二维随机变量的联合分布

f ( x, y )dxdy 的计算 双重积分 D
将双重积分转换成累次积分，首先要定限
Y值
4 3 2 1 0 0
y1 ( x )
y2 ( x)
x型区域： D {a x b, y1 ( x ) y y 2 ( x )}
x a
1
2
xb
f ( x, y )dxdy
3
D
二维均匀分布
• 如果二维随机变量(X,Y)服从区域R上的均匀分布，那么密 度函数为：
C f ( x, y ) 0
( x, y) R
其他
1 C S ( R)
( X ,Y )R
f ( x , y )dxdy 1
( X ,Y )R
Cdxdy 1
C
( X ,Y )R
F y' ( x x , y ) F y' ( x , y )
lim
x 0
x
' Fyx ( x, y )
联合密度函数与联合分布函数的关系
2 F ( x, y) f ( x, y ) xy
F ( x, y )
x


y
f ( x, y )dydx
联合密度函数的性质：
2.9 二维随机向量
联合分布 二维随机向量的联合分布函数 二维连续随机向量的联合密度
二维离散随机向量的联合分布律
二维随机向量的边缘分布函数 边缘分布 二维连续随机向量的边缘密度
二维离散随机向量的边缘分布律
2016/12/4
2.9.1 离散型随机向量的联合分布律
（x,y）
源自文库
P
2016/12/4
F(x,y)就是随机点(X,Y)落在点 (x,y)左下方无穷区域的概率。
联合分布函数的性质
• 1.单调性：任意固定x,F(x,y)是y的单调 不减的右连续函数，任意固定y, F(x,y) 是x的单调不减的右连续函数。 • 2.值域：0≤F(x,y)≤1, • 3.边界值
( x2 , y2 )
G
( x1 , y1 )
• 5.二维离散随机变量的分布函数
F ( x, y ) p X xi , Y y j
xi x y j y
X
Y
例1 ，求F (2,1)
0 0 0
10 210 20 210 5 210
1
2
3 210 30 210 30 210
第二章 第二部分
随机向量及其分布
• 对某一地区的学龄前儿童进行调查，希望了解儿童 的发育情况。对于每一个儿童，测量他的身高X和 体重Y.
• 样本空间Ω ={e}={某地区的全部学龄前儿童}。
• X(e)和Y(e)是定义在Ω 上的随机变量。
• (X,Y)构成一个二维随机向量。 对于二维随机向量(X,Y),分别研究X或Y的性质 是不够的，还要考虑到X和Y之间的关系，所 以要将(X,Y)作为一个整体来研究。
0 x 1, y 0 其他
求( X , Y )的联合分布函数 F ( x, y ).
解：当0 x 1, y 0
F ( x, y )
x x

y
f ( x, y )dydx
y y 0 x 0
x
0

y
0
e y dydx
e
0
y) dx (1 e y） x ( 1 e dx
x
当x 1, y 0时，F ( x, y )


y
f ( x , y )dydx

1
0 0

y
e y dydx 1 e y
当x 0或y 0时，F ( x, y ) 0
作业
• 2.40（1）（2） • 2.41（1）（2）（5）
考虑二维随机变量 ( X , Y )落在小区域 ( x, x x; y, y y)的概率。
P( x X x x, y Y y y)
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y)

b
a

y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x , y )dydx
yd
y型区域： D {c y d , x1 ( y ) x x 2 ( y )}
x2 ( y)
x1 ( y )
yc
f ( x , y )dxdy
D

d
c

x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dxdy
F (, ) 1, F (, ) 0, F (, y) 0, F ( x, ) 0
4.概率计算
求( X , Y )落在某个正方形区域的 概率
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 若x1 x2 , y1 y2
P (( X , Y ) G ) F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1) 0
例2：二维随机变量 (X,Y)在抛物线 y x 2与直线 y x 2所围成的区域 G 上服从均匀分布，求： （2）概率 P( X Y 2)
2 解： f ( x, y ) 9 0
1 x 2, x 2 y x 2 其他
在坐标系中作出区域G 中 X Y 2 的部分
2 X Y 4
0 0 0
3
4
0 0
0
i 4 i j C3 C5j C2 P( X i , Y j ) 4 C10
2.9.2 联合分布函数
• 定义：设(X,Y)是一个二维随机向量，对于任意的实数x,y，
F ( x, y) P( X x, Y y)
叫做随机变量X和Y的联合分布函数。
dxdy 1
区域R的面积
例2：二维随机变量 (X,Y)在抛物线 y x 2与直线 y x 2所围成的区域 G 上服从均匀分布，求：
Y值
5
(1)( X , Y )的联合密度函数； （2）概率P ( X Y 2)
1 (1)解：f ( x, y) S (G) 0
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y) x0 xy y 0
F ( x x, y y ) F ( x x, y ) F ( x, y y ) - F ( x, y ) y y f ( x, y ) lim x 0 x y 0
设( X, Y)的所有可能取值为 ( xi , y j )
i , j 1,2,...
称 P{ X xi ,Y y j } pij
i , j, 1,2,...
为( X, Y)的联合分布律。
pij 0
p
i, j
ij
1
表格形式
Y X x1 x2 … xi …
y1 y2 yj
p11 p12 p1j
0 X 3 0Y 5
0 X Y 4 2 X Y 4 X Y Z 4
X
Y
0 0 0
10 210 20 210 5 210
1
2
3 210 30 210 30 210
3
2 210 5 210
0 X 3 0Y 5
0
1 2
0
15 210 60 210 30 210
1. f ( x, y ) 0
2.


f ( x, y)dxdy 1
如果随机点定义域是区 域S，则
( X ,Y )S
f ( x , y )dxdy 1
3. P ( X , Y ) D
( X ,Y )D
f ( x, y )dxdy
随机点落在区域D上的概率等于密 度函数在区域D上的双重积分！
p21 p22 p2j
… …
pi1 pi2 pij
… … … …
… …
… …
… …
… …
… …
…
• 例1：已知10件产品中有3件一等品，5件二 等品，2件三等品。从这批产品任取4件， 求其中一等品，二等品件数的二维联合分 布律。
解：用 X和Y表示取到一等品的件数 和二等品的件数。
用Z表示取到三等品的件数 。
5 4 3 2 1 0 -4 -2 0 2 4
2 P ( X Y 2) dxdy 9 ( x , y )G
x y 2
1 2 x2 2 2 dydx 2 dydx 0 2 x 9 1 x 9 x2
Y值
13 27
e y 例3： 已 知 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 ： f ( x, y) 0
3
2 210 5 210
3 30 15 F ( 2,1) 210 210 210
0
1 2
0
15 210 60 210 30 210
0 0 0
3
4
0 0
0
6.二维连续随机向量的分布函数
F ( x, y )
x


y
f ( x, y )dydx
密度函数
2.9.3连续型随机向量的联合密度函数
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y) f ( x, y) lim x0 xy y 0
( X , Y )的联合密度函数
" Fxy ( x, y)
2016/12/4
f ( x, y) lim
4
3 2 1
G
0 2
Y值 4
x, y G
其他
0 -4 -2
在坐标系中作出区域G
S (G )
( x , y )G
dydx

2
1 x 2

x 2
9 dydx 1 ( x 2 x )dx 2

2
2
2 f ( x, y) 9 0
1 x 2, x 2 y x 2 其他