整式的乘除PPT课件
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之为公因式(common factor)。 2.提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这 个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分
解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法。
典型例题：
例1：计算:
1 2 x 3 3 2 x 3 2 x 3 2 2 x 3 5 x 2 3 2 x 34x 23 x x5
解 8 ： x 9 2 x 3 4 x 6 原 1 x 3 0 x 6式
8x98x91x3 0 x6
10x9
3 b a b a 3 a b 5 ab9 4 x 3 2 x 2 x x x 2 x 2
例1对下列多项式进行因式分解： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2.
例2 对下列多项式进行因式分解： （1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2
例2、分解因式 a 2 b 24 a b 5 解：原式 (a)b 24a b5
即原式的值总是正数
若10a=20，10b=5-1，求9a÷32b的值。
解：∵ 10a ÷ 10b=10a-b ∴10a-b=20 ÷ 5-1=100=102 ∴ a-b=2 ∵ 9a÷32b= 9a ÷ 9b=9a-b ∴ 9a÷32b= 92=81
思考题
1、观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据前面各式的规律可得
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式，用一 个多项式的每一项去乘以另一 个多项式的每一项，并把所得 的 积 相加。
乘法公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b) =a2± 2ab+b2
单项式的除法
单项式相除，把它们的系数、 同底数幂分别相除，作为商的一 个因式，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数作为商 的一个因式。
( a ) 2 b ( 5 1 ) a ( b 5 ) 1 (a b 5 )a ( b 1 ) 练习： (1 )(a b )2 4 (a b ) 3 (2 )m 2 1m 09 n n 2 (3)x46x28 (4)x41x1228
整式的乘除
复习课
知识表解
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
Baidu Nhomakorabea
单项 式的 乘法
单项 式的
单项式与 多项式的 乘法
多项 式的 乘法
多项式与 单项式的
乘法 公式
除法 除法
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数) 幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数) (nab)nanbn 积的乘方
(ab)=an bn (n是正整数)
1、同底数幂的除法 am ÷an=am－n
(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
2、a0=1，(a≠0 )
3、
单项式乘法
单项式相乘，把它们的系数、 相同字母分别相乘，对于只在一 个单项式里出现的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式。
多项式乘以单项式
多项式乘以单项式，用 单项式去乘以多项式的每一 项，并把所得的 积 相加。
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先 把这个多项式的每一项除以 这个单项式，再把所得的商 相加。
一、判断正误：
A.b5•b5=2b5( ) B.x5+x5=x10 ( )
C.(c3)4 ÷c5=c6 ( ) D.(m3•m2)5÷m4=m21 (✓ )
二、计算（口答）
1.(-3)2•(-3)3= (-3)5 = -35 2. x3•xn-1-xn-2•x4+xn+2= xn+2 3.(m-n)2•(n-m)2•(n-m)3= (n-m)3 4. -(- 2a2b4)3= 8a6b12 5.(-2ab)3 •b5 ÷8a2b4=-ab4
3 53 9 52 150
小结： 1.变换指数 2.变换底数
求证不论x、y取何值,代数式 x2+y2+4x-6y+14的值总是正数。
证明： x2+y2+4x-6y+14
= x2+ 4x + 4+y2-6y+9+1 =(x+2)2+(y-3)2+1 ∵ (x+2)2≥0，(y-3)2 ≥0 ∴ (x+2)2+(y-3)2+1>0
(x-1)(xn+xn-1+ +x+1)=_x_n+_1_-1(其中n为正整数)
因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反。
1.公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称
小结：
解 ： x 6 x 2 x 原 x x 2 x 2式
1.底是否一致
x621x122
2.注意符号
x5 x5
0
例2：
1若 xm1,xn3,求 x3mn的 值2 若 3 x 5 ,3 y 1,求 5 3 3 x 2 y 的值 5
3 已 n 为 知 正 x 2 n 整 5 ,求 3 x 3 n 数 2 9 x 22 ， n 的且 值
例2： 1若 xm1,xn3,求 x3mn的值 5 解x3m ： nx3m xn xm3xn
xm 1 , xn 3 5
原式 1 3 3 3
5
125
3 已 n 为 知 正 x 2 n 整 5 ,求 3 x 3 n 数 2 9 x 22 ， n 的且 值
提 3 x 3 n 2 示 9 x 2 2 n 3 ： x 6 n 9 x 4 n 3 x2n 3 9 x2n 2
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这 个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分
解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法。
典型例题：
例1：计算:
1 2 x 3 3 2 x 3 2 x 3 2 2 x 3 5 x 2 3 2 x 34x 23 x x5
解 8 ： x 9 2 x 3 4 x 6 原 1 x 3 0 x 6式
8x98x91x3 0 x6
10x9
3 b a b a 3 a b 5 ab9 4 x 3 2 x 2 x x x 2 x 2
例1对下列多项式进行因式分解： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2.
