 2，MF ＝x 0＋p2，x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )， 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则AF ＝MF ＝BF ⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p(y 21－y 22)＝2p y 1＋y 2＝pt ，故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－tp(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p,0)．(2)解 由MF ＝4，OQ ＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2,0)．1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________． 答案 y 2＝8x 或y 2＝－8x解析 设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上一点P (1，m )到焦点的距离为5，则m 的值为________． 答案 ±4解析 由抛物线的定义知点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，所以1＋p2＝5，p ＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x ，将点P (1，m )代入方程，得m ＝±4.3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则AB ＝________. 答案 8解析 抛物线的准线方程为x ＝－1，则线段AB 的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义及中位线定理得AB ＝8.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 答案 2解析 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ， 且倾斜角为45°的直线的方程为y ＝x －p 2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2. ∵AB ＝8，∴|y 1－y 2|＝42， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2， 即4p 2＋4p 2＝32. 又p >0，∴p ＝2.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为________． 答案 8解析 F (2,0)，K (－2,0)，过点A 作AM 垂直准线于点M ，则AM ＝AF ， ∴AK ＝2AM ，∴△AMK 为等腰直角三角形． 设A (m 2，22m )(m >0)，则△AFK 的面积S ＝12×4×22m ＝42m .又由AK ＝2AM ，得(m 2＋2)2＋8m 2＝2(m 2＋2)2， 解得m ＝2，∴△AFK 的面积S ＝42m ＝8.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．一、填空题1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝±8x解析 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0， 故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4， 令x ＝0，得y ＝－a2，故△OAF 的面积为12×⎪⎪⎪⎪a 4×⎪⎪⎪⎪－a 2＝a 216＝4，a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .2．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为________． 答案 8解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又圆心在OF 的垂直平分线上，OF ＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8. 3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A .如果AF 的斜率为－3，那么PF ＝________. 答案 8解析 由题意得，准线l 的方程为x ＝－2，焦点F (2,0)， 设点A 的坐标为(－2，n )，则n－2－2＝－3，解得n ＝43，由(43)2＝8x ，得x ＝6. ∴P (6,43)，∴PF ＝6＋2＝8.4．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫18，±24解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以的P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24. 5．当x >1时，直线y ＝ax －a 恒在抛物线y ＝x 2的下方，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，4)解析 由题可知，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝ax －a ，整理可得x 2－ax ＋a ＝0，当Δ＝a 2－4a ＝0时，解得a ＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切．因为直线恒过定点(1,0)，所以结合图形(图略)可知a ∈(－∞，4)． 6．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 答案 y 2＝4x解析 方法一 设抛物线方程为y 2＝kx (k ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－kx ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), ∴x 1＋x 2＝k .又∵P (2,2)为AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝2.∴k ＝4.∴y 2＝4x .方法二 由题意知，交点其一为原点，所以令A (0,0)， 又∵P (2,2)为AB 的中点，∴B (4,4)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .7．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________． 答案25p 8解析 由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎫p 2，0和(2p,2p )， 所以l ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0. 设另一交点坐标为(x 1，y 1)由根与系数的关系，得x 1＋2p ＝17p 8，所以焦点弦的长度为x 1＋2p ＋p ＝25p8.8．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________． 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题 答案 (3,2)解析 设线段的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 将y ＝x －1代入y 2＝4x ， 整理得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3，∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2，∴所求点的坐标为(3,2)．9．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，得x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.10．已知抛物线y 2＝8x ，过动点M (a,0)，且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若AB ≤8，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，－1]解析 将l 的方程y ＝x －a 代入y 2＝8x ， 得x 2－2(a ＋4)x ＋a 2＝0， 则Δ＝4(a ＋4)2－4a 2>0，∴a >－2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(a ＋4)，x 1x 2＝a 2， ∴AB ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝64(a ＋2)≤8，即a ＋2≤1.∴－2<a ≤－1.11．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________． 答案 83解析 如图，过A 作AA 1垂直于准线于A 1，过B 作BB 1垂直于准线于B 1， 过B 作BC ⊥AA 1，垂足为C ， 设BF ＝m ，则AF ＝3m ，由抛物线的定义知，AA 1＝3m ，BB 1＝m . 所以在△ABC 中，AC ＝2m ， AB ＝4m ，k AB ＝3，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立消去y ，得3x 2－10x ＋3＝0， 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝103，所以AB 中点到准线的距离为x A ＋x B 2＋p 2＝53＋1＝83.二、解答题12．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a >0，即a <0或a >8. 设两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a2，∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝54(x 1－x 2)2 ＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝145(a 2－8a ).∵AB ＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12， ∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦． 求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1F A ＋1FB ＝2p； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)如图所示，设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p2，把它代入y 2＝2px ，化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 24.(2)根据抛物线定义知F A ＝AA 1＝x 1＋p 2，FB ＝BB 1＝x 2＋p2，∴1F A ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p ＝2(2x 2＋p )＋2(2x 1＋p )(2x 1＋p )(2x 2＋p ) ＝4(x 1＋x 2)＋4p4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2)＋p 2＝4(x 1＋x 2＋p )2p (x 1＋x 2＋p )＝2p.(3)∵CC 1＝12(AA 1＋BB 1)＝12(AF ＋BF )＝12AB .∴以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 三、探究与拓展14．已知在抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为________________________________________________________________________． 考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称，∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)， 则x 0＝－12k ，y 0＝k ×⎝⎛⎭⎫－12k ＋92＝4. 又中点P 在抛物线y ＝x 2内， ∴4＞⎝⎛⎭⎫－12k 2，即k 2＞116， ∴k ＞14或k ＜－14.15．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 由题意知直线l 的方程为x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC →＝4AB →， ∴y 2＝4y 1，③ 由①，②，③及p >0 得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)直线l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)， 得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为 b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0，得 k >0或k <－4.∴b ＞2或b ＞18，∴b ∈(2，＋∞)．。
数学新学案同步实用课件选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末复习
跟踪训练3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标 为1，以F为圆心、FP为半径的圆与C的准线l相切. (1)求p的值； 解 因为以F为圆心、FP为半径的圆与C的准线l相切， 所以圆的半径为p，即FP＝p， 所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1， 所以焦点F的坐标为(1,0)，从而p＝2.
