年相似三角形与圆

相似三角形与圆

1.如图,AB是⊙O的直径，弦CＤ⊥AB于点Ｇ，点F是ＣD 上一点,且满足CF:FＤ=1：3,连接AF并延长交⊙O于点E，连接ＡD、DE,若ＣF=2,ＡF＝３．给出下列结论:①△AＤF∽△AED;②FG=2;③2

AG=;④S△ＤＥF =4．其中正确的

是（写出所有正确结论的序号）．

2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙Ｏ上，过点C作⊙Ｏ的切线CＭ.

(1）求证：∠ＡＣM=∠ABＣ；

（２)延长BC到D，使BC = CＤ,连接AＤ与CM交于点E，若⊙O的半径为３，EＤ＝ 2，求∆ACE的外接圆的半径. 3．如图,⊙O是△AＢＣ的外接圆,AＢ为直径,ＯD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD，BD,CD.

(1）求证：AＤ=ＣＤ；

(2)若ＡB=1０,

5

3

=

AB

BC

,求

DE

AE

的值.

4．如图，在平面直角坐标系中,已知A(8，0),Ｂ(0,6)，⊙M经过原点Ｏ及点Ａ、Ｂ．

（1)求⊙M的半径及圆心M的坐标；

(2)过点Ｂ作⊙M的切线l,求直线l的解析式；

(3）∠ＢＯA的平分线交AB于点Ｎ，交⊙M于点E,求点N 的坐标.

5.如图,ＰＡ为⊙O的切线,A为切点,直线PＯ交⊙Ｏ与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B,延长BO与⊙Ｏ交与点C,连接AC，BＦ.

（１)求证:PB与⊙Ｏ相切；

(2)试证明：EF2＝4OD•OP；

（3）若AC＝12,

2

5

FB

FE

，求CB的值.

6．如图，已知在△ＡＢP中,C是BＰ边上一点，∠PＡC=∠P

ＢA,⊙Ｏ是△ABＣ的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP

于点E．

（1）求证:ＰA是⊙O的切线;

(2）过点C作CF⊥ＡD，垂足为点F，延长ＣF交AＢ于点

G,若ＡＧ•AB=12，求AＣ的长；

（3)在满足(２)的条件下，若AF:FD＝１:2,GＦ=1,求⊙O

的半径及ＡB的值.

答案

1．如图，AB是⊙Ｏ的直径，弦ＣD⊥AB于点G，点F是ＣＤ上一点，且满足CＦ：FＤ＝1：3,连接ＡＦ并延长交⊙O于点E，连接ＡD、DＥ,若CF=2，ＡF=3.给出下列结论：①△ADF∽△AEＤ;②ＦG＝２；③2

AG ;④S△DＥF

＝４.其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号).

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强,难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

２．如图,ＡＢ是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点Ｃ作⊙O 的切线CM．

(1)求证：∠A ＣM=∠ABC；

(2）延长BC到D,使BＣ= CD，连接ＡD与CM交于点E,若⊙O的半径为3，ED= 2, 求∆ACE的外接圆的半径.

证明:（1）连接ＯＣ∵ AB为⊙O的直径

∴∠ＡCB ＝９0°∴∠ABC ＋∠BＡC = 90°

又∵ＣM是⊙O的切线∴ OC⊥CM∴∠ACM ＋∠ACO ＝9０°

∵CO = ＡO∴∠BAC =∠ACO∴∠ＡＣM =∠ABC （2)∵ BＣ= CD∴ OC∥ＡD又∵OC⊥CE ∴ AD ⊥CE ∴ΔAEC是直角三角形∴ΔAＥC的外接圆的直径为ＡC

又∵∠AＢC +∠BＡC ＝９0°∠ACM ＋∠ECＤ＝90°

而∠AＢC =∠ACM∴∠BAC =∠ＥCＤ

又∠CED =∠ACB = ９０°∴ΔＡBC∽ΔＣDE

∴

ＡB

ＣＤ

= ＼f(BＣ,ＥＤ）而⊙Ｏ的半径为３∴ A

Ｂ = 6∴＼ｆ（6,CD) ＝错误!∴ＢC2 = 12∴ BC = 23.如图,⊙Ｏ是△ABC的外接圆，ＡＢ为直径,OD∥BC交⊙Ｏ于点D，交AＣ于点E,连接AＤ，BD,CＤ.

（1)求证：ＡD＝CD；

(２）若AB=1０，

BC

AC

＝，求

DE

AE

的值．

解

答：

(1)证明:∵ＡB为⊙O的直径，∴∠ＡCB＝9０°，

∵ＯＤ∥BＣ，∴∠AEＯ＝∠ACB=９0°,

∴OD⊥ＡC，∴=，∴ＡD=CＤ;

（2）解：∵AB=10,∴OA＝OＤ=AB=5，

∵OD∥BＣ,∴∠ＡOE=∠ABC，

在Ｒt△AEO中，ＯE=OA•cos∠AOＥ＝ＯＡ•cos∠ABC ＝5×＝３,

∴DE=OD=ＯE=5﹣3=2，

∴AＥ===4，

在Rt△AED中,tan∠DAE＝==，

∵∠DBC=∠DAＥ,∴ｔan∠ＤBC=．

4.如图，在平面直角坐标系中,已知A(８，0）,B（0，6),⊙M 经过原点Ｏ及点A、B．

(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;

(2)过点B作⊙M的切线ｌ，求直线l的解析式；

（3）∠ＢOA的平分线交AB于点N,交⊙M于点Ｅ,求点Ｎ的坐标.

解：(１）∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M的直径,

∵A(8,０）,Ｂ(0，6)，∴OA=8，OB＝６，

∴AB==10,

∴⊙M的半径为５；圆心M的坐

标为（4,3)；

（2)点B作⊙M的切线ｌ交ｘ轴

于C,如图,∵BC与⊙M相切，AB

为直径,

∴ＡB⊥BＣ，∴∠ABC=90°，∴∠CＢＯ＋∠ABO=90°，

而∠ＢAO＝∠AＢＯ=9０°,∴∠BＡO=∠CＢＯ,

∴Rｔ△ABO∽Rt△BＣO，∴＝，即=，解得OＣ