二维随机变量的联合分布

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二维离散型随机变量及其分布

P{ X xi } P{ X xi , } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1

Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球表示第二次取白球

第3章作业参考答案

λ2l
l!
e− λ2 ,
l = 0,1,2,"
P( X + Y = n) = ∑ P{ X = k}P{Y = n − k}
k =0
=∑
k =0
n
λ1
k
k!
e −λ1
λ2
n−k
(n − k )!
e −λ2 =
e −( λ1+λ2 ) n λ1 λ2 e −( λ1+λ2 ) n k k n−k e −( λ1+λ2 ) n ! = ∑ ∑ Cn λ1 λ2 = n! (λ1 + λ2 )n n! k =0 k! (n − k )! n! k =0
18. 设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为
λ1k
e
−λ1
λ2n−k
e−λ2
⎛ λ2 ⎞ ⎜ ⎜λ +λ ⎟ ⎟ ⎝ 1 2⎠
n−k
f ( x, y ) =
1 − 2 (x2 + y2 ) e , ( x, y ) ∈ R 2 2π
1
计算概率 P{− 2 < X + Y < 2 2} 。解：
19. 随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 λ 的指数分布，Y~U(0, h), 求 X+Y 的概率密度。解：
20. 一射手向某个靶子射击，设靶心为坐标原点，弹着点坐标（X，Y）服从二维正态分布 N(0,1;0,1;0). 求弹着点与靶心的距离 Z 的概率密度函数。解：（X，Y）的联合概率密度为
f ( x, y ) =
1 − 2(x2 + y2 ) e , ( x, y ) ∈ R 2 2π
1
弹着点与靶心的距离 Z 的分布函数为

二维随机变量及其联合分布函数

E-mail: xuxin@
实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W). 说明二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
0
+∞
−2 x
(1 − e )dx = [−e
−x
−2 x
2 −3x +∞ 2 1 + e ] |0 = 1 − = . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。与所求概率的
E-mail: xuxin@
( x, y ) 处的函数值就是事件
“随机点(X,Y)落在以点
( x, y )为右上顶点的角形区
域”的概率.
E-mail: xuxin@
分布函数具有下列基本性质:
（1）0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1 (−∞ < x < +∞, −∞ < y < +∞) F 且对于任意固定的y， (−∞, y) = xlim F ( x, y ) = 0, →−∞
P{( X , Y ) ∈ G} =
( xi , y j )∈G
∑ P{ X = x , Y = y }
i j
F ( x, y )
E-mail: xuxin@
三、二维连续型随机变量
1、概念
定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ) 如果存在非负函数 f ( x, y )，使得对任意的X， Y均有 y x

二维随机变量(X,Y)的联合分布

分析 (X,Y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).
上页下页返回
解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1, , i .
则： P( X i,Y j)
定义设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y),分别把X和Y的分布函数记为FX(x)和FY(y)，叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数.
即: FX (x) P{X x} PX x,Y F(x,)
FY ( y) P{Y y} PX ,Y y F(, y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数 x，y 有
x
y
F( x, y)
f (u, v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）
称为（X，Y）的联合概率密度函数。
上页下页返回
说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2)
的性质
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy F (,) 1
(注：从几何上看，z f ( x, y)表示空间的一个曲面，
介于它和XOY面的空间区域的体积为1）
上页下页返回
xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
几何意义
(X,Y)平面上随机点的坐标
F (x, y) P { X x,Y y }

3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设X,Y是二维

3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x,y)∈R 2,则称F(x,y)=P{X<x,Y<y}为(X,Y)的分布函数，或X 与Y 的联合分布函数。

几何意义：分布函数F(00,y x )表示随机点(X,Y)落在区域{}00,),(y y x x y x <<-∞<<∞-中的概率。

如图阴影部分：对于(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),则P{x 1≤X<x 2，y 1≤y<y 2}＝F(x 2,y 2)－F(x 1,y 2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)2、分布函数F(x, y)具有如下性质(p119)：(1)归一性：对任意(x,y)∈R 2, 0≤F(x,y)≤1,(2)单调不减：对任意y ∈R,当x 1<x 2时，F(x 1,y)≤F(x 2,y)；对任意x ∈R ，当y 1<y 2时，F(x,y 1)≤F(x,y 2)。

(3)左连续：对任意x ∈R,0y ∈R,1),(lim ),(==∞∞∞→∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞-∞→-∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ).,(),(lim )0,(000y x F y x F y x F y y ==--→(4)矩形不等式：对于任意(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),F(x 2,y 2)－F(x 1,2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)≥0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。

例1:已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为:1)求常数A ，B ，C ；2)求P{0≤X<2,0≤Y<3}。

概率论第三章二维随机变量

取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布分布律２. 边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布可列的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法求联合分布的步骤与方法分布先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.

