联合分布率

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p 2 q n 2 n m 1 pq , m 1 pq
n m 1, m 2,
第三章
随机变量及其分布
§3条件分布
例2 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
j 1

i 1,2,
j 1,2,
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P{Y y j } p j pi j ,
i 1
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第三章 随机变量及其分布
由条件概率公式
自然地引出如下定义：
P ( AB) P( A | B) P( B)
§3条件分布
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定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定
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n 2,3,; m 1,2,, n 1.
第三章 例1（续）
随机变量及其分布
§3条件分布
X 的边缘分布律为 n PX m P X m， Y n p q 2 n 2

n m 1
q p pqm 1 , 1q Y 的边缘分布律为
10 P{ X= xi |Y= yj }0；
2
0
P{ X x
i 1

i
|Y yj}
i 1

pij p j

p j p j
1.
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即条件分布率是分布率。
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第三章
随机变量及其分布
§3条件分布
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击 到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标
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第三章 随机变量及其分布
在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为
§3条件分布
当 n=2,3,… 时，
P{ X m , Y n} P{ X m | Y n} P{Y n}
q p 1 , m 1,2,, n 1; 2 n 2 n 1 (n 1) p q
2
m 1
m 1,2,
P{Y n} P{ X m, Y n}
m 1 P X m ， Y n q n2 p 2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
p q
2
n1
m
n 2
(n 1) p q
2
n 2
, n 2,3,
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第三章
随机变量及其分布
§3条件分布
(2) 联合分布率为
P{ X n, Y m} P{Y m | X n}P{ X n}
C p (1 p)
m n m
n m


n
n!
e , m 0,1,n, n 0,1,2,

二、条件分布函数 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
同样对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称
P{Y y j | X x i } P{ X x i , Y y j } P{ X x i } pij pi
§3条件分布
, j 1,2,
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。
条件分布律具有分布律的以下特性：
§3条件分布
P{ X m , Y n} P{Y n | X m} P{ X m }
当m=1,2,3,… 时，
PX m pq m 1 , m 1,2, P X m， Y n q n2 p 2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
且中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车的人 数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下 车的概率； （2）二维随机变量（X,Y ) 的概率分布。
解：
m m n m (1) P{Y m | X n} C n p (1 p) ,
m 0,1,, n,
n 0,1,2,.
所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次
数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。
Y 的取值是2， 3， 4， ； 解：
X 的取值是1， 2， ， 并且 X Y．
X , Y 的联合分布律为
P X m， Y n q
其中q 1 p
q p p q p n 2 2 m1 nm 1
第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布律
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为
P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{ X x i } p i p i j ,
P{Y n} (n 1) p 2 q n 2 , n 2,3, P X m， Y n q n2 p 2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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n 2
2
第三章 随机变量及其分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
0
lim P{ X x | y Y y }
P{ X x , y Y y } lim 0 P{ y Y y }
的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称
P{ X x i | Y y j }
P{ X x i , Y y j } P{Y y j }

p ij p j
, i 1,2,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。
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第三章 随机变量及其分布
P{Y y} 0,
所以 P{ X x | Y y} 无意义.
因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概 念。
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第三章 随机变量及其分布
定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ，
§3条件分布
P{ y- < Y y + }>0, 若对于任意实数 x，极限