高中数学必修1函数单调性和最值专题
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.（1）若在上单调递减,求的取值范围．（2）若使函数和都在上单调递增,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意知，函数的定义域满足：在上恒成立，且函数在上单调递减，分别运用变量分离法和二次函数的单调性求出参数所满足的取值范围，取交集即可得出答案；（2）分别根据一次函数的图像和反比例函数图像知，当时，函数为单调递增的；当时，在上单调递增．试题解析：（1）由题意在上单调递减且在上恒成立．若在上单调递减，则,即；由在上恒成立得，当时显然成立；时可得：在上恒成立．因为，所以，故的取值范围是．（2）由函数在单调递增得: ，所以．又因为在上单调递增,所以．综上所述：的取值范围是．【考点】二次函数的单调性；一次函数的单调性；反比例函数的单调性．2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上为减函数，且；且，；又因为在上为减函数，所以.【考点】函数的单调性与奇偶性.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．5.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.6.已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.3.已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】，其图像如图所示，由图像得是奇函数，递减区间是.【考点】分段函数的图像与性质.4.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）利用偶函数的图像关于轴对称，得到在轴右侧的图像，再利用图像写出单调递增区间；（2）设，则，求，再利用偶函数求的解析式；（3）讨论对称轴与区间的关系，求出最小值.规律总结：1.奇函数的图像关系原点对称，偶函数的图像关系轴对称；2.二次函数的图像开口向上时，离对称轴越近的点对应的函数值越小，离对称轴越远的点对应的函数值越大.试题解析:（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.函数是定义在上的偶函数，且当时，（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小当时，为最小.综上，有：的最小值为．【考点】1.函数的图像；2.函数的单调性；3.函数的解析式；4.函数的最值.5.函数，使是增函数的的区间是________．【答案】【解析】令在R上是减函数,又因为函数在(-,1]是减函数,由复合函数的单调性可知的增区间为: (-,1]【考点】复合函数的单调性.6.已知奇函数 f (x) 在 (－¥,0)∪(0,+¥) 上有意义，且在 (0,+¥) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(q) = sin 2q+ m cos q－2m，若集合M =" {m" | g(q) < 0}，集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0}，求M∩N.【答案】 .【解析】根据条件中是奇函数的这一条件可以求得使的的范围，再根据与的表达式，可以得到与的交集即是使恒成立的所有的全体，通过参变分离可以将问题转化为求使恒成立的的取值范围，通过求函数最大值，进而可以求出的范围.依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数， 1分∴由得或 2分∴或 3分4分由得 5分即 6分∴ 7分设， 9分∵， 10分∴， 11分且 12分∴的最大值为 13分∴ 14分另解：本题也可用下面解法：1. 用单调性定义证明单调性∵对任意，，，∴，即在上为减函数，同理在上为增函数，得 5分∴.2. 二次函数最值讨论解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，4分由得恒成立，5分设， 6分∵，的对称轴为 7分1°当，即时，在为减函数，∴ 9分2°当，即时，∴ 11分3°当，即时，在为增函数，∴无解 13分综上， 14分3. 二次方程根的分布解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，，由得恒成立，，设，∵，的对称轴为，， 7分1°当，即时，恒成立。
北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)
答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。
【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.函数的递增区间是___________________ .【答案】[1,+∞)【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞).【考点】一元二次函数的单调性.2.设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是【答案】【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为①或②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．3.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.4.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A．≥B．≥C．≤D．≤【答案】B【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有，解得 .故选B【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质5.在区间上不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.6.（本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性试题解析：（Ⅰ）是幂函数，设（是常数）由题，所以所以，即（Ⅱ）在区间上是减函数.证明如下：设，且，则，即在区间上是减函数.【考点】函数解析式的求法，单调性的定义7.已知函数满足当时，总有．若则实数的取值范围是．【答案】或【解析】当时，总有，所以在上单调递增，因为所以为偶函数，所以在上单调递减，因为所以，即，整理的，解得或【考点】（1）函数单调性的概念以及利用单调性比较大小（2）函数奇偶性（3）绝对值不等式和一元二次不等式的解法8.