二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨

二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。

掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。

在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。

利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。

将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。

运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。

本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。

关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractIn this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution目录摘要 (I)Abstract (II)1 随机变量独立性及其判定 (1)1.1 随机变量独立性定义 (1)1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)2.1 二维随机变量的分布函数 (16)2.2 二维离散型随机变量 (17)2.3 二维连续型随机变量 (18)2.4 随机变量的独立性 (18)2.5条件分布 (19)2.6 二维随机变量函数的分布 (20)结论 (21)致谢 (21)参考文献 (22)0 引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。

二维随机变量的联合分布函数

二维随机变量的联合分布函数随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它可以描述一个随机事件以及该事件可能出现的结果。

二维随机变量则是另一种更为复杂的随机变量类型，它可以同时描述两个随机事件之间的关系。

在二维随机变量中，我们有一个联合分布函数，它描述了两个随机变量的值同时出现的可能性，也就是两个随机变量之间的联合关系。

二维随机变量的联合分布函数定义为：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
其中，X和Y是两个二维随机变量，F(x,y)表示X≤x且Y≤y的概率。

联合分布函数可以用来描述两个随机变量之间的关系，从而可以计算出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。

在实际应用中，联合分布函数也可以用于概率分布估计、预测和建模等问题。

例如，如果我们有两个随机变量X和Y，它们分别表示某个商品的价格和销量。

我们可以通过计算它们之间的联合分布函数，来研究价格和销量之间的关系。

如果联合分布函数的曲线表现为随价格上升而
销量下降的趋势，那么我们可以得出这个商品的价格和销量之间是负
相关的。

另外，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数。

边际分布函数指的是某一个随机变量的概率分布函数，而条件分布函
数则指的是在已知另一个随机变量取某一值的情况下，另一个随机变
量的概率分布函数。

总之，二维随机变量的联合分布函数是概率论和数理统计中重要
的概念之一。

通过联合分布函数，我们可以研究和描述两个随机变量
之间的相互关系，从而得出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。

同时，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数，有助于在实际应用中进行概率分布估计、预测和建模等问题的解决。

二维随机变量与联合概率分布

二维随机变量与联合概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验的结果。

而在某些情况下，我们需要考虑两个或者多个随机变量之间的关联关系，这就引出了二维随机变量的概念。

本文将介绍二维随机变量以及联合概率分布的相关知识。

一、二维随机变量的定义在概率论中，二维随机变量由两个随机变量组成，通常用大写字母（如X、Y）表示。

二维随机变量可以表示为(X,Y)。

二、联合概率分布的定义联合概率分布是二维随机变量(X,Y)所对应的概率分布。

对于任意的(x,y)，联合概率分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中P表示概率。

三、联合概率密度函数如果二维随机变量的取值是连续的，那么联合概率分布可以用联合概率密度函数来描述。

记为f(x,y)，则对于任意的(x,y)，联合概率密度函数满足以下条件：1. f(x,y)大于或等于0；2. 在整个定义域上的积分等于1，即∬f(x,y)dxdy=1；3. 对于任意的事件A，有P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y)dxdy。

四、边缘概率分布边缘概率分布是指在二维随机变量的联合分布中，只考虑某一个随机变量的概率分布。

对于离散型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率分布进行计算。

对于连续型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率密度函数积分得到。

五、条件概率分布条件概率分布是指在给定一个随机变量的取值时，另一个随机变量的概率分布。

对于二维随机变量(X,Y)，在给定X=x的条件下，Y的条件概率为P(Y=y|X=x)，表示Y取值为y的条件下，X取值为x的概率。

六、独立性如果二维随机变量X和Y的联合概率分布等于边缘概率分布之积，即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，那么称X和Y是相互独立的。

