第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法

第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法

某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发，先求出特征多项式，再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定.常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。

§1 乘幂法

乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法，它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。

定理8·1 设矩阵A n ×n 有n 个线性无关的特征向量X i （i=1,2,…,n ），其对应的特征值λi (i =1,2,…,n)满足

|λ1|>|λ2|≧…≧|λn |

则对任何n 维非零初始向量Z 0,构造Z k = AZ k-1(k=1,2,

11()lim

()k j k k j

Z Z λ→∞

-= （8·1）

其中(Z k )j 表示向量Z k 的第j 个分量。

证明 ： 只就λi 是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ，（i = 1,2,…,n 用X i （i = 1,2,…,n ）线性表示，即Z 0=α1X 1 + α2X 2 +…+用A 构造向量序列{Z k }其中 21021010,

,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2)

由矩阵特征值定义知AX i =λi X i (i=1,2, …,n)，故

0112211122211121k k k k k n n

k k k n n n

k

n

k

i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++

+=+++⎡⎤⎛⎫

⎢⎥=+

⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦

∑ （8.3）

同理有

1

1

11

1121k n

k i k i i i Z X X λλααλ---=⎡

⎤

⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭

⎣

⎦

∑ （8.4） 将（8.3）与（8.4）所得Z k 及Z k-1的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,2,…,n)得

11()lim

()k j k k j

Z Z λ→∞

-= 证毕

定理8·1的证明过程实际上是给出了矩阵的按模最大特征值的计算方法：

1) 先任取一非零向量Z 0,一般可取Z 0=(1,1,1)T ； 2) 按（8.2）式计算Z k =AZ k-1(k=1,2,…)； 3) 当K 足够大时,即可求出

11()()k j k j

Z Z λ-=,为了减少λ1对于所选的第j 个分量

的依赖性,还可用各个分量比的平均值来代替,即

1

11()()

n

k j

j

k j

Z Z n

λ=-=∑

关于对应于λ1的特征向量的计算：

由（8.1）知，当k 充分大时，Z k =λ1Z k-1，又由迭代式Z k = AZ k-1，可知AZ k-1=λ1Z k-1故由特征值定义知Z k-1即为λ1对应的特征向量，或Z k =λ1Z k-1为λ1对应的特征向量。

这种求矩阵的按模最大特征值及其对应特征向量的方法称为乘幂法。

应用乘幂法计算A 的按模最大特征值λ1和对应特征向量时,由（8.3）易知

11121k

n

k

i k

i i i Z X X λλααλ=⎡⎤⎛⎫

⎢⎥=+

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 当|λ1|>1或|λ1|<1时,Z k

将迭代向量Z k 先规范化 用max(Z)表示向量Z k 01122+…+αn X n （α1≠0）构造与（8.2）对应的向量序列。

()()()()()

()()()

10

1001

1022

020

2

122020200100max max max max max max max max k k k k k k k Z AZ Z AY AZ Z AZ A Z Z A Z Z AY AZ Z A Z A Z Z A Z Z AY AZ Z A Z -⎧====⎪⎪

⎪⎪====⎪⎨

⎪⎪⎪⎪====

⎪⎩

，Y ，Y ，Y （8.6） 由（8.3）可知

()()

()

()112

10

1121max max max max k

n

i i i k i k i

k k

k n

k i i i i i X X Z A Z X k Z X A Z X X λααλλααλ==⎛⎫

+

⎪⎝⎭

==

=

→

→∞⎛

⎫⎛⎫

⎪+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑Y （8.7）

由（8.3）和（8.6）

()()

()()

()001

1001112111

111211max max max max max max k k k k k

n k i i i i k n k k i i i i A Z A Z A Z A Z X X k X X Z λλααλλααλλλ--=--=⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭

⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=→→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑max （8.8） 也就是说,在满足定理的条件下,规范化的向量序列Y k 仍收敛到A 的按模最大特征值对应的特征向量；而向量序列Z k 的绝对值最大的分量收敛到A 的按模最大的特征值λ1。

例8·1 用规范化的乘幂法求矩阵

13361354454688690⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥---⎣⎦

A 按模最大的特征值λ1和对应的特征向量X 1。

解：取初始向量Z 0=Y 0=(1,1,1)T ，按(8.6)、(8.7)和(8.8)算得Z k 、Y k 和max(Z k )，结果列于下表8—1. 表

经七次选代计算,λ1的近似值max(Z 7)已稳定到小数点后第五位，故可取A 的按模最大的特征值及对应的特征向量分别为

λ1=44.9995，X 1=(1,0.333，-0.6667)T

我们不难求出矩阵A 的三个特征值是

λ1=45，λ2=2，λ3=1

相应的特征向量为：

X 1=(3,1,-2)T ，X 2=(3,2,-3)T ，X 3=(2,1,-2)T ，

注：（1）若矩阵A n ×n 的按模最大特征值λ1是P 重根时,即

|λ1|=|λ2|=…=|λp |>|λp+1

|≥|λn |

容易证明定理1的结论仍成立。