2021年中考数学压轴题专项训练 四边形(含解析)
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2021年中考数学压轴题专项训练《四边形》
1.如图①,在矩形ABCD中,已知BC=8cm,点G为BC边上一点,满足BG=AB=6cm,动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G,连接AE,作EF⊥AE,交线段CD于点F.设点E移动的时间为t(s),CF的长度为y(cm),y与t的函数关系如图②所示.
(1)图①中,CG= 2 cm,图②中,m= 2 ;
(2)点F能否为线段CD的中点?若可能,求出此时t的值,若不可能,请说明理由;
(3)在图①中,连接AF,AG,设AG与EF交于点H,若AG平分△AEF的面积,求此时t 的值.
解:(1)∵BC=8cm,BG=AB=6cm,
∴CG=2cm,
∵EF⊥AE,
∴∠AEB+∠FEC=90°,且∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠FEC,且∠B=∠C=90°,
∴△ABE∽△ECF,
∴,
∵t=6,
∴BE=6cm,CE=2cm,
∴
∴CF=2cm,
∴m=2,
故答案为:2,2;
(2)若点F是CD中点,
∴CF=DF=3cm,
∵△ABE∽△ECF,
∴,
∴
∴EC2﹣8EC+18=0
∵△=64﹣72=﹣8<0,
∴点F不可能是CD中点;
(3)如图①,过点H作HM⊥BC于点M,
∵∠C=90°,HM⊥BC,
∴HM∥CD,
∴△EHM∽△EFC,
∴
∵AG平分△AEF的面积,
∴EH=FH,
∴EM=MC,
∵BE=t,EC=8﹣t,
∴EM=CM=4﹣t,
∴MG=CM﹣CG=2﹣,
∵,
∴
∴CF=
∵EM=MC,EH=FH,
∴MH=CF=
∵AB=BG=6,
∴∠AGB=45°,且HM⊥BC,
∴∠HGM=∠GHM=45°,
∴HM=GM,
∴=2﹣,
∴t=2或t=12,且t≤6,
∴t=2.
2.问题提出:
(1)如图1,△ABC的边BC在直线n上,过顶点A作直线m∥n,在直线m上任取一点D,连接BD、CD,则△ABC的面积=△DBC的面积.
问题探究:
(2)如图2,在菱形ABCD和菱形BGFE中,BG=6,∠A=60°,求△DGE的面积;
问题解决:
(3)如图3,在矩形ABCD中,AB=12,BC=10,在矩形ABCD内(也可以在边上)存在一点P,使得△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的,求△ABP周长的最小值.
解:问题提出:
(1)∵两条平行线间的距离一定,
∴△ABC与△DBC同底等高,即△ABC的面积=△DBC的面积,
故答案为:=;
问题探究:
(2)如图2,连接BD,
∵四边形ABCD,四边形BGFE是菱形,
∴AD∥BC,BC∥EF,AD=AB,BG=BE,
∴∠A=∠CBE=60°,
∴△ADB是等边三角形,△BGE是等边三角形,
∴∠ABD=∠GBE=60°,
∴BD∥GE,
∴S△DGE=S△BGE=BG2=9;
(3)如图3,过点P作PE∥AB,交AD于点E,
∵△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的,
∴×12×AE=×12×10
∴AE=8,
作点A关于PE的对称点A',连接A'B交PE于点P,此时△ABP周长最小,∴A'E=AE=8,
∴AA'=16,
∴A'B===20,
∴△ABP周长的最小值=AP+AB+PB=A'P+PB+AB=20+12=32.
3.(1)方法感悟:
如图①,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF.将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,易证△GAF≌△EAF,从而得到结论:DE+BF=EF.根据这个结论,若CD=6,DE=2,求EF的长.
(2)方法迁移:
如图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,证明你的结论.
(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系,请直接写出你的猜想(不必说明理由).
解:(1)方法感悟:
∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,
∴GB=DE=2,
∵△GAF≌△EAF
∴GF=EF,
∵CD=6,DE=2
∴CE=4,
∵EF2=CF2+CE2,
∴EF2=(8﹣EF)2+16,
∴EF=5;
(2)方法迁移:
DE+BF=EF,
理由如下:如图②,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,
由旋转可得,AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,∠D=∠ABH,
∵∠EAF=∠DAB,
∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD,
∴∠HAF=∠EAF,
∵∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=180°,
∴点H、B、F三点共线,
在△AEF和△AHF中,
∴△AEF≌△AHF(SAS),
∴EF=HF,
∵HF=BH+BF,
∴EF=DE+BF.
(3)问题拓展:
EF=BF﹣FD,
理由如下:在BC上截取BH=DF,