下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.【考点】函数的单调性；函数的奇偶性9.若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）证法一：即又当时，则故对于恒有证法二：为非零函数（2）证明：令且有，又即故又故为R上的减函数（3）实数的取值范围为【解析】（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.试题解析：（1）证法一：即又当时，则故对于恒有 4分证法二：为非零函数（2）令且有，又即故又故为R上的减函数 8分（3）故， 10分则原不等式可变形为依题意有对恒成立或或故实数的取值范围为 14分【考点】1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据初等函数的图象，可得函数在区间上的单调性，从而可得结论．选项A中在上是减函数选项B中在上是增函数选项C中在上是减函数选项D中在上是增函数故选C考点:函数单调性的概念11.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.12.已知函数（1）若，判断函数在上的单调性并用定义证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上是增函数.（2）【解析】（1）由分离常数法判断函数的单调性，由定义法来证明在上的单调性注意通分后分解因式，判定各因式的符号.（2）设由增函数知，然后分解因式判定含有因式的符号试题解析：（1）当时，， 1分设，则3分∵∴，∴>0， 5分即，∴函数在上是增函数. 6分（2）设，由在上是增函数，有即成立， 8分∵，∴，必须 11分所以，实数的取值范围是 12分【考点】函数单调性的性质证明过程及其应用．13.定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．（3）证明：，.【解析】（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.试题解析：（1）令，令，则.所以，在上是奇函数． 4分（2）设，则， 6分而，， 7分即当时，．∴在上单调递减． 8分（3），，.. 13分【考点】函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.14.在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】根据题意，由于指数函数和对数函数底数大于1，因此是递增函数，而抛物线在给定区间是递增的，那么结合函数凹函数的特点可知，使恒成立的函数为两个函数，故选C.【考点】函数的单调性点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．15.已知函数，（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）略；（2）。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
【课件】函数单调性与最值(第1课时) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，即在R上为增函数,又，的解集为，即的解集为.故选B.【考点】利用导数求解不等式.2.已知函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：解得或因此.【考点】分段函数单调性，数列单调性3.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是.其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）.【答案】①④【解析】若方程若有一个正实根，一个负实根，则满足.由韦达定理可得.所以①正确.因为函数的定义域为.解得.所以函数图像为两个点，所以既是偶函数又是奇函数.所以②不正确.因为函数通过向左平移1个单位得到函数.所以值域没有改变.所以③不正确.由于曲线对应的函数是偶函数，直线也是偶函数，所以根据偶函数的图像性质，只有一个交点是不成立的.所以④正确，综上①④正确，故填①④.【考点】1.二次函数的根的分布.2.函数的奇偶性.3.函数的最值问题.4.函数的图像的应用.4.函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】【解析】复合函数单调性口诀“同增异减”，因为在其定义域上是减函数，所以在上是增函数，又因为是真数所以应大于0。
函数的图像开口向上，对称轴为。
结合图像可分析得出满足题意的不等式。
试题解析：解:由题意知，在上是增函数且恒正，则（12分）【考点】函数的单调性，数形结合思想。
5.是定义在上的函数（1）判断函数的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.【答案】(1) 为奇函数;(2)证明如下.【解析】(1)判断函数奇偶性时，先判断定义域关于原点对称，再根据定义若，则函数为偶函数，若，则函数为奇函数；（2）用定义证明函数的单调性可分四部：设量若 ---作差若 ---与0比较大小---做判断.若，则函数在上为增函数；若，则函数在上为减函数.试题解析：（1）因为定义域为(－1,1)， f(-x)=f(x)∴是奇函数.(2)设为（-1,1）内任意两个实数，且，则又因为，所以所以即所以函数在（-1,1）上是增函数.【考点】1、函数的奇偶性的判断；2、定义法证明函数的单调性.6.若函数是偶函数，则的递减区间是 .【答案】【解析】是偶函数，，即，即，，，即。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点1、函数单调性的定义：对于某区间内任意给定的两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2) ，则f(x)在该区间上是增函数；而如果总有f(x1)≥f(x2) ，则f(x)在该区间上是减函数；特别地，如果总有f(x1)＜f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格增函数；如果总有f(x1)＞f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格减函数。
2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
3、利用定义证明函数单调性的步骤：①取值x1和x2，并令x1<x2；②做差f(x1)-f(x2) 并变形，通过因式分解/通分/配方/分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向（即因式相乘/除的形式）变形；③判断f(x1)-f(x2)符号，有参数时，需要分类讨论；④得出结论。
