运筹学例题解析

(一)线性规划建模与求解

B.样题：活力公司准备在5

小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1

单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大

要求：1、建立该问题的线性规划模型。

2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。

解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x 2单位 。

(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2

(3)约束条件如下：1221

12

25..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x

2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，

|

结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与

约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。

（二）图论问题的建模与求解样题

A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例

13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建

立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。

解：（1）建立图论——最短路问题模型。

~

①设点V i 表示第i 年年初，虚设一个点V 6，表示第五年年底；

②弧(V i , V j )表示第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；

③弧(V i , V j )上的权数表示第i 年初购进一台设备，一直使用到第j 年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。例如：弧(V 1, V 4)上的费用权数30=11+(5+6+8)-3=27(万元)。

模型如图2所示：

（2）用Dijkstra 法求解从V 1到V 6的最短路。 <

给起点V 1标号（0,v 1）；

={v 1} ; J={v 2,v 3,v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 2]、[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6]}

s 12=l 1+b 12=0+8=8;s 13=l 1+b 13=0+16=16;s 14=l 1+b 14=0+27=27; s 15=l 1+b 15=0+41=41;s 16=l 1+b 16=0+59=59 ∵min{s 12,s 13,s 14,s 15,s 16}=min{8,16,27,41,59}=8= s 12=l 2 ∴给v 2标号（8,v 1） ={v 1,v 2} J={ v 3,v 4,v 5,v 6}

弧集合{[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[ v 2,v 3]、[v 2,v 4]、[v 2,v 5]、[v 2,v 6]} s 23=l 2+b 23=8+8=16;s 24=l 2+b 24=8+16=24;s 25=l 2+b 25=8+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49

∵min{s 13,s 14,s 15,s 16,s 23,s 24,s 25,s 26}=min{16,27,41,59,16,24,35,49}=16= s 13或s 23=l 3 ， ∴任选一个s 13，选择给v 3标号（16, v 1）。

={v 1,v 2,v 3} J={v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 4]、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 4]、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、 [v 3,v 4]、[v 3,v 5] 、[v 3,v 6] } <

s 34=l 3+b 34=16+9=25; s 35=l 3+b 35=16+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49

∵min{s 14,s 15,s 16,s 24,s 25,s 26,s 34,s 35,s 36}=min{27,41,59,24,35,49,25,35,49}=24=s 24=l 4 ∴给v 4标号（24,v 2）

={v 1,v 2,v 3,v 4} J={v 5,v 6} 弧集合{ [v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、 [v 3,v 5] 、[v 3,v 6]、[v 4,v 5] 、[v 4,v 6 }

s 45=l 4+b 45=24+9=33; s 46=l 4+b 46=24+17=41

∵min{s 15,s 16,s 25,s 26,s 35,s 36,s 45,s 46}=min{41,59,35,49,35,49,33,41}=33=s 45=l 5 ∴给v 5标号（33,v 4）

表2

17

17 41 28 27 41 v 6 ) 27

v 4 v 2 v 3 16

16 9

8 8 ： 10 9 59

】

={v 1,v 2,v 3,v 4,v 5} J={v 6} 弧集合{ [v 1,v 6]、[v 2,v 6]、[v 3,v 6]、[v 4,v 6]、[v 5,v 6] }

s 56=l 5+b 56=33+10=43 ∵min{s 16,s 26,s 36,s 46,s 56}=min{59,49,49,41,43}=41=s 46=l 6 ∴给v 6标号（41,v 4）

={Φ} J={Φ} 计算终止。

由终点v 6标号反向追踪，可得到v 1到v 6的最短路：v 1→v 2→v 4→v 6,长度为l 6=41,即5年内该设备的最小总支出金额为41万元。 `

B.考题复习知识点：

1.最短路问题求解的基本思想请查阅课本或其他参考书籍，自行简答总结。

2.掌握用上述“Dijkstra 标号法”求解的步骤和处理方法，考试时书写格式请参照本样题。

3.掌握最短路确定的反向追踪方法和最短距离。考试题比此题计算量小。

4.掌握图论问题建模的程序，会说明图论模型各组分（弧或边、节点、权数）的实际涵义。

（三）动态规划——“复合系统工作可靠性问题”建模和求解）

A ．正考样题及其解答：某厂设计一种电子设备，由三种元件

D 1、D 2、D 3组成。已

知这三种元件的单位价格、单位重量和可靠性如表4，要求在设计中所使用元件的费用不超过105元，重量不超过21克。问应如何设计使设备的可靠性达到最大。 解：（1）建立动态规划模型

①按元件的种类数划分阶段，k ＝1,2,3。每阶段阶段第k 种元件并联几个。

②状态变量x k 表示第k 阶段初尚未使用的费用；状态变量y k 表示第k 阶段初剩余的可增加重量。显然x 1=105,y 1=21,x k >0,y k >0 。 *

③决策变量u k 表示第k 阶段元件D k 并联的个数。允许决策集合：

c k 表示第k 种元件的单位费用；w k 表示第k 种元件的单位重量； ④状态转移方程：x k+1＝ x k -c k ·u k ； y k+1＝y k -w k ·u k 。

⑤阶段指标函数d k (u k )表示元件D k 正常工作的概率 ；最优指标函数f k (x k ,y k )表示从元件D k 到元件D 3 正常运行的最大概率。 ⑥逆序解法的基本方程如下： ，

（2）用逆序解法求解

①第3阶段，k=3

②第2阶段，k=2

33

33333]]

⎧⎫

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭

∑∑k k k k j=k+1j=k+1k

k k k k k k x -c y -w 1≤u ≤min([ ],[,k =1,2c w D (x , y )=u x y 1≤u ≤min([ ],[c w k u

k k k d (u )=1-(1-p )[]111(,)444f (,)max ()(,) k=3,2,1(,)1

+++∈⎧=⋅⎪⎨

=⎪⎩k k k k k k k k k k k k u D x y x y d u f x y f x y []33333f (,)=max ()⎛⎫ ⎪⎝⎭=x y d u 3333u x

y 1≤u ≤=min [ ],[]20

51-(1-0.5)