整式的乘除PPT课件
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《整式的乘除》知识结构课件
多项式图像
将整式代入变量，可以绘制多项式的图像，帮助我 们更好地理解函数的特性和变化。
整式乘除运算的注意事项
1 去括号
在进行整式乘除运算前，需要根据分配律将 括号内的项分别进行乘法运算。
2 合并同类项
在乘法时，需要将相同指数的变量相乘，并 将其结果合并为一个单项式。
整式乘除运算的习题练习
现在是你的练习时间！通过完成一系列习题，你可以提高整式乘除运算的技巧和速度。
整式的乘法和除法运算，包括单项式和多项式的 运算法则，并提供实际的应用举例和习题练习，让你轻松掌握整式的乘除运 算。
整式的定义
整式是由常数、变量和它们的积的和组成的代数表达式。
整式的乘法运算
单项式的乘法
单项式的乘法就是将两个单项式相乘，并使用乘法法则进行计算。
多项式的乘法
多项式的乘法是将每个单项式相乘，并将结果相加得到最终的结果。
整式的除法运算
单项式的除法
单项式的除法就是将一个单项式除以另一个单项式， 并使用除法法则进行计算。
多项式的除法
多项式的除法是将多项式分解为两个部分，然后对 每个部分进行除法运算，并将结果合并。
整式乘除运算的应用举例
方程求解
通过整式的乘除运算，我们可以解决各种代数方程， 包括线性方程和二次方程。
总结和回顾
通过学习整式的乘除运算，你已经掌握了代数表达式的基本操作技巧，为进 一步理解和解决复杂的数学问题打下了坚实的基础。
整式的乘除课件
详细描述
分配律是整式乘除中的基本运算规则，即 $a(b+c) = ab + ac$。通过分配律，可以 将复杂的整式乘法或除法转化为简单的代数 运算。例如，利用分配律计算整式 $(x+y)^2$，可以得出结果$x^2 + 2xy + y^2$。同样地，在整式除法中，也可以利 用分配律进行简化计算。
05
THANKS
感谢观看
单项式相除，系数相除，同底数的幂 相减。
如果两个单项式相除，可以直接将它 们的系数相除，同时将同底数的幂相 减。例如，$frac{3x^2}{5x} = frac{3}{5}x^{2-1} = frac{3}{5}x$。
单项式除以多项式
将多项式拆分成单项式，分别与被除式相除。
如果单项式除以多项式，可以将多项式拆分成若干个单项式，然后分别与被除式 相除。例如，$frac{x}{x+1} = frac{x}{x+1}$。
在数学教育中，整式的乘除是培养学生逻辑思维和数学素养 的重要内容之一。通过整式的乘除训练，可以提高学生的数 学思维能力，增强学生的数学应用能力。
02
整式乘法规则
单项式乘单项式
总结词
这是整式乘法中最简单的形式，只需 将两个单项式的系数相乘，并将相同 的字母的幂相加。
详细描述
例如，$2x^3 times 3x^2 = 6x^{3+2} = 6x^5$。
单项式乘多项式
总结词
将一个单项式与一个多项式中的每一项分别相乘，然后合并同类项。
详细描述
例如，$(2x - 3y) times 3x = 6x^2 - 9xy$。
多项式乘多项式
总结词
将两个多项式的每一对相应项分别相乘，然后合并同类项。
《整式的乘法》整式的乘除与因式分解PPT课件
=15a-6ab
(2) (x-3y)·(-6x)
=x ·(-6x)+(-3y) ·(-6x)
=-6x+18xy
单项式与多项式相乘时可先确定积的符号
❖ 例：计算 ❖ （１）２a·(3a-5b) ( 2 ) (-2b)(-4a+b)
解（１）２a ·(3a-5b)
❖
=2a·3a-2a·5b
=6a-10ab
( 2 ) (-2b)(-4a+b) =2a·4a-2b·b =8a-2b
练习：
1、化简 x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
2、（计１算）：(2a2- a - 4 ) ·(-9a )
( 2 )-xy(-x-y+1)
练习答案：
1、解：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5) =x·x-x·1+2x·x+2x·1-3x·2x+3x·5
3
2
=2
3
a b2
· 1 ab2Biblioteka +(-2ab)
·1
2
ab
= 1 a2 b3- a2 b2
3
单项式与多项式相乘的结 果是一个多项式，其项数与因 式中的项数相同
巩固练习： １.计算：(1)3a(5a-2b) (2)(x-3y)·(-6x)
解 (1)３a(5a-2b)
=3a ·5a+3a ·(-2b)
▪ 单项式与多项式相乘,就 是用单项式去乘多项式的每一 项,再把所得的积相加.