4、判断含参数的函数的单调性时，注意对参数进行分类讨论。
函数的单调区间可以直接由图像判断，从左到右是上升的，则是单调递增区间，从左到右是下降的，则是单调递减区间。
5、复合函数的单调性：同增异减。
即对于复合函数y=f[g(x)]，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相异，则y=f[g(x)]是减函数。
6、基础函数的单调性：①一次函数y=kx+b，k＞0时是增函数，k＜0时是减函数。
②反比例函数y=k/x，当k＞0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，k＜0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是增函数。
③二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时开口向上，对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，当a＜0时开口向下，对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。
④幂函数y=x a，a＞0时，在第一象限是增函数，a＜0时，在第一象限是减函数，其他象限的情况根据奇偶性来判断。
⑤指数函数y=a x，0＜a＜1时，是减函数，a＞1时，是增函数。
数学必修第一册第二章3函数的单调性和最值《函数单调性的定义》共18张PPT
一 创设情境、引入新课
德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
一 创设情境、引入新课
一 创设情境、引入新课
观察下列函数，指出其变化趋势
一 创设情境、引入新课
观察下列函数，指出其变化趋势
三 师生共探、抽象定义
探究2.1：如何用“符号语言”描述函数 f ( x )=x2在 0,
辨析2：函数在区间 (1,3) 和3,5 都是增函数，
则函数在区间 1 ,5 上一定是增函数吗？
辨析3：函数的定义域与单调区间是什么关系？
四 定义辨析、强化理解
辨析4：反比例函数
f (x) 1 x
，在整个定义域上是减函数吗？
局部性
??? 函数f (x) 1 x
在（-，0）（0， ）上为减函数
不可以
（或者用逗号连接）
总结：（1）单调性是一个局部概念，局部单调，整体未必单调. （2）同类区间用逗号隔开，不写并集.
五 举例应用、掌握定义
例1 下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x），根据图象说出函数 的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
增区间 [2,1) [3,5]
f
(x1) x1
f (x2 ) x2
0
任意x1 x2, f (x1) f (x2 )（ x1 x2） 0
七 归纳小结、提高认识
知识方面
你收获到 了什么？
体验和感悟
获取知识的思想方法方面
八 布置作业、检测目标
1.必做题 教材62页习题2-3A组第1题
2. 知识升华：
y f (x)在区间A上是增加的(x1, xx1) f (x2 )
任意x1
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。
高一数学函数的单调性与最值
§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对?x1，x2∈D，x1≠x2，f x1－f x2x1－x2>0?f(x)在D上是增函数；对?x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在D上是增函数．减函数类似．2．写出函数y＝x＋ax(a>0)的增区间．提示(－∞，－a]和[a，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)题组二教材改编2.如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1<t<2答案C3．函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)?[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数f (x)＝12log (－2x 2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．答案14，12[3，＋∞)6．函数y ＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析由条件知－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a<1.7．设函数f (x)＝x 2＋1x，x ≥1，ax ，x<1是单调函数．则a 的取值范围是________；若f (x)的值域是R ，则a ＝________.答案(0,2]2解析当x ≥1时，f (x)＝x 2＋1x＝x ＋1x ，则f ′(x)＝1－1x 2≥0恒成立，∴f (x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x)min ＝f(1)＝2，当x<1时，f (x)＝ax ，由于f (x)是单调函数，∴f (x)＝ax 在(－∞，1)上也单调递增，且ax ≤2恒成立，∴a>0，a ≤2，故a 的取值范围为(0,2]，∵当x ≥1时，f (x)≥2，由f (x)的值域是R ，可得当x ＝1时，ax ＝2，故a ＝2.确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2019·郴州质检)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)设函数f(x)＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)＝x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝axx－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．解方法一?x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f(x)＝a x－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a 1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a x2－x1x1－1x2－1，由于x1<x2<1，∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a>0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x)在(－∞，1)上单调递减．