跟踪训练 2 双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线 的离心率是___2___. 解析 双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线方程为 y＝±bax， 依题意ba·－ba＝－1，故ba22＝1，所以c2－a2a2＝1，
即 e2＝2，因为 e＞1，所以双曲线的离心率 e＝ 2.
(2)抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的 大 小 . 当 焦 点 位 置 不 确 定 时 ， 要 分 情 况 讨 论 ， 也 可 将 方 程 设 为 y2 ＝ 2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值. 3.圆锥曲线的统一定义 (1)定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离比等于常 数e的点的轨迹. 当0＜e＜1时，表示椭圆；当e＞1时，表示双曲线；当e＝1时，表示抛物 线.
22 3.
12345
解析
答案
5.点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是
___2_x_－__y_－__1_5_＝__0.
解析 设弦的两个端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21－4y21＝4，x22－ 4y22＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
22 ∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于____3_.
数学新学案同步实用课件选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
题型探究
类型一 双曲线的几何性质 例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐 标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解答
引申探究 将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚 轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.
解答
反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
解答
(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝±32x； 解 当焦点在 x 轴上时，由ba＝32且 a＝3，得 b＝92， ∴所求双曲线的标准方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时，由ab＝32且 a＝3，得 b＝2. ∴所求双曲线的标准方程为y92－x42＝1.
解答
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方 程. 解 设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝ k(k≠0)，将点(2，－2)代入，得 k＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
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2.6.2求曲线的方程 2.6.3曲线的交点学习目标1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一坐标法的思想思考1怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？答案不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点二求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．．)y ，x (的坐标为M 设曲线上任意一点：设点．2 .0＝)y ，x (f 的方程)M (p 列出符合条件：列式．3．为最简形式0＝)y ，x (f 化方程：化简．4．为坐标的点都在曲线上方程的解证明以化简后的：证明．5知识点三曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔错误!(2)求两曲线的交点，就是求方程组错误!的实数解．公共点没有两条曲线就，方程组没有实数解；公共点几个两条曲线就有，方程组有几组不同的实数解)3(．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√) 3．方程y ＝x 与方程y ＝x2x表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一直接法求曲线的方程例1一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．解设P (x ，y )，则|8－x |＝2P A .则|8－x |＝2错误!，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程．解设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|，又P A ＝错误!，故|y －8|＝2错误!，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明．特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP→成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程．解设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于错误!即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝3，x>0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)．类型二相关点法求解曲线的方程例2动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋32，y ＝y02，即⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －3，y0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系错误!(3)代入相关动点的轨迹方程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x′3，y ＝0＋0＋y′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x －6，y′＝3y.因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例3过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．解当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点．设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得错误!消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k .又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ，代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0，解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83.反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组错误!的解来确定．跟踪训练3已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值．解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根，∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝错误!＝1＋k2错误!，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x2－y2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43解析因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x25＋y24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.3．直线xa ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)解析设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．答案x ＝32解析设动点P (x ，y )， 则x2＋y2－2＝错误!，化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP→＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x0，4y ＝3y0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x0＝4x －43，y0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案(x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案π3或5π3解析由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x2有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案[1，2)解析在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b <2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________．答案34解析因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x2＋4y2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0，解得m 2＝34.5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________． 答案x 2＝4y解析设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以错误!＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________．答案x 2＋y 2＝1解析设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP→·QF→＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________．答案y 2＝4x解析设点P (x ，y )，则Q (－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB→＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________．答案y 2－x 2＝2解析设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )，PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.由PA →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2， 所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.答案14解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________．答案33解析由题意得PF 2＝b2a ，PF 1＝2b2a，由椭圆定义得3b2a＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33.11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．答案45°或135°解析由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设直线方程y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0，设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝6＋3k2k2，∵弦长为12，∴6＋3k2k2＋3＝12，∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2，即错误!－y ＝2，整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2， 所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)．13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x1＋62，y ＝y12，得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝2x －6，y1＝2y. 由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以2y ＝(2x －6)2＋3， 所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32. 三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝错误!相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________．答案[22，4]解析曲线|x |－1＝错误!可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若MN 和MQ 的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解连结ON ，OM ，则ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆的半径是1，∴MN 2＝OM 2－ON 2＝OM 2－1.由题意，MN MQ＝λ(λ＞0)，∴MN ＝λMQ ， 即x2＋y2－1＝λ错误!，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54， 该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝错误!， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。