例5 计算:
(1) (-4 x2)·(3 x+ 1),
(2)(
2
3a
b2 -2ab)·
1 2
(2) (x-3y)·(-6x)
=x ·(-6x)+(-3y) ·(-6x)
=-6x+18xy
单项式与多项式相乘时可先确定积的符号
❖ 例：计算 ❖ （１）２a·(3a-5b) ( 2 ) (-2b)(-4a+b)
解（１）２a ·(3a-5b)
❖
=2a·3a-2a·5b
=6a-10ab
( 2 ) (-2b)(-4a+b) =2a·4a-2b·b =8a-2b
练习：
1、化简 x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
2、（计１算）：(2a2- a - 4 ) ·(-9a )
( 2 )-xy(-x-y+1)
练习答案：
1、解：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5) =x·x-x·1+2x·x+2x·1-3x·2x+3x·5
3
2
=2
3
a b2
· 1 ab2Biblioteka +(-2ab)
·1
2
ab
= 1 a2 b3- a2 b2
3
单项式与多项式相乘的结 果是一个多项式，其项数与因 式中的项数相同
巩固练习： １.计算：(1)3a(5a-2b) (2)(x-3y)·(-6x)
解 (1)３a(5a-2b)
=3a ·5a+3a ·(-2b)
▪ 单项式与多项式相乘,就 是用单项式去乘多项式的每一 项,再把所得的积相加.
例5 计算:
(1) (-4 x2)·(3 x+ 1),
(2)(
2
3a
b2 -2ab)·
1 2
华东师大版(新版)八年级数学上册：第12章整式的乘除小结与复习课件
8．因式分解的步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先 提取公因式； 在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，视察多项 式的次数：二项式可以尝试运用 平方差公式分解因式；三项 式可以尝试运用 两数和(差)公的式分解因式； 分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
再分解 为止．
9．图形面积与代数恒等式
整体思想
例6 若2a+5b-3=0，则4a·32b= 8 . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
[注意] 其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字
母，还可以是一个任意的代数式；这几个法则容易混淆，计算 时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用 单项式 和 多项式 的每一项分别相 乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 与另一个 多项式的 每一项 相乘，再把所得的积 相加 .
5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的 积 的情势，叫做多项式的 因式分解．
因式分解的过程和 整式乘法 的过程正好相反．
6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的 最大公约数 ；字母取多项式各项 相同 的字母；各字母 指数取次数最 低 的． 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公 因式提到 括号 外面，将多项式写成 因式乘积 的情势，这 种分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时 先要考虑多项式的各项有无公因式．
北师大版七年级数学下册第一章 整式的乘除 1.7 整式的除法(1) 课件共17张PPT
1.7 整式的除法
北师大版七年级下册第一章
学 习 目 标
1
理解整式除法运算的算理，会进行简单的 整式除法运算.
2
经历探索整式除法运算法则的过程，发展有
条理的思考及表达能力.
