平面向量中三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要

工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与

重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：

是三角形的重心

所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0

的重心

为故上

在中线同理可得上

在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GC

GB GA GC GB GA GC

GB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,

202

的重心

是证明：的重心

是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆0

0)()()()(3

1)(3

1P

二、垂心(orthocenter)

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心

故同理，有证明：H AB

HC CB HA AC

HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00

)(

可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心

是所在平面内一点，则为若3)()(H 222222222

22222HA

HC HC HB HB HA HA

HC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆

三、外心(circumcenter)

三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

命题成立

证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则

是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆

结论6：

的外心

是（所在平面内一点，则

是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()

的外心

为故故证明：ABC O OC

OB OA OA

OC OC OB OB OA OA

OC AC OA OC OC

OB CB OC OB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+222222222222)()())(()(

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

的内心

是所在平面内一点，则

为若ABC P CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA OP ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∆)0(321λλλλ

的内心

为故的平分线上

在同理可得，平分线上

在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知，为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e AP AC AC AB AB OA OP e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=,,)()(,2121112

1λλ

结论8：

的内心

是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0

的内心是故是平分线

同理可得其他的两条也的平分线

是由角平分线定理，即不共线，则

与由于证明：不妨设ABC P ACB CD a

b DB DA DB b DA a

c b a DB DA PC DB b DA a PC c b a PC c DB PD b DA PD a PC c PB PA a PC PD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=0

,0,0

)()(0)()(0b λλλλλ