概率论与数理统计答案(3)()

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现

正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

≤<≤<36

,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463

P X Y <≤<≤公式

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=⎩

⎨⎧>>+-.,0,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数；

（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.

【解】（1） 由-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞+∞

+∞

+∞

+-∞

-∞

==

=⎰

⎰

⎰

⎰

得 A =12

（2） 由定义，有 (3) {01,02}P X Y ≤<≤<

5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<<--.,

0,

42,20),6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ；

（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}；

（4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

故 1

8

R =

（2） 1

3

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰ (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

⎰⎰⎰⎰如图

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=

⎰⎰⎰⎰如图b

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,

0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

而 所以

(2) 5()(,)d d 25e d d y y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

⎰⎰⎰⎰如图

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,

0,

0,0),1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度.

【解】(42)28e ,0,0,

(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨

∂∂⎩

其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,

0,

.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨

⎩其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=⎰

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩

⎨⎧<<-.,0,

0,其他e y x y

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=⎰

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,

0,

1,22其他y x y cx

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

(,)d d (,)d d D

f x y x y f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

⎰⎰

⎰⎰如图

得

21

4

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=⎰

11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩

⎨⎧<<<.,0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=⎰ 所以

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为

Y .

（1） 求X 与Y 的联合概率分布；

（2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表

3

4

5

1

2 0

3

(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010

P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立

13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为

2 5 8 0.4 0.8

0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；

（2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表

2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8

0.05 0.12 0.03 0.2

0.2

0.42

0.38

(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠===

Y

X

X

Y

X

Y