2-1第一节 函数及其表示(2015年高考总复习)

第一节 函数及其表示

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )

解析 y ＝x 2

x ＝x (x ≠0)；

答案 C

2．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ，x ＞0，

x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值

等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

解析 依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2，

∵2x ＞0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3，所以选A. 答案 A

3．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12等于( )

A ．1

B ．3

C ．15

D ．30

解析 令1－2x ＝12，∴x ＝1

4，

f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫142⎝ ⎛⎭

⎪⎫142＝15.

答案 C

4．(2014·安徽名校联考)若函数f (x )＝

⎩⎪⎨⎪⎧

log 4x (x ＞0)，3x (x ≤0)，

则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝( )

A ．9 B.19 C ．－9

D ．－19

解析 ∵f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫116＝log 41

16＝－2，

∴f ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (－2)＝3－2

＝19，选B. 答案 B

5．(2014·太原市测评)已知

f (x )＝⎩⎨⎧

1x ＋2

，－1≤x ≤0，

x 2－2x ，0

若f (2m

－1)<1

2，则m 的取值范围是( )

A ．m >12

B ．m <12

C ．0≤m <1

2

D.1

2

解析

由题得⎩⎨⎧

－1≤2m －1≤0，12m ＋1<1

2，

或

⎩⎨⎧

0<2m －1≤1，(2m －1)2－2(2m －1)<12，

解得1

2

答案 D

6．(2013·陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )

A ．[－x ]＝－[x ]

B ．[2x ]＝2[x ]

C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]

D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]

解析 令x ＝1.5，而[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 项错．[2x ]＝3,2[x ]＝2，则B 项错．令x ＝1.8，y ＝1.9，则[x ＋y ]＝[3.7]＝3，而[x ]＝1，[y ]＝1，[x ＋y ]>[x ]＋[y ]，故C 项错，从而选D.

答案 D

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知f (2x ＋1)＝3x －2，且f (a )＝4，则a 的值是________． 解析 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12，∴f (t )＝3t －32－2，即f (x )＝32x －72，又32a －7

2＝4，∴a ＝5.

答案 5

8．设函数f (x )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x lg x ＋1，则f (10)的值为__________．

解析 分别令x ＝10，1

10，

得⎩⎪⎨⎪⎧

f (10)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

110＋1，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

110＝－f (10)＋1，两式相加，得f (10)＝1.

答案 1

9．(2014·天津一中模拟)已知∀x ∈R ，f (1＋x )＝f (1－x )，当x ≥1时，f (x )＝ln(x ＋1)，则当x <1时，f (x )＝________.

解析 由f (1＋x )＝f (1－x )，可知函数关于x ＝1对称当x <1时，2－x >1，∴f (x )＝f (2－x )＝ln[(2－x )＋1]＝ln(3－x )．

答案 ln(3－x )

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：

(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．

解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

(x ＋2)2

，x ≥1，

x 2＋2，x <1.

(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9. (3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16. 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)； 若x <1，则x 2＋2＝16.

解得x ＝14(舍去)或x ＝－14.

综上，可得x ＝2或x ＝－14.

11．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.

(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式．

解 (1)由已知f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x . 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又∵f (1)＝0，∴f (0)＝－2. (2)令y ＝0，得f (x )－f (0)＝(x ＋1)x . ∴f (x )＝x 2＋x －2.

12．已知f (x )＝x 2

－1，g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x －1，x ＞0，

2－x ，x ＜0.

(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式． 解 (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，

故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；

∴f [g (x )]＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

－2x ， x ＞0，

x 2－4x ＋3， x ＜0.

当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＜0，