例2 对下列多项式进行因式分解： （1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2
例2、分解因式 a 2 b 24 a b 5 解：原式 (a)b 24a b5
即原式的值总是正数
若10a=20，10b=5-1，求9a÷32b的值。
解：∵ 10a ÷ 10b=10a-b ∴10a-b=20 ÷ 5-1=100=102 ∴ a-b=2 ∵ 9a÷32b= 9a ÷ 9b=9a-b ∴ 9a÷32b= 92=81
思考题
1、观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据前面各式的规律可得
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式，用一 个多项式的每一项去乘以另一 个多项式的每一项，并把所得 的 积 相加。
乘法公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b) =a2± 2ab+b2
单项式的除法
单项式相除，把它们的系数、 同底数幂分别相除，作为商的一 个因式，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数作为商 的一个因式。
( a ) 2 b ( 5 1 ) a ( b 5 ) 1 (a b 5 )a ( b 1 ) 练习： (1 )(a b )2 4 (a b ) 3 (2 )m 2 1m 09 n n 2 (3)x46x28 (4)x41x1228
整式的乘除
复习课
知识表解
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
Baidu Nhomakorabea
单项 式的 乘法
单项 式的
单项式与 多项式的 乘法
多项 式的 乘法
多项式与 单项式的
乘法 公式
除法 除法
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数) 幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数) (nab)nanbn 积的乘方
(ab)=an bn (n是正整数)
1、同底数幂的除法 am ÷an=am－n
(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
2、a0=1，(a≠0 )
3、
单项式乘法
单项式相乘，把它们的系数、 相同字母分别相乘，对于只在一 个单项式里出现的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式。
多项式乘以单项式
多项式乘以单项式，用 单项式去乘以多项式的每一 项，并把所得的 积 相加。
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先 把这个多项式的每一项除以 这个单项式，再把所得的商 相加。
一、判断正误：
A.b5•b5=2b5( ) B.x5+x5=x10 ( )
C.(c3)4 ÷c5=c6 ( ) D.(m3•m2)5÷m4=m21 (✓ )
二、计算（口答）
1.(-3)2•(-3)3= (-3)5 = -35 2. x3•xn-1-xn-2•x4+xn+2= xn+2 3.(m-n)2•(n-m)2•(n-m)3= (n-m)3 4. -(- 2a2b4)3= 8a6b12 5.(-2ab)3 •b5 ÷8a2b4=-ab4
3 53 9 52 150
小结： 1.变换指数 2.变换底数
求证不论x、y取何值,代数式 x2+y2+4x-6y+14的值总是正数。
证明： x2+y2+4x-6y+14
= x2+ 4x + 4+y2-6y+9+1 =(x+2)2+(y-3)2+1 ∵ (x+2)2≥0，(y-3)2 ≥0 ∴ (x+2)2+(y-3)2+1>0
(x-1)(xn+xn-1+ +x+1)=_x_n+_1_-1(其中n为正整数)
因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反。
1.公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称
小结：
解 ： x 6 x 2 x 原 x x 2 x 2式
1.底是否一致
x621x122
2.注意符号
x5 x5
0
例2：
1若 xm1,xn3,求 x3mn的 值2 若 3 x 5 ,3 y 1,求 5 3 3 x 2 y 的值 5
3 已 n 为 知 正 x 2 n 整 5 ,求 3 x 3 n 数 2 9 x 22 ， n 的且 值
例2： 1若 xm1,xn3,求 x3mn的值 5 解x3m ： nx3m xn xm3xn
xm 1 , xn 3 5
原式 1 3 3 3
5
125
3 已 n 为 知 正 x 2 n 整 5 ,求 3 x 3 n 数 2 9 x 22 ， n 的且 值
提 3 x 3 n 2 示 9 x 2 2 n 3 ： x 6 n 9 x 4 n 3 x2n 3 9 x2n 2