方法二f ′(x)＝a x －1－axx －12＝－a x －12，∵(x －1)2>0，a>0，∴f ′(x)<0，故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝12x B ．y ＝2－xC ．y ＝12log xD ．y ＝1x答案A解析y ＝12x ＝x ，y ＝2－x ＝12x ，y ＝12log x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．(2)函数f (x)＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x)＝x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x<2.画出f (x)的大致图象(如图所示)，由图知f (x)的单调递减区间是[1,2]．(3)函数f (x)＝110log(6x 2＋x －1)的单调增区间为________．答案－∞，－12解析由6x 2＋x －1>0得，f (x)的定义域为x |x<－12或x>13.由复合函数单调性知f (x)的增区间即y ＝6x 2＋x －1的减区间(定义域内)，∴f(x)的单调增区间为－∞，－12.函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f (x)＝x 2，设a ＝log 54，b ＝15log 13，c ＝152，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是()A ．f (a)>f (b)>f (c)B ．f (b)>f (c)>f (a)C ．f (c)>f (b)>f (a)D ．f (c)>f (a)>f (b)答案D解析因为函数f (x)＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b)<f (a)<f (c)．故选 D.(2)已知定义在R 上的函数f (x)＝2|x －m|＋1(m ∈R)为偶函数．记a ＝f (log 22)，b ＝f (log 24)，c ＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．c<b<a答案B解析∵定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．∵a＝f(log22)＝f(1)，b ＝f(log24)＝f(2)，c＝f(2m)＝f(0)，∴a，b，c的大小关系为c<a<b.命题点2求函数的最值例4(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.(2)(2020·深圳模拟)函数y＝x2＋4x2＋5的最大值为________．答案25解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝tt2＋1＝1t＋1t，设h(t)＝t＋1t，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤152＝25(x＝0时取等号)．即y最大值为25.命题点3解函数不等式例5(1)已知函数f(x)＝x3，x≤0，ln x＋1，x>0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．答案(－2,1)解析根据函数f(x)的图象可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1. (2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－5<x<－2或2<x< 5.命题点4求参数的取值范围例6(1)已知f(x)＝3a－1x＋4a，x＜1，log a x，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,1) B.0，13C.17，13 D.17，1答案C解析由f(x)是减函数，得3a－1＜0，0＜a＜1.3a－1×1＋4a≥log a1，∴17≤a＜13，∴实数a的取值范围是17，13.(2)已知函数f(x)＝x2＋12a－2，x≤1，a x－a，x>1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝a x－a(x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a≤2.(3)已知函数y＝log a(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是________．答案(1,2)解析设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u 在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y ＝log a u 在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u 在[0,1]上要满足u>0，∴2－a ×1>0，2－a ×0>0，得a<2.综上得1<a<2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足f|1x |<f(1)的实数x的取值范围是________．答案(－1,0)∪(0,1)解析因为f (x)在R 上为减函数，且f 1|x|<f (1)，所以1|x|>1，即0<|x|<1，所以0<x<1或－1<x<0.(2)函数f (x)＝1x，x ≥1，－x 2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x ≥1时，函数f (x)＝1x为减函数，所以f (x)在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x<1时，易知函数f (x)＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x)的最大值为 2.(3)已知函数y ＝12log (6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案[4,5)解析设u ＝6－ax ＋x 2，∵y＝12log u为减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数，∵u＝6－ax＋x2，对称轴为x＝a2，∴a2≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．∴a≥4，6－2a＋4>0，解得4≤a<5，∴实数a的取值范围是[4,5)．