第2讲-渐开线和摆线

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-6 2=0. (1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线有什 么位置关系?
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
(2)写出平移后圆的渐开线方程. 【命题意图】 本题主要考查圆的参数方程和圆的渐开
线的参数方程等基础知识,以及直线与圆的位置关系,考查 考生的转化与化归能力.
菜 单
课 时 作 业
点是(
) B.(6,6π) D.(-π,12π)
A.(6,0) C.(6,-12π)
【解析】 当 φ=2π 时,代入圆的渐开线方程.
课 堂 互 动 探 究
∴x=6(cos 2π+2π·sin 2π)=6, y=6(sin 2π-2π·cos 2π)=-12π.
【答案】 C
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x=6cos φ+6φ sin φ, y=6sin φ-6φcos φ
(φ 为参数).
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1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
课 前 自 主 导 学
)
当 堂 双 基 达 标
A.只有圆才有渐开线 B. 渐开线和摆线的定义是一样的, 只是绘图的方法不一 样,所以才得到了不同的图形
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x=cos φ+φ sin φ, 的渐开线参数方程是 y= sin φ-φcos φ
π π 分别把 φ=3和 φ=2代入, 3+ 3π 3 3-π 可得 A、B 两点的坐标分别为 A( 6 , 6 ), π B(2,1).
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当 堂 双 基 达 标
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意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个 几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情 况.
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圆的渐开线的参数方程
课 前 自 主 导 学
已知圆的直径为 2, 其渐开线的参数方程对应的 π π 曲线上两点 A、B 对应的参数分别是 和 ,求 A、B 两点的距 3 2 离.
么? 【提示】
根据渐开线的定义和求
解参数方程的过程,可知其中的字母 r 是指基圆的半径,而参数 φ 是指绳子外 端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角 度,如图,其中的∠AOB 即是角 φ.显然 点 M 由参数 φ 惟一确定.在我们解决有关问题时可以适当利 用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使 求解过程更加简单.
x=rcos φ+φ sin φ y=r sin φ-φcos φ x=4cos φ+φsin φ, 得 y=4sin φ-φ sin φ.
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【答案】
x=4cos φ+φsin φ, y=4sin φ-φcos φ.
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(2)设圆的半径为 r,圆滚动的角为 φ,那么摆线的参数方
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x=rφ- sin φ, 程是 y=r1-cos φ
(φ 是参数).
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1.圆的渐开线的参数方程中的参数 φ 的几何意义是什
课 前 自 主 导 学
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课 前 自 主 导 学
【解】 (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0),它到直线 x-y- 6 2 6 2=0 的距离为 d= =6,恰好等于圆的半径,所以直线 2 和圆是相切的.
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课 堂Baidu Nhomakorabea互 动 探 究
(2) 由 于 圆 的 半 径 是 6 , 所 以 可 得 渐 开 线 方 程 是
3π x=- , 3π 2 【解】 将 φ= 2 代入参数方程,得 y=-1.
课 前 自 主 导 学
π x= , π 把 φ=2代入方程,得 2 y=1. 3 π ∴A(-2π,-1),点 B(2,1). 因此|AB |= =2 π2+1, 故点 A、B 间的距离为 2 π2+1.
x=3cos θ, 3.圆 y=3sin θ
课 前 自 主 导 学
(θ 为参数)的平摆线上一点的纵坐标 ) B.3π
当 堂 双 基 达 标
为 0,那么其横坐标可能是( A.π C.6π 【解析 】
x=3φ-3sin φ, y=3-3cos φ
D.10π 根 据条 件可知 圆的 平摆线 的参 数 方程为
(φ 为参数),把 y=0 代入,得 cos φ=1,
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所以 φ=2kπ(k∈Z).而 x=3φ-3sin φ=6kπ(k∈Z).
【答案】 C
菜 单
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4.半径为 4 的圆的渐开线的参数方程是________.
课 前 自 主 导 学
【解析】 由圆的渐开线的参数方程
菜 单
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2. 圆的摆线的参数方程中的参数 φ 的几何意义是什么?
课 前 自 主 导 学
【提示】
同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程
的过程,可知其中的字母 r 是指定圆的半径,参数 φ 是指圆 上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何
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C.正方形也可以有渐开线 D. 对于同一个圆, 如果建立的平面直角坐标系的位置不 同,画出的渐开线形状就不同
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课 前 自 主 导 学
【解析】
不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形
也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得 出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立平面 直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方
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应点 A,B,并求出点 A,B 间的距离.