1
知识回顾，引出新知
1、同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m a n a mn (a 0, m, n都是正整数，且 m n)
6 3 3 2
小试牛刀
2. 填空题
已知 : 28x y 14x y 2 y
4 m n 3 5 m n 2 3 2
2
则m ____n ____ 则m ____n ____
6 x y 3x y x y 2 x y
2
小试牛刀
3. 做一做
如图所示，三个大小相同 的球恰好放在一个圆柱形
盒子里，三个球的体积占
整个盒子容积的几分之几？
课堂检测 下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”，
这是因为光速比声速快的缘故。
已知光在空气中的传播速度为 3.0×108米/秒 ，
而声音在空气中的传播速度约 3.0×102米/秒 ，
你知道光速是声速的多少倍吗？
4
知识小结
4
课堂小结
探索
单项式除以单项式的法则
单项式除以单项式
光速比声速快的实际问题
● 系数相除作为结果的系数；
● 同底数幂相除作为结果的因式； ● 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
5
布置作业
习题1.13 1.计算 完成练习册相关习题
谢谢大家
你知道光速是声速的多少倍吗？
（3.0×108 ） ÷ （3.0×102 ）
北师大版七年级下册第一章
学 习 目 标
1
理解整式除法运算的算理，会进行简单的 整式除法运算.
2
经历探索整式除法运算法则的过程，发展有
条理的思考及表达能力.
1
知识回顾，引出新知
1、同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m a n a mn (a 0, m, n都是正整数，且 m n)
6 3 3 2
小试牛刀
2. 填空题
已知 : 28x y 14x y 2 y
4 m n 3 5 m n 2 3 2
2
则m ____n ____ 则m ____n ____
6 x y 3x y x y 2 x y
2
小试牛刀
3. 做一做
如图所示，三个大小相同 的球恰好放在一个圆柱形
盒子里，三个球的体积占
整个盒子容积的几分之几？
课堂检测 下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”，
这是因为光速比声速快的缘故。
已知光在空气中的传播速度为 3.0×108米/秒 ，
而声音在空气中的传播速度约 3.0×102米/秒 ，
你知道光速是声速的多少倍吗？
4
知识小结
4
课堂小结
探索
单项式除以单项式的法则
单项式除以单项式
光速比声速快的实际问题
● 系数相除作为结果的系数；
● 同底数幂相除作为结果的因式； ● 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
5
布置作业
习题1.13 1.计算 完成练习册相关习题
谢谢大家
你知道光速是声速的多少倍吗？
（3.0×108 ） ÷ （3.0×102 ）
整式的乘除数学课件PPT
03
整式乘除混合运算
乘除混合运算顺序
运算优先级
在整式的乘除混合运算中，遵循 先乘除后加减的运算优先级。先 进行乘法或除法运算，再进行加 法或减法运算。
括号处理
若整式中包含括号，则先进行括 号内的运算，再按照运算优先级 进行乘除和加减运算。
乘除混合运算技巧
乘法分配律
在整式乘法中，可以运用乘法分配律 简化计算过程。例如，a(b+c)可以拆 分为ab+ac。
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即$(ab)^n = a^n times b^n$。
乘法分配律在整式中的应用
01
单项式与多项式相乘的分配律
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每
一项，再把所得的积相加。
02
多项式与多项式相乘的分配律
多项式与多项式相乘时，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一
实例三
计算(2x+3)(x-1)/x。首先进行括号内 的运算，得到2x^2-2x+3x-3，然后 合并同类项得到2x^2+x-3，最后进 行除法运算得到2x+1-3/x。
计算(x^2+2x+1)/(x+1) * (x^2-1)。 首先进行因式分解，得到 (x+1)^2/(x+1) * (x+1)(x-1)，然后 约去公因式(x+1)，得到(x+1)(x-1)， 最后进行乘法运算得到x^2-1。
整式乘除的拓展与延伸
分式的乘除运算
分式乘法法则
分式的乘法法则是分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新 的分母。
分式除法法则
分式的除法法则是将除数的分子分母颠倒位置后与被除数相乘。
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除PPT课件全套
(1) (-y)3÷(-y)2 ； (2) x12÷x-4 ；
(2)由 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到更为一 般的公式吗?
猜想 (ab)n= anbn
n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab (
幂的意) 义
n个a
n个b
=(a·a·……·a) (b·b·……·b) (
乘法交换律、结合律
)
=an·b ( 幂的意义 )
积的乘方法则
(ab)n = an·bn （m,n都是正整数）
解 ：am an (a a a)(a a a)
m个a
n个a
aa a 不变 m n个a
=am+n
相加
am ·an =am+n(m,n都是正整数）
同底数幂相乘,底数 不变 ,指数相加 .
