数学建模——商品需求量的预测

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实验十三 商品需求量的预测

【实验目的】

1．了解回归分析的基本原理和方法。

2．学习用回归分析的方法解决问题，初步掌握对变量进行预测和控制。 3．学习掌握用MA TLAB 命令求解回归分析问题。

【实验内容】

现有某种商品的需求量、消费者的平均收入、商品价格的统计数据如表1所示，试用所提供的数据预测消费者平均收入为1000、商品价格为6时的商品需求量。

【实验准备】

现实生活中，一切事物都是相互关联、相互制约的。我们将变化的事物看作变量，那么变量之间的相互关系，可以分为两大类：一类是确定性关系，也叫作函数关系，其特征是一个变量随着其它变量的确定而确定，如矩形的面积由长宽确定；另一类关系叫相关关系，其特征是变量之间很难用一种精确的方法表示出来，如商品销量与售价之间有一定的关联，但由售价我们不能精确地计算出销量。不过，确定性关系与相关关系之间没有一道不可逾越的鸿沟，由于存在实际误差等原因，确定性关系在实际问题中往往通过相关关系来体现；另一方面，当对事物内部规律了解得更加深刻时，相关关系也可能转化为确定性关系。

1．回归分析的基本概念

回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法，它是最常用的数理统计方法，能解决预测、控制、生产工艺化等问题。由相关关系函数确定形式的不同，回归分析一般分为线性回归、非线性回归和逐步回归，在这里我们着重介绍线性回归，它是比较简单的一类回归分析，在实际问题的处理中也是应用得较多的一类。

回归分析中最简单的形式是

y ＝0β＋1βx ＋ε （x 、y 为标量） （1） 固定的未知参数0β，1β称为回归系数，自变量x 称为回归变量，ε是均值为零的随机变量，它是其他随机因素对y 的影响，是不可观察的，我们称（1）为一元线性回归。它的一个自然推广是x 是多元变量，形如

y ＝0β＋1β1x ＋…＋m βm x ＋ε （2）

m ≥2，我们称为多元线性回归，或者更有一般地

y ＝0β＋1β)(1x f ＋…＋m β)(x f m ＋ε （3）

其中x ＝（1x ，…，m x ），)(x f j （j ＝1，…，m ）是已知函数，称为非线性回归（也叫曲线或曲面回归）。不难看出，对自变量x 作变量替换，一般能够将非线性回归（3）转化为线性回归（2）的形式进行求解分析，所以我们着重讨论线性回归的内容。 对（2）式两边同时取数学期望得

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Y ＝X β＋ε （E ε＝0，εD ＝2

σ） （4）

其中

1 11x … m x 1 1y

X ＝ … … … Y ＝ … 1 1n x … nm x n y

β＝（0β，1β，…，m β）T ，ε＝（1ε，2ε，…，n ε）T

（4）式称为线性回归方程。线性回归分析所要考虑的主要任务是：用试验值（样本值）对未知参数β和2

σ作点估计，同时对估计值作假设检验，从而确立y 与1x ，…，m x 之间的数量关系；在0x ＝（01x ，…，m x 0）处对y 值作预测与控制，即对y 作区间估计。这里我们均假设样本容量大于变量个数，即n ＞m ＋1。 2．模型的参数估计和假设检验

用最小二乘法估计模型（4）中的参数，作离差平方和

Q ＝

∑=n

i i

1

2ε

＝

21

110).....(im m n

i i i

x x y

βββ----∑= （5）

求β使得Q 达到最小。根据微积分学中求极值的方法，只需求Q 关于0β，1β，…，m β一阶导数为0的方程组的解，此解不是0β，1β，…，m β的真值，而是β的最小二乘估计值，我们用0β ，1β ，…，m β

表示

β ＝Y X X X T

T 1)(- （6）

将β的估计值0β ，1β ，…，m β

代入回归方程（4）得到y 的估计值

y

＝0β ＋1β 1x ＋…＋m β m x （7）

拟合误差e ＝y －y

称为残差，可作为随机误差ε的估计，而

Q ＝

∑=n

i i

e

1

2＝

∑=-n

i i y 1

2i

)(y

（8）

为残差平方和（或剩余平方和），即)(β

Q 。

在实际问题中，事先我们并不知道或者不能断定随机变量y 与一组变量1x ，…，m x 之间有线性关系，如（2）式y ＝0β＋1β1x ＋…＋m βm x ＋ε往往只是一种假设，因此在求出线性回归方程后，还须对求出的线性回归方程同实际观测数据拟合效果进行检验，可提出

以下原假设：

0H ：0β＝1β＝…＝m β＝0 （9） 采用F 检验法或R 检验法（详细内容在数理统计类书籍中均可查到，此处不再赘述），拒绝0H ，则认为y 与1x ，…，m x 之间显著地有线性关系；否则就接受0H ，认为y 与1x ，…，

m x 之间线性关系不显著。

3．变量的预测与控制

当回归模型和系数通过了假设检验后，可由给定的0x ＝（01x ，…，m x 0）预测出0y ，

0y 是随机的，显然由回归方程（7）知道，其预测值（点估计）为

0y

＝0β ＋1β 01x ＋…＋m β m x 0 （10）

对于给定的显著水平a ，可以算出0y 的预测区间（区间估计），结果较复杂，但当n 较大且

i x 0接近平均值i x ，0y 的预测区间可简化为

［0y －s u a 2

1-，0y

＋s u

a 2

1-

］ （11）