1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是() A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1C．y＝12x D．y＝x＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f(x)＝1－1x－1()A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减答案B解析f(x)图象可由y＝－1x图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．3．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是() A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)答案A解析由已知易得x＋1>0，x－3>0，即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]答案D解析因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.5．已知函数f(x)＝x|x＋2|，则f(x)的单调递减区间为() A．[－2,0]B．[－2,1]C．[－2，－1]D．[－2，＋∞)答案C解析由于f(x)＝x|x＋2|＝x2＋2x，x≥－2，－x2－2x，x<－2，当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，显然，f(x)在[－2，－1]上单调递减；当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，显然，f(x)在(－∞，－2)上单调递增．综上可知，f(x)的单调递减区间是[－2，－1]．6．(2020·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)<f(x ＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，则实数a的取值范围为()A.－∞，134B．(－∞，－3)C．(－3，＋∞) D.134，＋∞答案D解析依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)<f(x＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于x2－2x＋a>x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－x－322＋134(－1≤x≤2)，当x＝32时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g 32＝134，因此a>134，故选 D.7．(多选)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则() A．πe<3e B．3e－2π<3πe－2 C．logπe<log3e D．πlog3e>3logπe 答案CD解析已知π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴π3e>1，πe>3e，故A错误；∵0<3π<1,0<e－2<1，∴3πe－2>3π，∴3e－2π>3πe－2，故B错误；∵π>3，∴logπe<log3e，故C正确；由π>3，可得log3e>logπe，则πlog3e>3logπe，故D正确．8．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x<0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．答案－14，0解析当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a的取值范围是－14，0.10．(2019·福州质检)如果函数f(x)＝2－a x＋1，x<1，a x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f x1－f x2x1－x2>0成立，那么实数a的取值范围是________．答案32，2解析对任意x1≠x2，都有f x1－f x2x1－x2>0，所以y＝f(x)在R上是增函数．所以2－a>0，a>1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a<2.故实数a的取值范围是32，2.11．试判断函数f(x)＝x3－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．证明方法一设0<x1<x2，f(x)＝x3－1x＝x2－1x，f(x1)－f(x2)＝x21－x22－1x1－1x2＝(x1－x2)·x1＋x2＋1x1x2.∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，x1＋x2＋1x1x2>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．方法二f′(x)＝2x＋1x2.当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)＝－23，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0得f(0)＝0，令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在R上是奇函数．(2)证明在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)解∵f(x)是R上的减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－ 2.13．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析由题意可得，存在正数x使a>x－12x成立．令f(x)＝x－12x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．14．设函数f (x)＝－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4.若函数y ＝f (x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.15．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x)＝2021x－2021－x＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x)>2的解集为____________．