指数相加
即 am an amn
底数不变
例1.计 算 ： (1)(3)7 (3)6; (3) x3 x5;
公示逆用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）
反向使用: an·bn = (ab)n
计算:
(1) 23×53 ; (3) (-5)16 × (-2)15 ; (5)0.25100×4100
(2) 28×58 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; (6)812×0.12513
课堂小结
1. am an amn m, n都是正整数
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
2. (am)n=amn (m,n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
课后作业
完成课本习题1.2中1、2 拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面 的问题吗
整式的乘除复习课件
运算步骤：首先确定系数相乘，然 后相同字母的幂相乘，最后将剩余 的字母和指数不变。
注意事项：注意相同字母的幂相乘 时，底数不变，指数相加。
举例说明：例如单项式2x^3与单项 式3y^2相乘，结果是6x^3y^2。
单项式与多项式的乘法
定义：单项式与多项式相乘，就是单项式中的每一项与多项式中的每一项相乘 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 乘法分配律：$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$ 注意事项：注意符号和指数的运算
巩固练习题及解析
整式的乘除运算规则练习 常见错误分析 解题技巧分享 综合应用题解析
学生自我评价与反馈
学生自我评价：对整式的乘除运算的掌握程度进行自我评价，包括概念理解、运算技 巧等方面。
反馈内容：针对复习内容提出自己的疑问和建议，以便教师更好地了解学生的学习情 况，为后续教学提供参考。
巩固练习：提供一些与整式的乘除运算相关的练习题，让学生通过练习巩固所学知识， 提高解题能力。
除法法则：多项式 除以多项式时，按 照除法的分配律和 结合律进行计算， 即先计算括号内的 除法，再计算乘法， 最后进行加法或减 法。
注意事项：在多 项式除以多项式 时，需要注意除 数不能为零，且 结果是一个商式 和一个余式的形 式。
举例：以多项式 a(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5 和 b(x) = x^2 x + 2 为例，进 行多项式除以多 项式的运算。
添加副标题
整式的乘除复习课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 整式乘法运算
02 整式乘除的回顾 04 整式除法运算
浙教版数学七年级下册第3章整式的乘除复习课件
思想3 方程思想
12.若 2×8m×16m＝229，则 m 的值是（ B ）
A.3
B.4
C.5
D.6
13.已知 px2－60x＋25＝（qx－5）2，求 p，q 的值．
解：（qx－5）2＝（qx）2－2×5·qx＋25＝q2x2－10qx ＋25. 因为 px2－60x＋25＝（qx－5）2， 所以 px2－60x＋25＝q2x2－10qx＋25， 所以 p＝q2，－60＝－10q，解得 q＝6，p＝36. 点拨：若两个多项式相等，则对应项的系数相等．
原式＝2a2－6ab＋5ab－原式＝27x3－18x2y＋12xy2＋ 15b2＝2a2－ab－15b2. 18x2y－12xy2＋8y3＝27x3＋8y3.
（3）（3x－2y）（y－3x）－（2x－y）（3x＋y）．
原式＝（－9x2＋9xy－2y2）－（6x2－xy－y2） ＝－15x2＋10xy－y2.
知识考点点 4 三种思想
思想1 整体思想 10.（1）已知 2m－1＝2，求 3＋4m 的值； 因为2m－1＝2，所以2m＝3. 所以3＋4m＝3＋（22）m＝3＋（2m）2＝3＋32＝12. （2）已知 x－y＝7，xy＝10，求 x2＋y2 的值． 因为x2＋y2＝（x－y）2＋2xy，x－y＝7， xy＝10，所以原式＝72＋2×10＝69.
谢谢
点拨：本题运用了整体思想，将 2m，x－y，xy 整体代入求 出式子的值．
思想2 转化思想 11.计算： （1）（2x－1）（4x2＋2x＋1）；
原式＝（2x－1）·4x2＋（2x－1）·2x＋（2x－1 ）·1＝8x3－4x2＋4x2－2x＋2x－1＝8x3－1.
