简单线性规划(1)概要

三、课堂练习
(1)已知
x - y 0 x y - 1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
y
y-x=0
5
1
O
1 A(2,-1) 5
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
z max 3
zmin 3
x+y-1=0
练习2、已知 y x 1 x - 5y 3 5x 3y 15 求z=3x+5y的最大值和最小值。
y
15 9
B(3,9)
C(4,8)
{
源自文库
打网格线法
目标函数t = x+y
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
78
2x+y=15
18
作出一组平行直线t = x+y， 当直线经过点 A 时 t=x+y=11.4,但它不是最优整数解 ，
x+2y=18 x+3y=27
27
x
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
一、引例：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t 甲种产品需要A种原料4t、 B种原料12t， 产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要 A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1 万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t， 如何安排生产才能使利润最大？
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
600x+1000y=t，
经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大.
10
此时z=600x+1000y取得最大值. 0 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
{
10 20 30 40 5x+4y=200
90
x
10x+4y=300 600x+1000y=0
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下） 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出 该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当 放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条 对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续 放缩，直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解
甲产品 产品 消耗量 （1 杯） 资源
奶粉（g） 咖啡(g) 糖(g) 利润（元）
乙产品(1 杯)
资源限额（g）
9
4
3600
4
3 0.7
5
10 1.2
2000
3000
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0， 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置 时， 直线经过可行域上的点C，且与原 点距离最大， 此时z =0.7x +1.2y取最大值 解方程组
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线， 否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
y
第二节
o
x
一.复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
10 5 4 600
4 4 9 1000
300
200 360
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
约束条件
目标函数：
z=600x+1000y.
例题分析
结 论 : 形 如2 x y t ( t 0) 的直线与 2 x y 0平 行.
o
x
2.作出下列不等式组的所表示的平面区域
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40) x-4y+3=0
3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x y t , t R
A B
O
1 5 x=1
2x y 0
直线L越往右平 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小. Z max 2 5 2 12, Z min 2 1 1 3
1，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。
解：此平面区域在x-y=0的右下方， x-y≥0
Y
x-y=0
它又在x+2y-4=0的左下方， x+2y-4≤0 它还在y+2=0的上方， y+2≥0
x+2y-4=0 o
2
4
则用不等式可表示为:
x
-2 y+2=0
0
(-1,-1)
x
1
(2,-1)
y=-1
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ， 且最小值为
2x+y=0
-3
；
返回
这两个最值都叫做问题的 最优解 。
例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消
耗 A种矿石 10t 、 B种矿石 5t 、煤 4t ；生产乙种产品 1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大? 列表：设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、 糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天 原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果 甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每 天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种 饮料各多少杯能获利最大？ 解：将已知数据列为下表：
9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3 x 10 y 3000 x 0 y 0
时,求z的最大值和最小值.
y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0
x 4 y 3 1.先 作 出 3 x 5 y 25 x 1 所表示的区域 .
C
5
2.作直线 l0 : 2 x y 0
线性目 标函数
线性约 束条件
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3 x 5 y 25 x 1 最优解 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的
不等式组的 （x,y） 可行解
可行域
有关概念
由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x， y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为 目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 或最小值的可行解称为最优解。
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 10x+4y≤300 那么 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 t、yt,利润总额为z=600x+1000y. 元,
{
y
75
z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的可行域
l l
作 出 一 组 平 行 直 线
50 40
M (12.4,34.4) 4x+9y=360
在关数据列表如下：
A种原料 B种原料 甲种产品 4 12 利润 2
乙种产品
现有库存
1
10
9
60
1
设生产甲、乙两种产品的吨数
4 x y 10 12x 9 y 60 x 0 y 0
利润
分别为x、y
P 2x y
何时达到最大？
y
——线性规划的简单应用
消耗量 产品 资源
甲产品 （1t）
乙产品 （1t）
资源限额 （ t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t） 利润（元）
10 5 4 600
4 4 9 1000
300
200 360
例题分析
列表： 资源
消耗量 产品
甲产品 xt （1t）
乙产品 （1t）
yt
资源限额 （ t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t） 利润（元）
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1 5
A(-2,-1)
Z max 17; Z min 11
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
目标函数为 z=x+y
作出可行域（如图）
例题分析
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N
y
15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y，
10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8
o
x
复习引入
1.已知二元一次不等式组
{
x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
y
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一 x+y=1 次不等式组叫做x,y的 线性约束条件 ；
z=2x+y 叫做
x-y=0 1
线性目标函数 ；
满足 线性约束条件 的解(x,y)都叫做可行解； 使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) 且最大值为 3 ； ，
2x+y=15
12
x+y=12 x+2y=18
作直线x+y=12
18
27
x
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。
例题分析
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成 A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
规格类型 钢板类型
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 X张 第二种钢板 y张
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所 用钢板张数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
C
5
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
A
B
O
1 5 x=1
x
3x+5y-25=0
问题1：x 有无最大（小）值？ 问题2：y 有无最大（小）值？ 问题3：2x+y 有无最大（小）值？
二.提出问题 把上面两个问题综合起来:
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3 x 5 y 25 x 1
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
巩固练习1:
不等式组
x 0 y 表示的平面区域内的整数点共有 y 0 4 4 x 3 y 12
3 2
（
）个
1
0
1
2
3
4
x
4x+3y=12
在可行域内找出最优解、线性规划整数 解问题的一般方法是：