七、联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数是指二维随机变量(X,Y)的分布函数，记为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。

边缘分布函数是指在联合分布函数中，只考虑某一随机变量的取值的分布函数。

二维随机变量及其联合分布

(y 2)2 22
)
其中均为常数， 1, 2 , 1, 2 ,
1 0, 2 0, 1, (x, y) R2
，则称
(X , Y)
服从参数为（ 1 ,
2,

2 1
,

2 2
,

）的二
维正态分布，记为
(
X
,
Y
)
~
N
(1
,

2
,
2 1
,
通常我们用联合概率分布律列是二维离散型随机变量它所有可能的取值为的联合分布律列或联合概率分布jointprobabilitydistribution简称分布12112221规范性37其联合分布函数为定义35设二维随机变量的分布函为若存在非负可积函数使得对于任意实数的联合概率密度函数jointprobabilitydensityfunction简称的概率密度
（Joint Distribution）．与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引入二维随机变量的分布函数的概念．
定义3.2 设 X (), Y() 是定义在样本空间上的二维随机变量，对于任意的实数 x, y ，称函数
F(x, y) P{ : X x, Y y} （3—1）
pi2 p i j

显然，二维离散型随机变量的分布列满足：
1. pi j 0 （非负性）
2. pi j 1 （规范性）（3—7） i, j
其联合分布函数为
F(x, y) P{X x, Y y} pi j（3—8） yj y xix
四、二维连续型随机变量及联合概率密度函数

二维连续型随机变量及其联合分布

P( X = a ,- < Y < + ) = 0
P(- < X < + , Y= a ) = 0
例1 设二维随机变量( X ,Y ) 具有概率密度
ae2 y ,0 x 2, y 0 f (x, y) 0,其它
(1)确定常数a (2)求分布函数F(X,Y)
(3)求P{Y≤X}
y
•2 x
FX (x) PX x FY ( y) PY y
由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆不真.
y
FX (x) PX x PX x,Y
F (x,)
x
x
y
FY ( y) PY y
y
PX ,Y y
F (, y)
x
例3 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F
(
x,
xx yy
x y f (x, y)dydx
故有， P{a X b,c Y d}
b
d
f (x, y)dydx
ac
事实上， 4、若G 是平面上的区域，则
P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy
G
另外， P( X = a ,Y = b ) = 0 =P( (X ,Y )=(a, b) )
0
v
(x,y)
0•
• (x,y)
2
u
于是得所求分布函数
x 2
(1
e2 y
),0
x
2,
y
0
F (x, y) (1 e2y ), x 2, y 0
0, 其它
（3）设D={(x,y)|y≤x}
D {(x, y) | 0 x 2,0 y x} 1

二维随机变量及联合分布

00
c e3xdx e4 y dy
c
12
0
0
所以，c 12．
y
x 0, y 0
(2) F x， y PX x， Y y
x
当 x 0或 y 0时，F x， y 0 ；
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§1 二维随机变量
例 5（续）
当 x 0 且 y 0 时，
Fx， y PX x， Y y
Y 的可能取值为1，3 ．
返回主目录
§1 二维随机变量
例 2（续）
PX 0， Y 1 0； PX 0， Y 3 1；
8
PX 1， Y 1 3； PX 1， Y 3 0；
8
PX 2， Y 1 3； PX 2， Y 3 0；
8
PX 3， Y 1 0； PX 3， Y 3 1．
返回主目录
§1 二维随机变量一个重要的公式
设：x1 x2 ，y1 y2 ，则
Px1 X x2 ， y1 X y2
F x2 ， y2 F x2 ， y1
F x1，
y2
F x1，
y1
y y2
y1
(x1 , y2) (X, Y )
(x1 , y1)
(x2 , y2) (x2 , y1)
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机变量 X， Y 的分布函数.
•..... . 返回主目录
§1 二维随机变量
二元分布函数的几何意义
二元分布函数的几何
意义是：F x， y
表示平面上的随机
点X， Y 落在以 x， y 为右上顶
点的无穷矩形中的概率．
y
(X, Y ) o