答案14，＋∞解析由题意知，f (－x)＋f (x)＝2，∴f (2x －1)＋f (2x)>2可化为f (2x －1)>f (－2x)，又由题意知函数f (x)在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x>14，∴原不等式的解集为14，＋∞.16．已知函数f (x)＝lg x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x)的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，试确定实数a 的取值范围．解(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x ≠1}；③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}．(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝lg x＋ax－2在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg a2.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2，x∈[2，＋∞)．设h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)，则h(x)＝3x－x2＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a>2.即实数a的取值范围是(2，＋∞)．。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.2.已知函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：解得或因此.【考点】分段函数单调性，数列单调性3.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为 .【答案】【解析】由于函数可知函数在R上递增，又函数在（0,1）上递减.并且两个函数在x=1x时的函数值相等.根据函数的图像的走向要满足不等式，首先要确定在x>1时函数值的等于的对应x的值.即.所以.故填.【考点】1.函数的单调性.2.函数的最值问题.3.函数的数形结合思想.4.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）-1;（2）;（3）【解析】（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为 .所以实数的取值范围为. 14分【考点】1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.5.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.6.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】A: ，所以不是奇函数，故A不正确。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.函数，使是增函数的的区间是________．【答案】【解析】令在R上是减函数,又因为函数在(-,1]是减函数,由复合函数的单调性可知的增区间为: (-,1]【考点】复合函数的单调性.4.已知，关于的函数，则下列结论中正确的是（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】A【解析】函数=，可知：当时，函数有最大值，故答案选A．【考点】二次函数的值域.5.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.6.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）；（3）.【解析】(1)因为为奇函数，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的条件下，证明的单调性，在恒成立，即,根据单调性，可以求出其最大值；(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，则,将函数代入，反解,,利用函数的单调性求出他们的最大，和最小值，就是的范围.试题解析：解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故． 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略． 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为． 8分（3）由题意知，在上恒成立．，．在上恒成立．10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为．所以实数的取值范围为． 14分【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的最值.7.已知的单调增区间为 .【答案】【解析】对数函数为外函数求单调区间一定注意先求定义域，即，让后再利用同增异减的原则，因为外函数增只需找内函数的增即可.【考点】复合函数单调性.8.已知函数且.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明.【答案】（1）；（2）奇函数，证明详见解析.【解析】（1）根据对数函数的真数大于0，求解不等式即可得到函数的定义域；（2）从奇偶函数的定义上进行判断、证明该函数的奇偶性，即先由（1）说明函数的定义域关于原点对称；然后求出，若，则该函数为偶函数，若，则该函数的奇函数.试题解析：（1）由题得 3分所以函数的定义域为 5分（2）函数为奇函数 6分证明：由（1）知函数的定义域关于原点对称 7分且所以函数为奇函数 10分.【考点】1.对数函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.9.已知函数.（Ⅰ）若函数为偶函数，求的值；（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间；（Ⅲ）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】（1）据偶函数定义,得到,平方后可根据对应系数相等得到的值,也可将上式两边平方得恒成立,得的值；（2）当时，作出函数的图像，即可得到函数的单调递增区间；（3）先将不等式转化为，然后利用零点分段法（三段：（））去掉绝对值,在每段上分别求解不等式的恒成立问题，可得出各段不等式恒成立时参数的取值范围，注意在后一段时可考虑结合前一段的参数的取值范围进行求解，避免不必要的分类，最后对三段求出的的取值范围取交集可得参数的取值范围.