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(2013· 大连 模 拟 ) 已 知圆 C 的 参数 方 程 是
x=1+6cos α, y=-2+6sin α
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(α 为参数)和直线 l 对应的普通方程是 x-y
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【思路探究】 先写出圆的渐开线的参数方程,再把 A、 B 对应的参数代入参数方程可得对应的 A、B 两点的坐标,然 后使用两点之间的距离公式可得 A、B 之间的距离.
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【自主解答】
课 前 自 主 导 学
根据条件可知圆的半径是 1 ,所以对应 (φ 为参数),
菜 单
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π 3 2 + π +1+12 2 2
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圆的摆线的参数方程
课 前 自 主 导 学
已知一个圆的摆线过一定点 (2,0) ,请写出该圆 的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参 数方程. 【思路探究】
x=rcos φ+φ sin φ y=r sin φ-φcos φ
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(φ 为参数)



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2.摆线及其参数方程
课 前 自 主 导 学
(1)当一个圆沿着一条定直线 上的一个 叫旋轮线.
无滑动地
滚动时,圆周
定点运动 的轨迹叫做 平摆线 ,简称 摆线 ,又
x=rφ- sin φ, y=r1-cos φ
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根据圆的摆线的参数方程
课 堂 互 动 探 究
(φ 为参数), 只需把点(2,0)代入参数方程求
出 r 的表达式,根据表达式求出 r 的最大值,再确定对应的 摆线和渐开线的参数方程即可.
菜 单
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当 堂 双 基 达 标
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程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.故选 C.
【答案】 C
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2.当 φ=2π
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x=6cos φ+φsin φ 时,圆的渐开线 y=6sin φ-φcos φ
上的
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1 时,r 取最大值为π.
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代入即可得圆的摆线的参数方程为
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1 x=πφ-sinφ, y=1 1-cos φ π
(φ 为参数)
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课 前 自 主 导 学
1.渐开线及其参数方程 (1)把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头 逐渐展开,保持线与圆相切, 线头 的轨迹就叫做圆的渐开 线,相应的 定圆 叫做渐开线的 基圆 .
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(2)设基圆的半径为 r,圆的渐开线的参数方程是
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渐开线与摆线
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课 标 解 读
1.借助教具或计算机软件,观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线),了解 平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出 它们的参数方程. 2.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆 线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆 线)的生成过程;了解摆线在实际应用中的 实例.
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根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字 母 r 是指基圆的半径,参数 φ 是指绳子外端运动时绳子上的
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定点 M 相对于圆心的张角.
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x=cos φ+φ sin φ, 3π π 当 φ= 2 ,2时,求出渐开线 上的对 y= sin φ-φcos φ
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应点 A,B,并求出 A,B 的距离.
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【自主解答】 令 y=0, 可得 r(1-cos φ)=0, 由于 r>0, 即得 cos φ=1,所以 φ=2kπ(k∈Z).
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代入 x=r(φ-sin φ), 得 x=r(2kπ-sin 2kπ). 又因为 x=2, 1 所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得 r=kπ(k∈Z). 1 又由实际可知 r>0,所以 r=kπ(k∈N+).易知,当 k=1
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该圆对应的渐开线的参数方程是:
x=4cos φ+4φ sin φ, y=4sin φ-4φcos φ
(φ 为参数).
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课 前 自 主 导 学
(教材第 42 页习题 2.4,第 2 题)
x=cos φ+φ sin φ, π 3π 当 φ=2, 2 时,求出渐开线 上的对 y= sin φ-φcos φ
那么, 根据两点之间的距离公式可得 A、 B 两点的距离为
课 前 自 主 导 学
|AB |=
3+ 3π π 2 3 3-π - + -12 6 2 6
1 =6 13-6 3π2-6π-36 3+72. 即 A、B 两点之间的距离为 1 2 13 - 6 3 π -6π-36 3+72. 6
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x=4φ-4sin φ 已知一个圆的摆线方程是 y=4-4cos φ
,(φ 为参数),
求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.
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【解】 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为 4,所以面积为 16π,
1 x=πcos φ+φ sin φ, 圆的渐开线的参数方程为 y=1sin φ-φcos φ π 参数).
(φ 为
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根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数 φ 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.
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