二维随机变量两个随机变量的联合分布与相关性

二维随机变量两个随机变量的联合分布与相关性二维随机变量：两个随机变量的联合分布与相关性随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它描述了一个随机试验中可能出现的不同结果，并给出了这些结果发生的概率分布。

在某些情况下，我们需要研究两个随机变量之间的关系，这就引入了二维随机变量的概念。

本文将介绍二维随机变量的联合分布与相关性。

一、二维随机变量的定义与性质在概率论中，二维随机变量（X，Y）表示两个随机变量X和Y同时取某个值的情况。

二维随机变量可以用联合分布函数、联合概率密度函数或者联合概率质量函数来描述。

1. 联合分布函数：对于任意实数x和y，定义联合分布函数F(x,y)为二维随机变量(X,Y)满足X≤x且Y≤y的概率，即F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。

2. 联合概率密度函数：对于连续型二维随机变量(X,Y)，如果存在非负可积函数f(x,y)使得对于任意的实数域A，有P((X,Y)∈A)=∬_Af(x,y)dxdy，则称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数。

3. 联合概率质量函数：对于离散型二维随机变量(X,Y)，如果存在非负函数p(x,y)满足对于所有的(x,y)有P(X=x,Y=y)=p(x,y)，则称p(x,y)为(X,Y)的联合概率质量函数。

二、联合分布的性质1. 边缘分布：对于二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，我们可以通过F(x,y)求得X和Y的边缘分布函数F_X(x)和F_Y(y)，即F_X(x)=P(X≤x)，F_Y(y)=P(Y≤y)。

2. 边缘概率密度函数（质量函数）：同样地，对于具有概率密度函数（概率质量函数）的连续型（离散型）二维随机变量(X,Y)，我们可以通过联合概率密度函数（概率质量函数）f(x,y)求得X和Y的边缘概率密度函数（质量函数）。

3. 条件分布：给定一个条件，我们可以求得在该条件下其他随机变量的分布。

对于二维随机变量(X,Y)，若Y=y，则X的条件分布函数为F_X|Y(x|y)=P(X≤x|Y=y)，条件概率密度函数（质量函数）为f_X|Y(x|y)=d/dx F_X|Y(x|y)。

3.1 二维随机变量及其联合分布函数

Dx
y
故
P{a X b,c Y d}
b a
d c
f
( x,
y)dy
dx
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) D)等于以D为底，以曲面z f (x, y)
为顶面的柱体体积。

9 25
例3.1.1 一箱中有10件产品，其中6件一级品，4件二级品，现随机抽取2次，每次任取一件，定义两个随机变量X和Y：
1 第一次抽到一级品， X 0 第一次抽到二级品.
1 Y 0
第二次抽到一级品，第二次抽到二级品.
(2)第一次抽取后不放回，求(X,Y)的联合分布律.

4 7
e6

3 7
e14
本例是一个典型题.大家应掌握分析与计算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。
例已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)

1 8
(6

x

y),
0 x 2, 2 y 4
0,
解 (1)

f (x, y)dxdy
Ae(3x4 y)dxdy 00
A e3xdx e4 ydy
0
0

A[
1 3
e3x ]0[
1 4
e4 y ]0
A 1 1 12
所以 A 12
12e(3 x4 y) , x 0, y 0
A （x，y）
3.1.2 联合分布函数及其性质定义3.1.3 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意实数 x, y，二元函数

§3.1 二维随机变量的联合分布

D
∫∫x , y )≤0} p( x , y )dxdy II. P ( g( X , Y ) ≤ 0) = ∫∫ p( x , y )dxdy = {( x , y ): g (
D
=
{ g ( X ,Y ) ≤ 0}
∫∫
p( x , y )dxdy
如：P ( X 2 ≤ Y ) =
∫∫
{ X 2 ≤Y }
常数k; (2)P(X<1,Y< 3); 求: (1)常数常数 (3)P(X< 1.5); (4)P(X+Y≤4) + ≤
1/8，3/8，27/32，2/3 ，，，
课堂练习: 课堂练习盒子里装有3只黑球只黑球，只红球只红球，只白球在其中任取4 只白球，盒子里装有只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取只球，表示取到黑球的只数，只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只表示取到黑球的只数表示取到红球的只数，求X,Y的联合分布列的联合分布列
∫−∞ ∫−∞
则称(X, 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量. 则称 ,Y)是二维连续型随机变量而p(x,y)称为称为 (X,Y)的(概率密度函数概率)密度函数 , 的概率 p(x,y)的性质：的性质：的性质 (1) ∀x,y∈R, p(x,y)≥0 ∈ ≥ (2)
∫−∞ ∫−∞ p( x, y )dxdy = 1
+∞
+∞
几何意义：几何意义： p(x,y)在几何上表示一个曲面分布区面介于分布区面和在几何上表示一个曲面(分布区面在几何上表示一个曲面分布区面), xoy平面之间空间的体积为平面之间空间的体积为1 平面之间空间的体积为