试题解析：(1)解法一：任取，则恒成立即恒成立 3分∴恒成立，两边平方得：∴ 5分(1)解法二(特殊值法)：因为函数为偶函数，所以，得，得：（酌情给分）(2)若，则 8分作出函数的图像由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及 10分(3)不等式化为即： (*)对任意的恒成立因为，所以分如下情况讨论：①时，不等式(*)化为即对任意的恒成立，因为函数在区间上单调递增，则只需即可，得，又∴ 12分②时，不等式(*)化为，即对任意的恒成立，由①，，知：函数在区间上单调递减，则只需即可，即，得或因为所以，由①得 14分③时，不等式(*)化为即对任意的恒成立，因为函数在区间上单调递增，则只需即可，即，得或，由②得综上所述得，的取值范围是 16分.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数性质的综合应用；4.分类讨论思想.10.在边长为10的正方形内有一动点，，作于，于，求矩形面积的最小值和最大值，并指出取最大值时的具体位置.【答案】最小值为；最大值为，此时点处在的角平分线上，且满足.【解析】本题是函数模型的建立与应用问题，解题的关键是引入适当的变量，建立面积与的三角函数模型，然后根据同角三角函数的基本关系式，令，再将模型转化为关于的二次函数模型，转化时要特别注意变量取值范围的变化，最后利用二次函数的性质求取函数的最值，并确定取得最大值点的位置.试题解析：连结，延长交于，设则，设矩形的面积为，则4分设，则又，（） 8分当时， 10分当时，此时，，又13分.【考点】1.函数的应用；2.二次函数的最值；3.三角函数的性质.11.设，当时，对应值的集合为.（1）求的值；（2）若，求该函数的最值.【答案】（1）（2）42【解析】(1)由题意可知是方程的两根，根据韦达定理可求出.(2)由（1）知，，进而转化为定义域确定、对称轴确定的二次函数在闭区间的最值问题，详细见解析.试题解析：（1）当时，即，则为其两根，由韦达定理知：所以，所以.（2）由(1)知：，因为，所以，当时，该函数取得最小值，又因为，所以当时，该函数取得最大值.【考点】二次函数的最值问题及一元二次方程根与系数的关系.12.已知函数⑴写出该函数的单调区间；⑵若函数恰有3个不同零点，求实数的取值范围；⑶若对所有的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数的单调递减区间是；单调增区间是及（2），（3）【解析】（1）函数的单调递减区间是；单调增区间是及（2）作出直线，函数恰有3个不同零点等价于函数与函数的图象恰有三个不同公共点．由函数又∴（3）又即在上恒成立在上恒大于等于0的取值范围是【考点】本题考查了函数的零点及性质点评：对于一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]内恒有f(x)>0，则同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有13.（本小题12分）已知函数，其中。
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题在高一数学必修一的学习中，函数的单调性与最值问题是非常重要的一部分内容。
它不仅是后续数学学习的基础，也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。
首先，我们来理解一下什么是函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种变化规律。
如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数在某个区间上是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那么这个函数在这个区间上就是单调递减的。
为了判断函数的单调性，我们通常会采用定义法。
假设给定函数$f(x)＄，定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1<x_2$时，如果都有$f(x_1)＜f(x_2)＄，那么就称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递增的；如果都有$f(x_1)＞f(x_2)＄，则称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递减的。
比如说，对于一次函数$y ＝ 2x ＋ 1$，我们可以任取两个自变量的值$x_1$和$x_2$，且$x_1 ＜ x_2$。
那么$f(x_1) ＝ 2x_1 ＋ 1$，＄f(x_2) ＝ 2x_2 ＋ 1$。
因为$x_1 ＜ x_2$，所以$2x_1 ＜ 2x_2$，从而$f(x_1)＜ f(x_2)＄，所以这个一次函数在其定义域内是单调递增的。
再比如，二次函数$y ＝ x^2$。
当$x ＜ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐减小，函数是单调递减的；当$x ＞ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐增大，函数是单调递增的。
除了定义法，我们还可以通过函数的导数来判断单调性。
这对于一些复杂的函数会更加方便和高效，但这是后续学习的内容，在高一阶段，我们主要还是掌握定义法。
接下来，我们谈谈函数的最值问题。
函数的最大值和最小值，简单理解就是函数在定义域内所能取到的最大和最小的函数值。
如果函数在某个区间上是单调递增的，那么在区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值；如果函数在某个区间上是单调递减的，那么在区间的右端点处取得最小值，在左端点处取得最大值。
必修一函数的单调性与最值(含答案)
∴函数f(x)在［1,2］上具有“DK”性质.
(2)f(x)=x2-ax+2,x∈［a,a+1］，
其对称轴为x= .
①当 ≤ a，即a≥0时，函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.
②当a< <a+1，即-2<a<0时，f(x)min=f( )=- +2.
由已知条件得 ≤ ,则a≤2,f(2)=11-2a≥7.
答案：［7,+∞)
8.【解析】∵5x-2≥0,∴x≥ ,∴y≥0.
又y= (当且仅当x= 时取等号).
答案：
9.【解析】由已知x1≠x2,都有 <0，知f(x)在R上为减函数，则需
解得0<a≤ .
答案：(0, ］
10.【解析】(1)当x>0时，f(x)= .
当a>1时，f(x)在［0，1］上为增函数，由已知有 ,得a=2,综上知a=2.