（2）（x＋y＋z）2.
原式＝[（x＋y）＋z]2＝（x＋y）2＋2z（x＋ y）＋z2＝x2＋2xy＋y2＋2xz＋2yz＋z2.
第十二章整式的乘除课件.ppt
am ·an =（a ·a ·····a（）a ·a ·····a）
m个a
n个a
= a ·a ·····a
(m+n)个a
=am+n
即 am ·an = am+n
数) am+n =?
(当m、n都是正整
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例2 计算：
(1)58×53 (3)-76×74
(2)x3 x5
第十二章 整式的乘除
§12.1 幂的运算 1. 同底数幂的乘法
教学目标 :
1.掌握同底数幂的乘法法则并 能灵活运用
2.通过推导运算性质培养学生 的观察、概括与归纳能力。
教学重点：同底数幂的法则的运用。 教学难点：同底数幂法则的逆运用。
思考：
an 表示的意义是什么？其中a、n、an分
别叫做什么?
⑶ b b6 bb616 b7 ⑷ 78 73 78 7 7131 711 ⑸ 57 54 511 5 11 511
练习1计算：
(1)105·106； (2)a7·a3；
(3)y3·y2；
(4)b5·b；
(5)-a6·（-a）6；
22222
101010
aaaa
(1) 23 ×22 =(2 ×2 ×2) ×(2 ×2)
(1)
23
(
×22=2
5)
(2) 52×54 = (5 × 5）× (5 × 5 × 5 × 5)
(2)
52×54
(
=5
6)
(3) a3 · a4 = (a·a·a) ·(a·a·a·a)
(3) a3 · a4 = a ( 7 )
北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的乘除PPT教学课件
议
• 1、对议了解感知部分
• 2、组议深入学习和迁移应用两部分
• 3、小组总结如何进行单项式乘以多项式的
计算，பைடு நூலகம்要注意什么？
展：探索法则
我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大
绿地的面积，要把街心花园的一块长
方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方
法表示扩大后的绿地的面积？
a
b
c
探索法则
（1）3（
2
3
2
2
x
（
x
y
）=
2
x
2
x
；
（2）
（3）
（-3x 2）
（x-y）=-3x3 -3x 2 y；
2
3
（
5
a
）
（
a
b
）=
5
a
+5ab.
（4）
巩固法则
（- 4 x 2）
（3 x+1）；
2 2
1
（ ab -2ab） ab.
3
2
5（
x 2 x 2 -4x 3）；
（- 2a）
（a -ab+b ）
2
2
你在计算这3 个小题时，分别用到了学过的哪些知
识、法则或运算律？
导
• 学习目标：
1．理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式
与多项式相乘的法则进行计算．
2．理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观”
观念，体会转化、数形结合和程序化思想．
• 学习重点：
单项式与多项式相乘的法则的运用．
思
• 同学们认真阅读课本，完成导学提纲
单项式乘以单项式的问题
八年级数学上册第12章整式的乘除：整式的乘法1单项式与单项式相乘上课课件新版华东师大版
分别为a、b的长
方体的体积！
你能分别说出a·b、
3a·2a和3a·5ab的几
何意义吗？
3a·2a可以看作是
长为3a，宽为2a
的长方形的面积.
3a·5ab可以看作是
高为3a，底面长
和宽分别为5a、b
的长方体的体积！
典例精析
【例2】纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，
宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？
故选：D．
2．下面的计算正确的是（ ）
A．3x2·4x2=12x2
B．x3·x5=x15
C．x4·x2=x6
D．(x5)2=x7
【详解】解：A、3x2·4x2=12x4，故本选项错误；
B、x3·x5=x8，故本选项错误；
C、x4·x2=x6，故本选项正确；
D、(x5)2=x10，故本选项错误．
故选：C．
第12章 整式的乘除
12.2 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
1．掌握单项式与单项式相乘的运算法则；
2．熟练运用单项式与单项式相乘的运算法则，并且可以对有关
的计算进行化简求值；
温故知新
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·
an=am+n ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m，n都是正整数).
