大一高数课件第二章 2-7-1

量x的微分, 记作dy x x0 或df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
三、可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函数 f ( x)在点 x0
处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
d (a x ) a x lnadx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d (e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
二、 求下列函数的微分：
1、 y x ； x2 1
2、 y [ln(1 x)]2；
3、 y arcsin 1 x 2 ；
4、 y arctan1 x 2 ； 1 x2
5、 y e3x cos3x ，求dy x ； 3
6、求由方程cos(xy) x 2 y 2所确定的 y 微分.
练习题答案
解 y (3e13x ) cos x e13x ( sin x)
dy e13x (3cos x sin x)dx.
六、微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t 的可微函数 x (t ), 则 dy f ( x)(t)dt
第七节 函数的微分
• 一、问题的提出 • 三、可微的条件 • 五、微分的求法 • 七、小结
二、微分的定义 四、微分的几何意义 六、微分形式不变性
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02,
A ( x0 x)2 x02 2x0 x (x)2 .
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通常把自变量 x的增量x称为自变量的微分, 记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.
导数也叫"微商".
4. d ____________ sinxdx
5. d ____________ e2xdx
6. d ____________ sec2 3xdx
7. y x2e2x , dy e2xd ______ x2d ______
e2x 8. d(arctan )
2
_________
de x
________dx
(t)dt dx, dy f ( x)dx.
结论： 无论 x是自变量还是中间变量, 函数
y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例3 设 y sin( 2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1.
dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1) cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx.
3、dy
dx ,1
1 x2 dx ,0 1 x2
x0 ；
x1
4、 2x dx ； 1 x4
5、3dx ；
6、 y dx . x
★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
练习题
一、 填空题： 1、已知函数 f ( x) x 2 在点 x 处的自变量的增量为 0.2，对应的函数增量的线性主部是dy =0.8，那 么自变量 x 的始值为__________. 2、 微分的几何意义是__________. 3、若 y f ( x)是可微函数，则当x 0时， y dy是关于x的________无穷小.
例 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 5 (1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
解 (1)d(sin t) cos tdt,
cos tdt 1 d (sin t ) d( 1 sin t );
d( 1 sin t C ) cos tdt.
四、微分的几何意义 y
T
几何意义:(如图)
N
当y是曲线的纵坐标增量时, dy就是切线纵坐标对应的
P
o(x)
M
dy y
y f (百度文库)
x Q
增量.
）
o
x0 x0 x
x
当x 很小时, 在点M的附近,切线段 MP可近似代替曲线段MN .
五、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0).
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
例1 求函数 y x3 当x 2, x 0.02时的微分.
(1)
(2)
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
x0
x0x
x (x)2
x
A
x
2 0
x0x x0
再例如, 设函数 y x3在点x0处的改变量为x时,求函数的
改变量y.
y ( x0 x)3 x03 3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
y A x o(x), y A o(x) ,
x
x
则 lim y x0 x
A
lim
x0
o(x) x
A.
即函数 f ( x)在点x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0) x (x), 0 (x 0),
(2) d(sin x2 ) d( x)
2x cos x2dx 1 dx
4x
x cos x2,
2x
d(sin x2 ) (4x x cos x2 )d( x ).
七、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数 的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义 , x0及 x0 x在这区
间内,如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0 可微, 并且称A x为函数y f ( x)在点 x0相应于自变量增
一、1、-2；
2、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3、高阶；
4、 1 cosx C ；
5、 1 e2x C ； 2
7、x2 ,e2x ；
二、1、( x 2
3
1) 2
dx；
6、1 tan 3x C ； 3
8、
2 2e x 2 e4x
,
2 2
2e 2 x e4x
.
2、 2 ln(1 x) dx ； x1
1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d ( x ) x 1dx
d (sin x) cos xdx
d (cos x) sin xdx
d (tan x) sec2 xdx
d (cot x) csc2 xdx
d (sec x) sec x tan xdx d (csc x) csc x cot xdx
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 设 y ln(x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe x2 e x2
,
1 2 xe x2 dy x e x2 dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy.