29题分类—函数新定义

2.（平谷一模29）设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数

4y x =-+，当x =1时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函

数4y x =-+是闭区间[1，3]上的“闭函数”． （1）反比例函数y =

x

2015是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若二次函数y =22x x k --是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值；

（3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．

4．（海淀一模29）在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义： 若,1,1

≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点

()2,5-的限变点的坐标是()2,5--．

（1

）①点

)

的限变点的坐标是___________；

②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2

y x

=图象上某一个点的限变点，这个点是____________；

（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；

（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．

b n '<

6.（燕山毕业29）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-

，3

1

-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12

+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数)0(42

≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(

23，2

3

)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4

3

42≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取

值范围．

（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x

n

y G =

：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值范围．

8.（西城一模29）给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．

（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C -和射线OA 之间的距离为________；

（2）如果直线y =x 和双曲线k

y x

=

，那么k =；（可在图1中进行研究） （3）点E 的坐标为(1，3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．

①请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）

②将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．

10.（房山一模29）【探究】如图1，点()N m,n 是抛物线2

1114

y x =

-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H . ①计算: m=0时，NH=; m =4时，NO =.

②猜想: m 取任意值时，NONH (填“＞”、“＝”或“＜”).

【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.

【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，-1)、“准线”为l 的抛物线()2

21+44

y x k =

+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点.MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .

①直接写出抛物线y 2的“准线”l ：； ②计算求值：1MQ +1NH

=；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y =

3

3

x +n 与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线2

3y ax bx c =++的表达式.

图2

图3

图1