【详解】（1）解：原式=2x3y2·4x2y4z2=8x5y6z2；
(2）解：原式=-8x6+x6-9x6=-16x6
知识点二 单项式与单项式相乘的几何意义
你能分别说出a·a、
和a·ab的几何意
义吗？
a·a可以看作是边
长为a的正方形的
方体的体积！
你能分别说出a·b、
3a·2a和3a·5ab的几
何意义吗？
3a·2a可以看作是
长为3a，宽为2a
的长方形的面积.
3a·5ab可以看作是
高为3a，底面长
和宽分别为5a、b
的长方体的体积！
典例精析
【例2】纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，
宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？
故选：D．
2．下面的计算正确的是（ ）
A．3x2·4x2=12x2
B．x3·x5=x15
C．x4·x2=x6
D．(x5)2=x7
【详解】解：A、3x2·4x2=12x4，故本选项错误；
B、x3·x5=x8，故本选项错误；
C、x4·x2=x6，故本选项正确；
D、(x5)2=x10，故本选项错误．
故选：C．
第12章 整式的乘除
12.2 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
1．掌握单项式与单项式相乘的运算法则；
2．熟练运用单项式与单项式相乘的运算法则，并且可以对有关
的计算进行化简求值；
温故知新
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·
an=am+n ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m，n都是正整数).
【详解】（1）解：原式=2x3y2·4x2y4z2=8x5y6z2；
(2）解：原式=-8x6+x6-9x6=-16x6
知识点二 单项式与单项式相乘的几何意义
你能分别说出a·a、
和a·ab的几何意
义吗？
a·a可以看作是边
长为a的正方形的
《整式的乘除》知识结构课件
04
CATALOGUE
整式的混合运算
整式的加减乘除混合运算
整式的加减乘除混合运算是指在 一个数学表达式中，同时包含加 法、减法、乘法和除法的运算。
运算的优先级遵循先乘除后加减 的原则，即先进行乘法和除法运
算，再进行加法和减法运算。
在进行整式的加减乘除混合运算 时，需要注意运算的顺序和符号 的处理，确保运算结果的正确性
多项式除以多项式
总结词
先将被除式和除式的每一项分别相除 ，再将所得的商相乘。
详细描述
多项式除以多项式时，首先将被除式 和除式的每一项分别相除，然后将所 得的商相乘，得到最终结果。
整式除法的运算技巧
总结词
灵活运用整式的乘法法则进行简化。
详细描述
在进行整式除法时，可以灵活运用整式的乘法法则进行简化。例如，可以将被除式和除 式的某些项进行合并或提取公因式，以便于计算。
整式的指数运算和根号运算混合运算 是指在一个数学表达式中，同时包含 指数和根号的运算。
在进行整式的指数运算和根号运算混 合运算时，需要注意指数和根号的处 理，以及运算的优先级和符号，确保 运算结果的正确性。
指数运算的优先级高于根号运算，即 先进行指数运算，再进行根号运算。
05
CATALOGUE
整式的乘除在实际问题中的应 用
除法的性质： a÷(b×c)=a÷b÷c
02
CATALOGUE
整式的乘法
单项式乘单项式
总结词
基础运算，直接相乘
详细描述
单项式与单项式相乘，只需将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在 一个单项式中出现的字母，则作为“积”的因数。
单项式乘多项式
总结词
逐项相乘，合并同类项
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(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
2、a0=1，(a≠0 ) 3、
单项式乘法 单项式相乘，把它们的系数、
相同字母分别相乘，对于只在一 个单项式里出现的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式。
多项式乘以单项式
多项式乘以单项式，用
单项式去乘以多项式的每一
项，并把所得的 积 相加。
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式，用一 个多项式的每一项去乘以另一 个多项式的每一项，并把所得
的 积 相加。
乘法公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b) =a2± 2ab+b2
单项式的除法
单项式相除，把它们的系数、
同底数幂分别相除，作为商的一 个因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商
的一个因式。
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先
整式的乘除
复习课
知识表解
重难点知识归纳
重点 整式的乘除法，乘法公式的应用 难点 整式乘法公式的应用 ·因式分解
要突破上述难点，先要认真掌握 好乘法公式的基本结构，再要针对性 地加强练习，以达到熟练自如的目的。
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
单项 式的 乘法
单项式与 多项式的 乘法
小结： 1.变换指数
2.变换底数
求证不论x、y取何值,代数式 x2+y2+4x-6y+14的值总是正数。
证明： x2+y2+4x-6y+14
= x2+ 4x + 4+y2-6y+9+1 =(x+2)2+(y-3)2+1 ∵ (x+2)2≥0，(y-3)2 ≥0 ∴ (x+2)2+(y-3)2+1>0
例1对下列多项式进行因式分解：