二维离散型随机变量的联合分布函数

固定 y ，对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2,y)
对每个变量左连续
d F (x0 , y0) = F (x0 -0 , y0)
F (x0 , y0) = F (x0, y0 - 0) c
对于任意的a < b , c < d
a
b
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
2
2
FY ( y) F(, y)
1 1 arctan y ,
2
2
y ,
(3) P(X 2) 1 P(X 2)

1

1 2

1

arctan
2 2

1 4
可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概
念推广到 n 维随机变量及其联合分布函数与边缘
(X x) (Y y) (记为 X x,Y y)
的概率 PX x,Y y，定义了一个二元实
函数 F ( x , y )，称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数，即
F(x, y) PX x,Y y．
分布函数的几何意义
如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的阴影区域的概率．
4
9 99 0
9
11
2
2
99 00 9
1
1
3
27 0 0 0 27
pi•
84 2
1
27 9 9
27 1
(2) 由表可知
P(Y X ) 7 27

二维随机变量(x,y)的联合分布律

二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量的联合分布律是一类重要的参数，它某种程度上反映和描述了两个不同变量
关系的概率性质。

一般来说，定义在一定空间某点上的联合分布概率，可以用一个函数来
表示，即联合分布函数。

它可以是连续的或离散的，它包括条件概率和条件协方差分布两
部分。

联合分布律不仅描述两个变量之间的关系，还可以揭示各个变量的独立性，或特定变量的正态分布等信息。

研究二维随机变量的联合分布律，有助于我们更加深入、全面地理解变
量之间的关系，分析不同概率分布，从而制定合理的投资策略。

联合分布律经常用于自然科学和经济等领域，非常有用。

如艺术家需要对不同色调和饱和度进行评估，就可以用联合分布律来更好地识别不同色调，也可以帮助统计学家更好地预测某一特定变量的行为趋势。

此外，它也可以帮助金融专业人士观察大量投资者之间的独立性，并做出相应的经济决策。

总之，研究二维随机变量的联合分布律对于解决许多问题至关重要，在金融投资中尤其如此。

熟悉这样的数学模型，能够帮助投资人更好地预测市场的走向，获得资金的最高价值。

二维连续型随机变量的联合分布函数

F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) 0
3.二维联合分布的性质
（1）F ( x, y )是对x对y都单调非减：FX ( x, y ) 0, FY ( x, y ) 0;
（2）四个等式：F (, ) 1，F (, y) 0, F ( x, ) 0, F (, ) 0.
基本思路：用分布的积分求解密度 FX ( x) F ( x, )
x

f (u, y)dudy [

x

f (u, y)dy]du
第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布
FX ( x) [
x
f (u, y)dy]du = g (u)du
解：Y X 2，定域画线变分布。 1 X 1, 则Y X 2 : 0 Y 1,当0 y 1时： FY ( y ) P(Y y ) P(Y X 2 y ) P( y X
1
x y
o
1
x
y)
第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布
第七讲二维连续分布独立性与二维函数分布
本次课讲授：第二章的2.6-2.8；下次课讲第三章的2.8-3.2。下周上课时交作业P25—P28
重点：二维变量的分布、密度、边缘密度与条件密度。二维离散变量函数分布难点：相关公式和解法
离散变量函数值，对应自变量P和，连续变量函数密，定域画线变分布。二维联合变量积，非负无穷和为； 1 联合概率另变量，无穷求和边缘P。联合分布区域P, 2个不等4等式；联合分布另变量，无穷极限是边缘。