4.【解析】选 . 由函数解析式知f(x)在(-∞,4)和（4，+∞）都是减函数，又 ∴减区间有两个(-∞,4)和（4，+∞）.
5.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，则其在(2，+∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)= ,
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求函数f(x)的值域.
11.（2012·南平模拟）已知函数f(x)=ax2-2x+1.
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函数专题：单调性与最值
一、增函数
1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y 的值有什么变化？ ○
2 能否看出函数的最大、最小值？ ○
3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？
不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。
3.增函数的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．
二、函数的单调性
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。
【判断函数单调性的常用方法】
1、根据函数图象说明函数的单调性．
例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数
y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以
及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
y
x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x
1 -1 1 -1
【针对性练习】
下图是借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间．
2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；
② 作差f(x 1)－f(x 2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
例2、证明函数x
x y 1+
=在（1，+∞）上为减函数．
例3、函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是
减函数？试证明你的结论．
例4、已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．
例5、判断一次函数y kx b
=+(0)
k≠单调性.
例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．
【归纳小结】
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论
〖针对性练习〗
1.函数
1
y
x
=-的单调区间是（）
A．（-∞，+∞） B.（-∞，0）（1，∞，）C.（-∞，1）、（1，∞） D. （-∞，1）（1，∞）
2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).
A．32
y x
=-+B．
3
y
x
= C．245
y x x
=-+D．2
3810
y x x
=+-
3．函数y=的增区间是（）。
A．[-3，-1] B．[-1,1] C．
1
1
3
a
-<<-(,3)
-∞- D．(1,)
-∞
4、已知函数
1
()
f x x
x
=+
，
判断()
f x在区间〔0，1〕和（1，+∞）上的单调性。
5、定义在（－1，1）上的函数()
f x是减函数，且满足：(1)()
f a f a
-<，求实数a的取值范围。
6、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减
函数？试证明你的结论．
☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆
1、定义：
设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为
y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)
2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数 单调性
()u g x = 增 增 减 减
()y f u = 增 减 增 减
[]()y f g x = 增 减 减 增
例1、已知()1,()32y f u u u g x x ==+==-+，求[]()y f g x =的单调性。
例2、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==+，求函数[]()y f g x =的单调性。
〖针对性训练〗
1、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==-+，求函数[]()y f g x =的单调性。
2、已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x （ ）
A. 在区间（-1，0）上是减函数
B. 在区间（0，1）上是减函数
C. 在区间（-2，0）上是增函数
D. 在区间（0，2）上是增函数
三、函数的最大（小）值
1．函数最大（小）值定义
1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．
2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最小值．
注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
例1、求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值．
①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞
例2、求函数y x =+
例3、求函数2
1y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
【针对性练习】
一、选择题
1．函数y ＝4x －x 2，x ∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )
(A)4，0 (B)2，0 (C)3，0 (D)4，3
2．函数21
x x y -=的最小值为( ) (A)21
(B)1 (C)2 (D)4
3、函数3
(2)2y x x =≠+ 在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（
） A. 3
,07 B.3
,02 C. 33,27 D. 最大值3
7，无最小值。
二、填空题
1．函数y ＝2x 2－4x －1 x ∈(－2，3)的值域为______．
2．函数22x x y -=的值域为______．
3、函数[])245(0,3y x x x =-+∈的值域是 。
4、函数23y x =--的值域是 。
三、解答题
1．求函数⎩⎨⎧<-≥=0
,0,2)(x x x x f x 的值域．
2．设函数f (x )＝(x ＋a )2对于任意实数t ∈R 都有f (1－t )＝f (1＋t )．
(1)求a 的值；
(2)如果x ∈[0，5]，那么x 为何值时函数y ＝f (x )有最小值和最大值?并求出最小值与最
大值．
3．如图，在边长是a 的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值．
4．已知函数y ＝－3x 2＋2ax －1，x ∈[0，1]，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求
f(a)的最大值．。