（1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab；
（3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2. 例2 对下列多项式进行因式分解： （1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2
例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab) 4ab 5
小结：
1.底是否一致 2.注意符号
解：原式 x6 x2 x x x2 x2
x 621 x122
x x
5 5
0
例2 ：
1若x m 1 , x n 3, 求x 3m n的 值
5
2若3 x 5,3 y 15, 求33 x2 y的值
即原式的值总是正数
若10a=20，10b=5-1，求9a÷32b的值。 解：∵ 10a ÷ 10b=10a-b ∴10a-b=20 ÷ 5-1=100=102
∴ a-b=2
∵ 9a÷32b= 9a ÷ 9b=9a-b
∴ 9a÷32b= 92=81
思考题
1、观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据前面各式的规律可得
3已知n为正整数，且x 2 n 5, 求3 x 3 n 2 9 x 2 2 n的值
例2： 1若x
解：x
m
1 n , x 3, 求x 3 m n的 值 5 3m n 3m n
x
x xn 1 n m x ,x 3 5
3 1 原 式 3 125 5
2
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)( ab 1)
练习：
(1) (a b) 4(a b) 3
2
(2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6 x 2 8 (4) x4 11x 2 28
解：原式 8 x 9 2 x 3 4 x 6 10x 3 x 6
8 x 8 x 10x x
9 9 3
6
10x 9 3b ab a3 a b5 a b9
4x3 2 x2 x x x2 x 2
把这个多项式的每一项除以 这个单项式，再把所得的商
相加。
一、判断正误：
A.b5•b5=2b5( ) B.x5+x5=x10 ( ) C.(c3)4 ÷c5=c6 ( ) D.(m3•m2)5÷m4=m21 ( )
二、计算（口答） 5 5 2 3 (-3) -3 = 1.(-xn-1+ +x+1)=____ xn+1-1 (其中n为正整数)
因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解
要注意的问题：
（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果仍是整式；
（3）因式分解的结果必是一个积；
（4）因式分解与整式乘法正好相反。
1.公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称 之为公因式(common factor)。 2.提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这 个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分 解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法。
多项 式的 乘法
乘法 公式
单项 式的 除法
多项式与 单项式的 除法
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数)
幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数)
n ( ab)n a nbn
积的乘方 (ab)=an bn (n是正整数)
1、 同底数幂的除法 am ÷an=am－n
n+2 x 2. 3 2 2 3 (n-m) 3.(m-n) •(n-m) •(n-m) = 6b12 2 4 3 8a 4. -(- 2a b ) = 4 3 5 2 4 -ab 5.(-2ab) •b ÷8a b =
x3•xn-1-xn-2•x4+xn+2=
典型例题： 例1：计算: 5 3 4 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 x 1 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x x x
3
x
m 3
3已知n为正整数，且x 2 n 5, 求3 x 3 n 2 9 x 2 2 n的值
提示： 3x
9x
3n 2
2 2n
3 x 6n 9 x 4n 2n 3 2n 2 3 x 9 x
3 53 9 52 150
2、a0=1，(a≠0 ) 3、
单项式乘法 单项式相乘，把它们的系数、
相同字母分别相乘，对于只在一 个单项式里出现的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式。
多项式乘以单项式
多项式乘以单项式，用
单项式去乘以多项式的每一
项，并把所得的 积 相加。
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式，用一 个多项式的每一项去乘以另一 个多项式的每一项，并把所得
的 积 相加。
乘法公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b) =a2± 2ab+b2
单项式的除法
单项式相除，把它们的系数、
同底数幂分别相除，作为商的一 个因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商
