曲面与空间曲面的总结

曲面与空间曲线的总结

曲面与空间曲线一.曲面及其方程：

1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)

都满足方程F(x,y,z)=0，

而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得

此即所求点的规迹方程，为一平面方程。

2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0

②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c

③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：

①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：

x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0

球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22

故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程：

一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论：

若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。

分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z 取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。

几种常见柱面：x+y=a 平面；

2

22222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 0

631044=-++z y x 222a

y x =+圆柱面

椭圆柱面； 12222

=+b y a x 12222=-b y a x 双曲柱面；

py x 22=抛物柱面。

以上所举例均为母线平行于z

4.旋转曲面：

一平面内的定直线l 为旋转曲面。其中c 称为母线，l 时有以下结论：

设yOz 平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c 绕

z 轴旋转一周，所得到的以z 轴 为轴的放置曲面的方程为：

同理,以xOy 面上曲线f(x,y)=0为母线绕x 轴得曲面

例3 求顶点在原点，旋转轴为z 轴，半顶角为a 的圆锥面方程。 解：将yOz 面上的直线z=yctg a 绕z 轴旋转一周即得圆锥曲面 整理后得：

其中a=ctga

二.空间曲线及其方程： 1.空间曲线的一般方程：

空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0

),(2

2=+±z y x f 同理，曲线c 绕y 轴旋转所得曲面方程为：

),(22=+±z x y f 0

),(22=+±z y x f 绕y 轴

为 0

),(22=+±y z x f 以xOz 面上曲线f(x,z)=0为母线绕x 轴得曲

面

0),(2

2=+±z y x f )

(2222

y x a z +

=α

ctg y x z 2

2+±=

和G(x,y,z)=0，则易知其交线c 的方程为

称此方程组为曲线c 的一般方程。

解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。

表示母线平行于Z 轴，准线在xoy 面上

2.空间曲线的参数方程：

设空间曲线方程如果选定一个适当的函数

如果选定一个适当的函数 x=x （x ）代入上述方程组 称为空间中曲线的参数方程。

例 如果空间一点M 在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度绕z 周旋转，同时，以等速度v 沿平行于Z 轴的正方向移动，则点M 运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程

⎩⎨⎧==0

),,(0),,(z y x G z y x F 例

4：方程组 ⎩

⎨

⎧==++25222z z y x 表示怎样的曲线？ 例 方程 表示怎样曲线

⎪⎩⎪⎨⎧=+---=2

222

22)2()2(a y a x y x a Z 22y

x z +=解： 表示中心在原点，半径为1的上半球面

2

2

2)2()2(a y a x =+-半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy )0,2

(a

其圆心在 ，半径为

2

a ⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ⎪

⎨⎧==t y t a x ωωsin cos z

vt MN ==⎪

⎧=θa x cos

三.空间曲线在坐标面上的投影：

在该方程组中消去z 得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L

母线平行于z 轴的柱面，称为曲线c 关于xOy 面的投影柱面。 此投影柱面与xOy 平面的交线即为c 在xOy 平面上的投影曲

线，简称投影，其方程为

同理可得L 在yOz 面及xOz 面上投影方程为

和

解 消去Z 得1-y2=3x2+y2

投影柱面方程为3x2+2y2=1

消去y 得3x2+1-2Z=0 投影曲线方程

投影柱面方程为3x2-2Z-1=0 消去x 得Z=1-y2 投影柱面方程为Z=1-y2 螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z 由 变到 这说明当 转过角 时， 点沿螺旋线

升了高度 ，即上升的高度与 转过角度成正比。 θαθ+00θ

0θ

b αθb b +0M o 'αM αb M o '⎩⎨

⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F ⎩⎨

⎧==0

0),(z y x H ⎩⎨

⎧==0

0),(x z y R ⎩⎨

⎧==0

0),(y z x T 例 求曲线L ： 在三个坐标面上的投影曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+22213y

z z y x ⎩⎨⎧==+0

1322z y x 投影曲线方程 ⎩⎨

⎧==--0

1

1232

y z x ⎨⎧=-=012x y z 投影曲线方程