概率论与数理统计 3.1 随机变量的联合概率分布

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lim A(B arctan x)(C arctan y) A(B arctan x)(C ) 0
y
2
由此可解得：C
=

2
,
B


2
,
A

1
2
11
4
二、定义3.2: 设 (X , Y)是二维随机变量, 对于任意实数 x , y ,
二元函数 F ( x, y) = P X x I Y y
= P X x , Y y
称为二维随机变量 (X , Y)的分布函数, 或称为
随机变量 X 和 Y的联合分布函数 .
y
(x, y)
设 X1 = X1() , X2 = X2 () ,L , Xn = Xn()
是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的一个 n维向量( X1 , X2 ,L , Xn )称为n维随机向量或 n 维随机变量 .
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2、联合分布函数: 对于任意n个实数 x1 , x2 ,L , xn , n元函数
F ( x1 ,L , xn ) = P X1 x1 , X2 x2 ,L , Xn xn
y2 (x1 , y2)
(x2 , y2)
性质(4)的几何意义
y1 (x1 , y1)
(x2 , y1)
O x1
x2 x
注 任一二维分布函数F(x, y)必具备这4条性质;
反之, 具备这些性质的二元函数F( x, y)必为
某个二维随机变量的分布函数 . 8
四、推广: 1、n维随机向量: 设 E是一个随机试验，它的样本空间是Ω={ω } ，
描述是不够的。例如要研究儿童生长发育
的情况。仅考虑身高或体重是不合理的，
而是应该将两者作为一个整体，研究他们
整体统计规律。若设X=身高、Y=体重
儿童的生长发育
（X,Y）.第三章
主要是把一维随机变量的情况推广到二维
随机变量。在推广的过程中要对比、比较
相同及不同的情况。
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一、定义3.1:
一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是Ω Ω={ω } , 设 X=X (ω) 和 Y=Y (ω)是定义在Ω上的 随机变量, 由它们构成的一个向量(X , Y) , 称为 二维随机向量或二维随机变量 . 注 二维随机变量(X , Y)的性质不仅与X 与 Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系, 因此 需将(X , Y)作为一个整体进行研究 .
解：由分布函数F(x,y)的性质可得：

lim A(B arctan x)(C arctan y) A(B )(C ) 1,
x
22
y
lim A(B arctan x)(C arctan y) A(B )(C arctan y) 0
x
称为n维随机变量( X1 , X2 ,L , Xn )的分布函数或 随机变量X1, X2 ,L , Xn的联合分布函数 . 它也具有类似于二维随机变量分布函数的性质.
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例1：已知 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y)
求常A，B，C。(- x + , y )
第三章二维随机变 量及联合概率分布
3.1二维随机变量及联合概率分布 3.2离散型随机变量及其分布律 3.3随机变量及其函数分布 3.4边缘分布 3.5随机变量的独立性 3.6随机变量的条件分布
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3.1二维随机变量及 联合概率分布
1、概率分布的定义 2、概率分布的性质
2
引言
在一些随机现象中，只用一个随机变量
F( x, y)在( x, y)处的函数值
即(X, Y )落在阴影区的概率
O
x
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三、定理3.1: 任一二维联合分布函数F( x , y )必具有4条基本性质: (1)有界性 对任意的 x 和 y , 有
0 F( x, y) 1 , 且
F (, y) = lim F ( x, y) = 0 , x
(3)右连续性 对每个变量均是右连续的, 即
F(x + 0, y) = F(x, y) , F(x, y + 0) = F(x, y) .
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(4)非负性 对任意 x1 < x2 , y1 < y2 , 有
P x1 X x2, y1 Y y2
y = F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) + F(x1, y1) 0
F(x,) = lim F(x, y) = 0 , y
F(,) = lim F(x, y) = 0 , x, y
F(,) = lim F(x, y) = 1 . x, y 6
(2)单调性 F(x, y) 分别对 x或 y 是单调不减 , 即当 x1 < x2 , 任意 y R有 F( x1, y) F(x2, y) ; 当 y1 < y2 , 任意 x R有 F( x, y1 ) F(x, y2 ) .