的一个因式。
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先
整式的乘除
复习课
知识表解
重难点知识归纳
重点 整式的乘除法，乘法公式的应用 难点 整式乘法公式的应用 ·因式分解
要突破上述难点，先要认真掌握 好乘法公式的基本结构，再要针对性 地加强练习，以达到熟练自如的目的。
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
单项 式的 乘法
单项式与 多项式的 乘法
小结： 1.变换指数
2.变换底数
求证不论x、y取何值,代数式 x2+y2+4x-6y+14的值总是正数。
证明： x2+y2+4x-6y+14
= x2+ 4x + 4+y2-6y+9+1 =(x+2)2+(y-3)2+1 ∵ (x+2)2≥0，(y-3)2 ≥0 ∴ (x+2)2+(y-3)2+1>0
例1对下列多项式进行因式分解：
（1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab；
（3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2. 例2 对下列多项式进行因式分解： （1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2
例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab) 4ab 5
小结：
1.底是否一致 2.注意符号
解：原式 x6 x2 x x x2 x2
x 621 x122
x x
5 5
0
例2 ：
1若x m 1 , x n 3, 求x 3m n的 值
5
2若3 x 5,3 y 15, 求33 x2 y的值
即原式的值总是正数
若10a=20，10b=5-1，求9a÷32b的值。 解：∵ 10a ÷ 10b=10a-b ∴10a-b=20 ÷ 5-1=100=102
∴ a-b=2
∵ 9a÷32b= 9a ÷ 9b=9a-b
∴ 9a÷32b= 92=81
思考题
1、观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据前面各式的规律可得
3已知n为正整数，且x 2 n 5, 求3 x 3 n 2 9 x 2 2 n的值
例2： 1若x
解：x
m
1 n , x 3, 求x 3 m n的 值 5 3m n 3m n
x
x xn 1 n m x ,x 3 5
3 1 原 式 3 125 5
2
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)( ab 1)
练习：
(1) (a b) 4(a b) 3
2
(2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6 x 2 8 (4) x4 11x 2 28
解：原式 8 x 9 2 x 3 4 x 6 10x 3 x 6
8 x 8 x 10x x
9 9 3
6
10x 9 3b ab a3 a b5 a b9
4x3 2 x2 x x x2 x 2
把这个多项式的每一项除以 这个单项式，再把所得的商
相加。
一、判断正误：
A.b5•b5=2b5( ) B.x5+x5=x10 ( ) C.(c3)4 ÷c5=c6 ( ) D.(m3•m2)5÷m4=m21 ( )
二、计算（口答） 5 5 2 3 (-3) -3 = 1.(-xn-1+ +x+1)=____ xn+1-1 (其中n为正整数)
因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解
要注意的问题：
（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果仍是整式；
（3）因式分解的结果必是一个积；
（4）因式分解与整式乘法正好相反。
1.公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称 之为公因式(common factor)。 2.提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这 个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分 解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法。
多项 式的 乘法
乘法 公式
单项 式的 除法
多项式与 单项式的 除法
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数)
幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数)
n ( ab)n a nbn
积的乘方 (ab)=an bn (n是正整数)
1、 同底数幂的除法 am ÷an=am－n
n+2 x 2. 3 2 2 3 (n-m) 3.(m-n) •(n-m) •(n-m) = 6b12 2 4 3 8a 4. -(- 2a b ) = 4 3 5 2 4 -ab 5.(-2ab) •b ÷8a b =
x3•xn-1-xn-2•x4+xn+2=
典型例题： 例1：计算: 5 3 4 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 x 1 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x x x
3
x
m 3
3已知n为正整数，且x 2 n 5, 求3 x 3 n 2 9 x 2 2 n的值
提示： 3x
9x
3n 2
2 2n
3 x 6n 9 x 4n 2n 3 2n 2 3 x 9 x
3 53 9 52 150